1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 素养解读 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 通过全称量词命题与存在量词命题的否定 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]全称量词命题与存在量词命题 一位探险家被土人 的否定 抓住，土人首领说：“如果 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 你说真话，你将被烧死， 说假话，将被五马分尸.” 形式 Hx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) [问题]请问探险家该 否定形式 3x∈M,p(x) Vx∈M,(x) 如何保命？ 全称量词命题的否定是存在量词 结论 命题；存在量词命题的否定是全 称量词命题 [知识梳理] ?思考1.用自然语言描述的全称量词命题 [知识点一]命题的否定 的否定形式唯一吗？ 1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以 2.对省略量词的命题怎样否定？ 得到一个新的命题，这一新命题称为原命题 的否定.命题力的否定可用“一p”来表示. 2.命题的否定与原命题的真假关系 [预习自测] 命题的否定与原命题的真假性可以用下表 1.命题“对任意x∈R,|x-2+|x-4|>3” (真值表)表示： 的否定是 命题 真 假 2.命题“3x,∈CQ,x8∈Q”的否定是( 假 真 A.]x∈CRQ,x∈Q B.3x∈CRQ,x8Q 因此，力的否定的真假性可用一句话概括：p 的否定与p“一真一假”. C.VI CRQ,x3∈Q 3.常见词语的否定词语 D.Hx∈CRQ,x3tQ 等于 大于 小于 至多有至多有 至少有 3.若命题p:Hx∈R,2x2+1>0,则p是 原词 是 都是 (=) (>) () n个 一个 不等于不大于不小于 至少有 至少有 一个也 否定 不是 不都是 A.Hx∈R,2x2+1≤0 (≠) (≤) (≥) 两个 (n+1)个没有 B.3xo∈R,2x0+1>0 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 或 C.3xo∈R,2x+1<0 否定词语 某个 某两个 某些 不能 日 D.3xo∈R,2x+1≤0 27· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 题型一 全称量词命题的否定 ◇[变式训练] [例1]写出下列全称量词命题的否定，并判 1.写出下列全称量词命题的否定： 断真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (DV-ER,1--} (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)Ha,b∈R,方程ax=b都有唯一解； (2)所有的正方形都是矩形； (4)可以被5整除的整数末位是0. (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身， [思路点拨]Hx∈M,(x)的否定为：了x∈M, p(). 题型二】 [存在量词命题的香定 [例2]写出下列存在量词命题的否定，并判 断真假： (1)有些分数不是有理数. (2)3x,y∈Z,3x-4y=20. (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解. (4)有些梯形的对角线相等， 汇思路点拨] ]x∈M,p(x)的否定为Hx∈M, 7(x). 规律方法 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在 量词， (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改 为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题， 其真假性与全称量词命题相反；要说明 一个全称量词命题是假命题，只需举一 个实例即可： ·28· 第一章集合与常用逻辑用语 规律方法 题型全称量词命题、存在量词命题的否定的应用 1.对存在量词命题否定的两个步骤 [例3]若命题“存在实数x,使x2+ax+1< (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称 0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为 量词」 (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更 [思路点拨]先写出命题的否定，然后 改为“没有”“不存在”等. 判断 2.存在量词命题否定后的真假判断 规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题， 1.含有一个量词命题的否定的步骤与方法 其真假性与存在量词命题相反；要说明 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量 一个存在量词命题是真命题，只需要找 词命题。 到一个实例即可 (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在 ◇[变式训练] 量词；把存在量词换为恰当的全称量 2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否 词.注意无量词的全称量词命题要先补 定的真假， 回量词再否定、 ①有些实数的绝对值是正数； (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在” ②某些平行四边形是菱形； “成立”等改为“不是”“没有”“不存在” ③]xo,y∈Z,使2x+y=3. “不成立”等 2.知命题真假求参数的范围的两个关注点 （1)命题和它的否定的真假性只能一真一 假，解决问题时可以相互转化. (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量 词和存在量词命题的意义列不等式求 范围 ⊙[变式训练] 3.已知命题p:Hx∈{x|x≥1}，a-2x≤0.命 题q:]x∈{x|1≤x≤3}，x+a≥0. (1)分别写出命题p,q的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数a的取 值范围. ·29· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.