1.1　集合的概念 第1课时讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系. 2.识记常见数集的表示符号. 　　 高一新生入学军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同学会自动走开,这里的“集合”是一个动词,但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”,这就是本节课研究的数学重要概念——集合. 知识点一　元素与集合的概念 1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,任何两个元素不能相同,且与顺序无关. [例1]　(1)(多选)考察下列每组对象,能构成集合的是(　　) A.中国各地的美丽乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.方程+=5的根 (2)若集合A由0,m,m2-2m+1三个元素组成,且1在集合内,则m=　　　　.  　(1)根据集合的概念判断,注意集合中元素的确定性. (2)令m,m2-2m+1分别等于1,分类讨论求m的值,注意集合中元素的互异性. 答案　(1)BCD　(2)2 解析　(1)对于A,美丽乡村不具有确定性,错误;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点,是确定的,正确;对于C,不小于3的自然数,是确定的,正确;对于D,解方程+=5,平方可得2x+2=25,移项平方可得100x=629,即x=6.29,元素确定,正确. (2)因为1在集合内,所以m=1或m2-2m+1=1, 若m=1,m2-2m+1=0,不满足互异性; 若m2-2m+1=1⇒m=0或2,又m≠0,所以m=2. 若例题(2)中题目的条件变为:若集合A由1,m,m2三个元素组成,求实数m的取值范围. 解　由集合中元素的互异性可得m≠1,m2≠1,m≠m2,所以m≠±1,0, 所以实数m的取值范围是m≠±1,0. 1.判断一组对象能构成集合的条件 (1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. (2)任何两个对象都是不同的. (3)对元素出现的顺序没有要求. 2.利用集合中元素的特征求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A.某一天到商场买过商品的顾客 B.小于0的实数 C.(2,3)与(3,2) D.未来世界的高科技产品 解析　ABC　对于A,“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能构成集合;对于B,小于0是一个明确的标准,能构成集合;对于C,(2,3)与(3,2)是两个不同的点,是确定的,能构成集合;对于D,未来世界的高科技产品,该对象不具备确定性,不能构成一个集合. 2.已知集合A含有两个元素1和a2,若a是集合A中的元素,则实数a=　　　　.  答案　0 解析　依题意a=1或a=a2.当a=1时,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1,因此a=a2,所以a=0或a=1(舍去).综上可知,实数a=0. 知识点二　集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. [例2]　若a,,1组成的集合与a2,a+b,0组成的集合为同一个含3个元素的集合,则a2 026+b2 026的值为　　　　.  根据集合相等的定义求解,注意集合中元素的互异性. 答案　1 解析　因为a,,1组成的集合与a2,a+b,0组成的集合为同一个集合, 所以解得或 当时,三个元素组成的集合为{-1,0,1},符合题意, 当时,集合中有相同的元素,所以不合题意. 综上, 所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等. 3.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a=　　　　,b=　　　　.  答案　-3　2 解析　因为集合A与集合B相等,所以1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,所以即 知识点三　元素与集合的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 自然数集包括元素0,而正整数集不包括元素0. [例3]　(1)(多选)下列结论中,正确的是(　　) A.若a∈N,则-a∉N B.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R (2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为　　　　　.  (1)依据N,Z,Q,R的定义及性质,判断各选项是否成立. (2)由2∈A,代入2x+a>0,解不等式得a的范围. 答案　(1)BCD　(2)a>-4 解析　(1)A中当a=0时,显然不成立,其他选项均成立.故选BCD. (2)因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4. 若例题(2)中题目的条件变为:已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为　 　　.  答案　-4<a≤-2 解析　因为1∉A,2∈A,所以即-4<a≤-2. 判断元素与集合关系的方法 1.直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现即可. 2.推理法:首先明确已知集合中元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 4.给出下列关系,其中正确的个数为(　　) ①∈R;②2∈Z;③|-3|∉N*;④|-|∈Q. A.1 B.2 C.3 D.4 解析　B　R:全体实数,①正确;Z:整数,②正确;N*:正整数,③错误;Q:有理数,④错误. 5.设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3　　　　　C,5　　　　　C.  