第2章 2.2 第1课时 基本不等式-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，通过代数情境（a²+b²与2ab比较）和几何情境（圆中弦与半径关系）引入，梳理重要不等式（a²+b²≥2ab）及基本不等式（√(ab)≤(a+b)/2，a,b>0），明确算术与几何平均数概念，搭建从概念到应用（比较大小、证明、求最值）的学习支架。 特色在于情境化与问题链设计，几何模型助学生用数学眼光直观理解，例题变式通过逻辑推理培养数学思维，预习自测与分层练习强化运算能力，课中提升教学效率，课后帮助学生查漏补缺，发展应用意识与理性精神。

2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 课程标准 素养解读 掌握基本不等式≥(a，b都是正数)．能用基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养 [情境引入] (1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝，AB＝，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 提示：(1)a2＋b2≥2ab　(2)≤ [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与基本不等式　 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有　a2＋b2≥2ab　，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，有≤，当且仅当　a＝b　时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数． 1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如≥是不成立的． [知识点二]　基本不等式与最值　 已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2　； (2)如果和x＋y等于定值s(和为定值)，那么当　x＝y　时，积xy有最大值s2. 3.x＋上的最小值是2吗？ 提示：当x>0时，x＋的最小值是2. 当x<0时，x＋没有最小值． [预习自测] 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 B．若a，b同号，则＋≥2 C．若a>0，b>0，则ab≤恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 答案：BD 2．已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 3．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为　________　. 答案：x>2y 　　　利用基本不等式比较大小 [例1] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<<　 B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b [思路点拨]　当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，注意等号成立的条件． [解析]　法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项． 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b. [答案]　B 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. [变式训练] 1．已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[因为a＞0，b＞0，所以≤＝，≤， ＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立， 则≤≤≤ .] 　　利用基本不等式判断不等式的成立 [例2] (1)下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 (2)给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路点拨]　根据基本不等式成立的条件判断． [解析]　(1)a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错．由基本不等式可知D项正确． (2)当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． [答案]　(1)D　(2)C 不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． [变式训练] 2．下列不等式恒成立的是(　　) A.＋≥2 B．ab≥2 C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥－2ab 解析：D　[对于A，若a＝－1，b＝1，则＋＝－2，故A错误；对于B，因为(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，所以≥ab，即2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；对于C，若a＝－1，b＝－1，则a＋b＝－2＜2＝2，故C错误；对于D，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，即a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝－b时取等号，故D正确．] 　　　利用基本不等式证明不等式 [例3] (1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3. [思路点拨]　利用基本不等式证明不等式，注意等号成立的条件． [证明]　(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)因为a，b，c全不相等， 所以与，与，与全不相等， 所以＋>2，＋>2，＋>2， 三式相加得，＋＋＋＋＋>6， 所以＋＋ >3， 即＋＋>3. 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [变式训练] 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1， 证明：≥25. 证明：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1， ∴＝ ＝＝13＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立， ∴≥25. 1．下列不等式成立的是(　　) A．ab≤　　　　 B．ab≥ C．a＋b≥2 D．a＋b≤2 答案：A 2．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B.＋≥ C．a＋b> D.＋≤ 答案：C 3．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是　________　. 答案：x<y 4．若a>0，b>0.a＋b＝2.则下列不等式①ab≤1，②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.对满足条件的a，b恒成立的是　________　(填序号)． 答案：①③④ 5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝ab.求证：≤. 证明：因为a＞0，b＞0，所以ab＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号，即有ab≥4，于是得＝1＋＋＋＝1＋＋＝2＋≤2＋＝，所以≤成立. 1．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：B 2．已知a＜b＜0，则在下列不等式中成立的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜b＜ C．a＜b＜＜ D．a＜＜ab＜b 答案：B 3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后来西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.＞(a＞b＞0) B．a2＋b2＞2ab(a＞b＞0) C.＜(a＞b＞0) D.＜(a＞b＞0) 答案：D 4．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C．ab≥2 D.＋≥ 答案：B 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 解析：AD　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.] 6．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若a≠b≠0，则＋≥2 B．若a≠b≠0，且a，b同号，则＋≥2 C．若a>b>0，则a2>b2 D．若a>b，则a2>b2 解析：BC　[A.若a，b异号，<0，<0，＋ ＝－≤－2，错误．同理可得B正确．C.因为a>b>0，则a2>b2，C正确，D.当a<0，b<0时，a2>b2不成立．] 7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，则a＋b，2，a2＋b2,2ab中最大的是　________　. 解析：∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2，a2＋b2≥2ab， ∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又∵0＜a＜1,0＜b＜1， ∴a2＋b2－(a＋b) ＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0， ∴a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大． 答案：a＋b 8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是　________　. 解析：ab＝a＋b＋3≥3＋3， 所以(－3)(＋1)≥0， 所以≥3，所以ab≥9. 答案：ab≥9 9．(一题两空)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)则ab的最小值为　________　； (2)则a＋2b的最小值为　________　. 解析：因为2a＋b＝ab， 所以＋＝1. (1)因为a>0，b>0. 所以1＝＋≥2， 当且仅当＝＝ ，即a＝2，b＝4时取等号， 所以ab≥8，即ab的最小值为8. (2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥ 5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号， 所以a＋2b的最小值为9. 答案：(1)8　(2)9 10．已知a，b都是正数，求证：a＋b＋1≥＋＋. 证明：由a，b都是正数，则a＋1≥2，b＋1≥2，a＋b≥2，所以2(a＋b＋1)≥2(＋＋)，即a＋b＋1≥＋＋，当且仅当a＝b＝1时取等号． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． 解：(1)∵0＜x＜， ∴1－2x＞0， y＝·2x·(1－2x)≤·2 ＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝，y最大值＝. (2)∵x＜3，∴x－3＜0， ∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. 12．已知x，y，z＞0，x＋y＋z＝3. (1)求＋＋的最小值； (2)求证：3≤x2＋y2＋z2＜9. 解：(1)＋＋ ＝(x＋y＋z) ＝ ＝ ≥ ＝3， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴＋＋的最小值为3. (2)证明：∵9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)， ∴x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号． 又x，y，z＞0， ∴xy＋xz＋yz＞0， ∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)＜9， ∴3≤x2＋y2＋z2＜9. 13．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝3，证明： (1)＋＋≥3； (2)＋＋≥3. 证明：(1)由题意得(a＋b＋c)＝1， 所以＋＋＝(a＋b＋c) ＝≥ ＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立 (2)因为a2＋b2≥2ab，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2，即≥(a＋b)，当且仅当a＝b时等号成立． 同理可得≥(a＋c)，当且仅当a＝c时等号成立；≥(b＋c)，当且仅当b＝c时等号成立，所以＋＋≥(2a＋2b＋2c)＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $