1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课　标　要　求

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求：借助Venn图理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集与真子集，在具体情境中了解空集的含义，体会数学抽象与直观想象素养的养成过程。

【内容分析】

本课时是第一章"集合与常用逻辑用语"的第2课时。学生在1.1节已经学习了集合的概念、元素的性质与集合的表示方法，本节课在此基础上研究集合与集合之间的关系，包括子集、真子集、集合相等与空集，并借助Venn图将抽象的包含关系直观化。集合间的基本关系是集合语言体系中的重要一环，是发展数学抽象素养与逻辑推理素养的重要载体，也为后续学习奠定基础。

【教材分析】

本节内容承接1.1节"集合的概念"，把研究视角从"元素与集合"的个体与整体关系，上升到"集合与集合"的整体与整体关系。教材通过具体实例引入子集概念，借助Venn图直观呈现包含关系，并把自然数集、整数集、有理数集、实数集之间的包含关系作为重要范例，突出数形结合。重点是子集、真子集、空集的概念与符号表示；难点是空集的特殊性以及由集合间的关系求参数时的分类讨论。

【学情分析】

学生在1.1节已掌握元素与集合的属于关系及集合的两种表示方法，具备学习本节课的知识基础。但学生容易混淆"集合与集合的关系"和"元素与集合的关系"，例如0、{0}、∅、{∅}的辨析是常见易错点；对定义中"任意一个元素"的整体含义理解不到位，符号书写不规范的现象也较普遍。高一新生抽象概括能力尚在发展中，需要借助Venn图和贴近生活的实例搭建直观桥梁，在辨析、练习与纠错中逐步形成规范使用数学符号的习惯。

教　学　目　标

【德育特色】

1.结合"中国天眼"FAST在脉冲星搜寻方面保持国际领先的最新成果创设情境，厚植家国情怀，树立科技报国理想。

2.通过合作探究与分类讨论，养成严谨求实的科学态度，在符号语言的规范使用中锤炼精益求精的品格。

【知识技能】

1.理解子集、真子集、集合相等与空集的概念，能准确使用包含符号、真包含符号、相等符号与空集记号表示集合间的关系。

2.能用Venn图直观表示两个集合间的包含关系，能写出元素个数较少的集合的全部子集，并归纳子集个数的规律。

3.能运用集合间的关系解决简单的含参数问题，体会分类讨论与数形结合的思想方法。

【核心素养】

1.数学抽象：从具体实例中概括出子集、真子集的定义，发展抽象概括能力。

2.逻辑推理：依据定义判断集合间的关系，理解"空集是任何集合的子集"等规定的合理性。

3.直观想象：借助Venn图表示集合间的基本关系，实现图形语言与符号语言的相互转化。

4.数学运算：在由集合间的关系求参数的过程中，提升运算求解与分类讨论的能力。

【教学重点】子集、真子集、空集的概念及其符号表示，集合相等与包含关系的判断。

【教学难点】空集的特殊性（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；由集合间的关系求参数时对空集情形的分类讨论。

教　学　过　程

教 学 内 容 及 活 动

设计意图

及时长

【情境导入】

2026年，依托"中国天眼"FAST开展的脉冲星搜寻成果继续保持国际领先，发现的脉冲星数量已超过1000颗。设集合A为"我校本学期参加数学文化节的学生"组成的集合，集合B为"我校高一全体学生"组成的集合；再设集合C为"已被FAST发现并证认的脉冲星"组成的集合，集合D为"人类已发现并证认的脉冲星"组成的集合。

问题1：集合A中的每一个元素与集合B有什么联系？

问题2：集合C与集合D之间，谁的范围更广？谁"装得下"谁？

学生观察、讨论后教师引导：集合与集合之间也存在类似"部分与整体"的关系，这就是本节课要研究的集合间的基本关系。

【新知探究一：子集与Venn图】

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作（或），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。

判断子集时，要抓住"任意一个元素"：看对A中的每一个元素，是否都有。

为了直观地表示集合间的包含关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。子集关系可以用一个集合的区域完全落在另一个集合的内部来表示，如图1所示。

图1　的Venn图

由我国重大科技成就创设真实情境，激发爱国情感与学习兴趣，自然引出集合间的关系。（3分钟）

从实例抽象出子集、真子集的定义，发展数学抽象素养；借助Venn图直观理解包含关系。（8分钟）

例1巩固定义的运用，规范符号表达。（5分钟）