命题：Hx∈N,x3>x2的否定形式p为 (2)命题g:“x∈A,x∈B”是真命题，求m () 的取值范围 A.Hx∈N,x3≤x2B.]x∈N,x3>x2 C.3x∈N,x3<x2D.x∈N,x3≤x2 2.以下三个命题中，真命题的个数是() ①若a十b≥2，则a,b中至少有一个不小 于1； ②存在正实数a,b,使得a十b=ab; ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一 个奇数不是素数”. A.0B.1C.2D.3 3.若命题：Hx∈R,二2<0，则7p: 4.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小 王同学给组内小李同学出题如下：若命题 “]x∈R,x2+2x十m≤0”是假命题，求m 范围.小李略加思索，反手给了小王一道题： 若命题“Hx∈R,x2+2x十m>0”是真命题， 求m范围.你认为，两位同学题中m范围是 否一致？ （填“是”“否”中的一种) 5.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m十 1≤x≤2m-1},且B≠. (1)若命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题，求 m的取值范围 c温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·30·数学·必修第一册 知识梳理 知识点二、3 知识点三、1.全称量词存在量词Hx∈M,(x) 3x∈M,b(x) [思考] 1.提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡 是”等， 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有 的”等 2.提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以 表示几何图形、相应的集合M是这些元素的某一特定的 范围，(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以 用g(x),r(x)等符号表示， 预习自测 1.A2.D3.1 课堂互动学案 [例1][解析](2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存 在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词 命题， [例2][解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1，所以 “]x∈Z,x3<1”是真命题. (2)真命题，如梯形」 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知，它是真命题. [例3](1)[解析]当1≤x2时，1十m≤x十m2十 m,因为一次函数y=x十m的图象在x轴上方，所以1十 m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{mm>一1}. [答案]{mm>一1} (2)[解]由题意得，关于x的方程a.x2+2x-1=0有 实数根，当a=0时，方程为2x一1=0，显然有实数根，满 足题意；当a≠0时，△=4十4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 综上知，实数a的取值范围是{aa≥一l}. 变式训练 1.解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全 称量词命题 (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是 全称量词命题. (3)可以改写为“3x∈R,y∈R,使2x一y十1<0成立”， 是存在量词命题. 2.解：(1)Hx∈N,x>0,因为0也是自然数，0的平方是0.所 以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题. (2)3xy∈Z,2x0+4y=3.由2x0+4yg=3,得x0+ 2。=是，若%∈乙，则。十2。电是签数，不可能等 于号，所以，存在量词命题“存在一对整数0，使2 十4y=3”是假命题. (3)]x。∈{无理数}，x∈Q,5是无理数，(3)3=3是有 理数. 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是有理 数”是真命题 ·31 3.解：(1)由于对任意的x∈{x1x3}都有m≥x,故只 需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1x3},使m≥x,故只需m 大于或等于x的最小值，即m≥1. 随堂步步夯实 1.B2.C3.①③④ 4.{a-1<a<3} 5.解析：假设存在整数m,使得命题“Vx≥一】 ,-5<3 4m<x十1”是真命题. 因为当x≥-上时，x+1≥ 4 4 所以-5<3-4m<是，解得品<m<2。 又m为整数，所以m=1, 故存在整数m=1,使得命题“Vx≥-子，-5<3-4m< x十1”是真命题」 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课前预习学案 情境引入 提示探险家应该说“我将被五马分尸” 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的 就是真话，而说真话应该被烧死； 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是 假话，而说假话应该被五马分尸， 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着， [思考] 1.提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否 定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是 “有些菱形不是平行四边形” 2.提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量 词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是 全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定 是存在量词命题 预习自测 1.3x。