1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．理解命题的否定的含义，知道命题 与它的否定 真假相反，会写出简单命题的否定。

2．掌握含有一个量词的命题的否定法则，能把全称量词命题的否定写成存在量词命题，把存在量词命题的否定写成全称量词命题，会判断否定后命题的真假。

3．会否定结论中含有“都是”“大于”“至少有一个”“且”“或”等关键词的命题，能识别并补全省略量词的命题，会由含量词命题的真假求参数的取值范围。

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 1．命题的否定

由 1.5.1，要判定全称量词命题 为真，必须验证 中的每一个元素都满足 ；只要在 中找到一个元素 使 不成立，它就是假命题。设 ：所有能被 3 整除的整数都是奇数。因为 6 能被 3 整除且 6 是偶数，所以 是假命题；而命题“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”是真命题。这两个命题一真一假，后一个命题叫做前一个命题的否定。

(1) 定义：一般地，对命题 加以否定，就得到一个新的命题，记作，读作“”或“ 的否定”。

(2) 命题 与它的否定 的真假： 真时 假， 假时 真，二者不能同真，也不能同假。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 命题 与 中恰有一个是真命题。（　　）

(2) 对一个命题取否定，只要把结论里的“是”改成“不是”。（　　）

 2．全称量词命题的否定

考察命题 ：对任意实数 ，。由图 1，抛物线 的最低点是原点，曲线没有落在 轴下方的部分， 是真命题。 不成立，就是说有一个实数 使 不成立，也就是 ；由图 1，水平直线 与该曲线没有公共点，这样的 不存在。所以 ：存在实数 ，使 ，它是假命题。

再看四个全称量词命题与它们的否定。

表中右列的写法有共同点：量词由“任意（所有）”换成“存在（有一个）”，结论被取反， 的取值范围没有改变。

(1) 定义：全称量词命题 ：，，它的否定是 ： ，。也就是说，全称量词命题的否定是量词命题。

 提醒： 只改量词不改结论，或只改结论不改量词，写出的都不是原命题的否定；否定中 的取值集合 保持不动。

判断

(1) 全称量词命题的否定一定是存在量词命题。（　　）

(2) “任意一个偶数都是 4 的倍数”的否定是“任意一个偶数都不是 4 的倍数”。（　　）

图 1: 抛物线 不在 轴下方，与直线 没有公共点

 3．存在量词命题的否定

考察命题 ：存在整数 ，使 。由 得 ，而图 2 数轴上标出的整数点中没有 1.5 这个位置，所以满足 的整数不存在， 是假命题。说 不成立，就是说每个整数都不满足 ，即“对任意整数 ，”，而这正是 的否定，它是真命题。

图 2: 数轴上的点表示整数，1.5 不在其中

一般地，判定存在量词命题为真，只需在 中找出一个满足 的元素；判定它为假，必须说明 中每一个元素都不满足 。这正是“存在”与“任意”在否定时互换的原因。

(1) 定义：存在量词命题 ：，，它的否定是 ： ，。也就是说，存在量词命题的否定是量词命题。

判断

(1) “存在实数 ，使 ”的否定是“对任意实数 ，”。（　　）

(2) 存在量词命题的否定仍然是存在量词命题。（　　）

 4．结论中关键词的否定

知识点 2、3 中被取反的部分是结论 。结论里的关键词要按它的反面改写，只在前面加一个“不”字往往不够。以“都是”为例：“这三个数都是正数”只要有一个数不是正数就不成立，所以它的否定是“这三个数不都是正数”，即“至少有一个不是正数”，而不是“这三个数都不是正数”。

 提醒： 不等号取反要把等号补上：“>”的否定是“≤”，不是“<”；“≥”的否定是“<”，不是“≤”。

(1) 填空：“”的否定是“3”；“−2，3 中至少有一个是负数”的否定是“−2，3 中负数”。

判断

(1) 命题“1，−1，−2 中至多有一个是正数”的否定是“1，−1，−2 中至少有一个是正数”。（　　）

(2) “ 或 ”的否定是“ 且 ”。（　　）

 5．省略量词的命题的否定

数学里的命题常常把量词省略不写。“平行四边形的对角线相等”，说的是“任意一个平行四边形，它的两条对角线都相等”，是一个全称量词命题。由图 3，所画的平行四边形 中 比 长，它就是原命题的一个反例，所以原命题是假命题，它的否定“存在一个平行四边形，它的两条对角线不相等”是真命题。