答案　∉　∈ 解析　因为n∈N*,所以n2+1≠3,所以3∉C. 当n=2时,x=n2+1=5,则5∈C. 1.知识清单: (1)元素与集合的概念. (2)集合中元素的特征. (3)元素与集合的关系. (4)常用数集的记法. 2.方法归纳:直接法、推理法. 3.常见误区:注意集合中元素的互异性;注意符号“∈”“∉”连接的对象. 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　) A.身高比较高的学生 B.所有素数 C.今年高考数学难题 D.所有正方形 解析　BD　A选项中“比较高”标准不明确,不符合确定性,不能构成集合,A错误;B选项,所有素数满足确定性,能构成集合,B正确;C选项,“难题”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合,C错误;D选项,所有正方形满足确定性,能构成集合,D正确.故选BD. 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.N与N*是同一个集合 B.Q中的元素都是Z中的元素 C.N中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 解析　CD　由于N是自然数集,其中包含自然数0,而N*是正整数集,所以它们不是同一个集合,故A错误;由于有理数包含整数和分数,所以Q中的元素不都是Z中的元素,故B错误;由于自然数都是整数,所以N中的元素都是Z中的元素,故C正确;由于实数包含有理数和无理数,所以Q中的元素都是R中的元素,故D正确.故选CD. 3.设集合A含有两个元素x,y,B含有两个元素0,x2,若集合A与集合B相等,则实数x=　　　　,y=　　　　.  答案　1　0 解析　由题意得或即或又当x=y=0时,不满足集合中元素的互异性,所以x=1,y=0. 4.如果有一集合含有两个元素x,x2-x,则实数x的取值范围是　　　　.  答案　x≠0且x≠2 解析　由集合元素的互异性可得x2-x≠x,解得x≠0且x≠2. 1.下列各组对象可以构成集合的是(　　) A.中国著名的数学家 B.高一年级所有高个子男生 C.今年所有受观众喜爱的影片 D.所有大于3的自然数 解析　D　对于选项A,著名数学家的标准不明确,所以A不能构成集合;对于选项B,高个子也没有明确的标准,所以B不能构成集合;对于选项C,受观众喜爱的影片并非确定的,所以C不能构成集合;对于选项D,一个数是否是大于3的自然数是可以确定的,所以D可以构成集合. 2.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是(　　) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的所有实数根组成的集合 解析　A　由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合. 3.下列关系中正确的是(　　) A.∈Q B.∉R C.0∈N* D.π∈Z 解析　A　依题意,∈Q,故A正确;∈R,故B错误;0∉N*,故C错误;π∉Z,故D错误. 4.下列说法中正确的是(　　) A.集合N中最小的数为1 B.若-a∈R,则a∈R C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2 D.所有小的正数组成一个集合 解析　B　N中最小的数为0,所以A错误;易知B正确;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以C错误;“小”的正数没有明确的标准,所以D错误. 5.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是(　　) A.m<0 B.m>0 C.m≠0 D.不确定 解析　B　因为0∈M,所以<0,m>0. 6.已知集合A含有三个元素2,4,6,且a∈A,6-a∈A,那么a为(　　) A.2 B.2或4 C.4 D.0 解析　B　因为a∈A,故a=2或a=4或a=6.若a=2,则6-a=4∈A,满足;若a=4,则6-a=2∈A,满足;若a=6,则6-a=0∉A,不满足.故选B. 7.由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多可含有的元素个数为　　　　.  答案　3 解析　由题意,,()2,-可分别化为|x|,x2,-x,所以由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多可含有3个元素,分别为x,-x,x2,此时x≠±1且x≠0. 8.设集合A中含有1,a,b三个元素,集合B中含有a,a2,ab三个元素,若集合A与集合B相等,则实数a=　　　　,b=　　　　.  答案　-1　0 解析　由题意,得1∈B且a≠1,a≠0, ∴①或② 由a≠1,解①得 解②得与a≠1矛盾, ∴a=-1,b=0. 9.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,a∈R. (1)若-3∈A,试求实数a的值; (2)若a∈A,试求实数a的值. 解　(1)因为-3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,实数a的值为0或-1. (2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1. 当a=a-3时,有0=-3,不成立; 当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意. 综上,实数a的值为1. 10.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 解析　ABD　由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2.故选ABD. 11.