∈R,x。-2+|x。-4|3 2.D3.D 课堂互动学案 [例1][解](1)该命题的否定：了x∈R, 1-（e-）>1 因为VxR(e-）≥0 所以-(-号）≤0， 1-(一2)<1恒成立，所以这是一个假命题， (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假 命题. (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z,x2的个位数等 于3，因为0=0,12=1,22=4,32=9,4=16,52=25：6 =36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假 命题 2 (4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命 题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身.这是一个 假命题. [例2][解](1)该命题的否定：任意分数都是有理数， 这是一个真命题. (2)该命题的否定：x,y∈Z,3x一4y≠20，当x=4,y= 一2时，3x一4y=20.因此这是一个假命题. (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程 都有解，这是一个假命题. (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯 形的对角线相等，因此这是一个假命题， [例3][解析]方法一：由题意，知命题“对任意实数x, 使x+a.x十1≥0”是真命题，故△=a2-4X1×1≤0，解 得一2a2. 方法二：由题意，知命题“存在实数x,使x2十ax十1<0 是假命题.若命题“存在实数x,使x2十a.x十1<0”是真 命题，则△=a-4×1×1>0,解得a>2或a<-2,所求 实数a的取值范围是{a-2≤a≤2}. [答案]{a|-2a2} 变式训练 1.解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都 平行. (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形， (3)其否定为：3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不 存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 2.解析：①命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是 正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”，它为假 命题. ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每 一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形， 因此命题的否定是假命题 ③命题的否定是“Hx,y∈Z,W2x十y≠3”.当x=0,y=3 时，W2x十y=3,因此命题的否定是假命题. 3.解：(1)因为p:Hx∈{xx≥1}，a-2x≤0， 所以7p:3x∈{x|x≥1}，a-2x>0. 因为g:3x∈{x1x≤3}，x十a≥0， 所以q:x∈{x1≤x≤3}，x十a<0. (2)因为p:Hx∈{xx≥1}，a-2x2≤0，所以a≤2x2, 又x≥1，所以2x2≥2，故a2 因此命题p为真命题时，a≤2. 命题q:3x∈{x|1≤x≤3}，x十a≥0， 即3x∈{x|1x≤3}，a≥-x, 又-3≤-x≤-1，故a≥-3， 因此命题g为真命题时，a≥一3. 综上，当两个命题都是真命题时，实数a的取值范围为 {a-3a2}. 随堂步步夯实 1.D2.D 3.3x,∈R-2>0或。-2=0. 4.是 ·31 参考答案 5.解：(1)由于命题：“Vx∈B,x∈A”是真命题， 所以B二A,B≠⑦， ,m+1≤2m-1, 所以m十1≥一2，解得2≤m≤3. 2m-15, (2)g为真，则A∩B≠， 因为B≠⑦，所以m≥2. ,m+1≤5， 所以2m-1≥-2，解得2≤m≤4. （m≥2. 章末归纳提升 归纳提升 [例1][解析](1)：a∈A,b∈A,x=a十b,所以x=2, 3,4,5,6,8,.B中有6个元素，故选C. (2)当x=0,y=0时，x一y=0;当x=0,y=1时，x-y= -1;当x=0,y=2时，x一y=一2；当x=1y=0时，x一 y=1;当x=1,y=1时，x一y=0;当x=1,y=2时，x一3y =一1；当x=2,y=0时，x-y=2:当x=2y=1时，x y=1;当x=2,y=2时，x一y=0.根据集合中元素的互 异性知，B中元素有0，一1，一2,1,2，共5个 [答案](1)C(2)C [例2][解析](1)用列举法表示集合A,B,根据集合关 系求出集合C的个数，由x一3x十2=0得x=1或x= 2,.A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},.满足条件的 C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个. (2)由B二A,则x2=4或x2=2x.当x2=4时，x=士2， 但x=2时，2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾；当x =2x时，x=0或x=2(舍)， 综上所述，x=一2或x=0. (3)当B=⑦时，有m+1≥2m一1，则m≤2. 当B≠⑦时，若B二A,如图」 -2m+10 2m-17x ,m+1≥-2， 则2m-1≤7，解得2<m≤4. (m+1<2m-1, 综上，m的取值范围为{mm4}. [答案](1)D(2)0或-2(3){mm≤4} [例3][解析](1)由A∩B=1}得1∈B, 所以m=3,B={1,3}. [答案]C (2)[解]①因为A={x|2x7},B={x3x<10}, 所以AUB={x2≤x<10}. 因为A={x2≤x<7}, 所以CRA={xx<2,或x≥7}， 则(CRA)∩B={x7≤x<10}. ②因为A={x|2≤x<7},C={xx<a,且A∩C≠⑦， 所以a>2, 所以a的取值范围是{aa>2}. [例4幻[解](1)该命题是全称量词命题，是真命题.该 命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真 子集， 3