1.1 集合的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.1　集合的概念

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．通过实例了解集合的含义，能指出一个给定集合的元素，理解元素与集合的属于关系，会用符号 ∈ 与 表示这种关系。

2．理解集合中元素的确定性、互异性、无序性，能判断一组对象能否构成集合，能利用互异性处理含字母的集合。

3．能选用自然语言、列举法、描述法表示集合，会两种表示法互化，了解常用数集的记法与集合按元素个数的分类。

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 1．集合与元素

在小学和初中已经不止一次接触过把一些对象汇成总体的情形：自然数的全体、方程 的实数根的全体、平面内到定点 的距离等于 1 的点的全体（图 1）。这些例子有一个共同点：任给一个对象，都能客观地判断它在不在其中。点 到 的距离是 ，它不在其中；点 到 的距离是 ，也不在其中。而“个子比较高的同学”没有客观标准，身高 算不算高说不清，因此不能这样汇成总体。

(1) 定义：一般地，我们把研究对象的全体称为，把一些元素组成的总体叫做（通常简称为集）。集合用大写拉丁字母 ，，， 表示，集合中的元素用小写拉丁字母 ，，， 表示。

(2) 说明：判断一组对象能否构成集合，只看这组对象是否。方程 的实数根是确定的，能构成集合；“高中学生中的游泳能手”没有客观标准，不能构成集合。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 本班里身高超过 的同学能构成集合。（　　）

(2) 接近于 0 的实数能构成集合。（　　）

图 1: 虚线圆上的八个点到 的距离都等于 1； 到 的距离是 ， 到 的距离是 ，两点都不在这个点集中

 2．元素与集合的属于关系

考察由 1，2，3， 这些自然数组成的集合 ：5 在 里，100 也在 里，−2 不在 里，0.5 也不在 里。对象与集合之间就只有“在”与“不在”这两种情况。图 2 用平面上封闭曲线的内部表示集合 ，曲线内的点都是它的元素，曲线外的点都不是它的元素。

(1) 定义：如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ；如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 。

(2) 例如方程 的所有实数根组成的集合为 ，则 ，；把“5 是自然数”用符号表示，就是 。

 提醒： 符号 ∈ 与 刻画的都是元素与集合之间的关系，左边只能放元素、右边只能放集合，两边不能调换。把元素与集合的位置写反，例如 ，这样的式子没有意义。

判断

(1) 集合 中， 且 。（　　）

(2) 符号 ∈ 也可以用来表示两个数之间的大小关系。（　　）

图 2: 、 在封闭曲线内部，、；、 在外部，、

 3．集合中元素的三个特性

方程 只有一个实数根 1，所以它的实数根组成的集合里只有一个元素，写作 {1}，不写 {1,1}；把 1，2，3 按 3，1，2 的顺序再列一遍，得到的集合与原来完全相同；单词 bookkeeper 的十个字母里，、、、 都不止出现一次，把它们汇成集合只剩 六个元素。这三件事分别对应集合中元素的三个特性。

(1) 定义：集合中的元素具有（给定一个集合，一个对象或者属于它，或者不属于它，二者必居其一）、（同一个集合中不会出现两个相同的元素）、（元素完全相同的两个集合相等，与列举的先后顺序无关）三个特性。

(2) 两个集合相等：只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。例如 {1,2,3}={3,2,1}。

判断

(1) 由 1，1，2，3 组成的集合有 4 个元素。（　　）

(2) 集合 {1,2,3} 与集合 {3,1,2} 是同一个集合。（　　）

 4．集合的表示方法：列举法与描述法

小于 10 的自然数一共 10 个，可以全部写出来；大于 10 且小于 20 的整数也数得清，是 11 到 19 共 9 个。但大于 10 且小于 20 的实数怎么列也列不完。图 3 上下两条数轴正好对照这两种情形：上面的数是离散的几个点，下面的数把整段填满，列不完就只好改用元素的共同特征来表示。

(1) 列举法：把集合中的元素，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法，叫做列举法。例如方程 的所有实数根组成的集合表示为 {1,2}。

(2) 描述法：一般地，如果集合 中的元素 都取自集合 ，并且这些元素都具有 ，那么由集合 中所有这样的元素 组成的集合表示为 ，这种表示方法叫做。例如不小于 3 的自然数组成的集合表示为 。

(3) 说明：竖线左边的字母表示元素。 是数，整个集合就是数集；写成有序数对 ，整个集合就是坐标平面内的点集。把竖线左边的字母换成另一个字母，集合不变，所以 与 表示同一个集合。

 提醒： 用描述法表示集合，第一步是看清竖线左边的元素是什么；用列举法表示集合，元素要不重复、不遗漏，个数较多时按从小到大的顺序写。

判断

(1) 集合 与集合 是不同的集合。（　　）

(2) 集合 {(1,2)} 中的元素是 1 和 2。（　　）

图 3: 上图是大于 10 且小于 20 的整数，共 9 个点，可以列举；下图是大于 10 且小于 20 的实数，列不完，只能用共同特征描述

 5．常用数集及其记法与集合的分类

自然数、整数、有理数、实数在初中已各有名称。图 4 用四层方框表示这四类数之间的关系：0 与 2 落在最里层；−3 是负整数，落在第二层；0.5 是有理数但不是整数，落在第三层； 与 是无限不循环小数，只能落在最外层的实数框里。因为每个自然数都是整数，每个整数都是有理数，每个有理数都是实数，所以四个方框一层套一层。为了书写方便，这几类数集用固定的字母表示。

(1) 常用数集及其记法：自然数集（即非负整数集）记作；正整数集记作，也可记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作。

(2) 集合按元素个数分类：含有有限个元素的集合叫做，例如 ；含有无限个元素的集合叫做，例如 与 。