(多选)已知集合A中元素x满足x=2m-1,m∈Z,集合B中元素x满足x=2n,n∈Z,且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 解析　ABC　由x1,x2∈A,x3∈B,可知x1,x2是奇数,x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数,所以x1·x2∈A,即A正确;因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以x2·x3∈B,即B正确;因为两个奇数的和为偶数,所以x1+x2∈B,即C正确;因为两个奇数与一个偶数的和为偶数,所以x1+x2+x3∈B,即D错误. 12.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根为元素的集合中共有　　　个元素.  答案　3 解析　方程x2-5x+6=0的实数根是2,3,方程x2-x-2=0的实数根是-1,2.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的实数根为元素的集合中共有3个元素. 13.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则写出a的值;若不能,则说明理由. 解　∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9. 若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25,B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去. 若a2=9,则a=±3, 当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去; 当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意. 综上所述,能根据已知条件求出实数a的值,且a=-3. 14.集合P中含有0,2,5三个元素,集合Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是　　　.  答案　8 解析　当a=0时,由b∈Q,可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q,可得a+b的值为3,4,8;当a=5时,由b∈Q,可得a+b的值为6,7,11. 由集合中元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 15.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0). (1)若2∈A,写出集合A中的元素; (2)证明:集合A不可能是单元素集. (1)解　若a∈A,则∈A. 又因为2∈A,所以=-1∈A. 因为-1∈A,所以=∈A. 因为∈A,所以=2∈A. 再计算下去,仍然只得到2,-1,这三个数, 所以集合A中的元素只有2,-1和. (2)证明　若A为单元素集,则a=, 即a2-a+1=0,方程无实数解. 所以a≠,所以集合A不可能是单元素集. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系. 2.识记常见数集的表示符号. 　　 高一新生入学军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同学会自动走开,这里的“集合”是一个动词,但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”,这就是本节课研究的数学重要概念——集合. 知识点一　元素与集合的概念 1.元素:一般地,我们把研究对象统称为______.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做______(简称为___).集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合中元素的特征:______、______、______. 集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,任何两个元素不能相同,且与顺序无关. [例1]　(1)(多选)考察下列每组对象,能构成集合的是(　　) A.中国各地的美丽乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.方程+=5的根 (2)若集合A由0,m,m2-2m+1三个元素组成,且1在集合内,则m=　　　　.  课堂笔记： 若例题(2)中题目的条件变为:若集合A由1,m,m2三个元素组成,求实数m的取值范围. 课堂笔记： 1.判断一组对象能构成集合的条件 (1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. (2)任何两个对象都是不同的. (3)对元素出现的顺序没有要求. 2.利用集合中元素的特征求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A.某一天到商场买过商品的顾客 B.小于0的实数 C.(2,3)与(3,2) D.未来世界的高科技产品 2.已知集合A含有两个元素1和a2,若a是集合A中的元素,则实数a=　　　　.  知识点二　集合相等 只要构成两个集合的元素是　　　,我们就称这两个集合是相等的. [例2]　若a,,1组成的集合与a2,a+b,0组成的集合为同一个含3个元素的集合,则a2 026+b2 026的值为　　　　.  课堂笔记： 若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等. 3.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a=　　　　,b=　　　　.  知识点三　元素与集合的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 　　　 a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 　　　 a不属于集合A 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 　　　 　　　或N+ 　　　 　　　 R 自然数集包括元素0,而正整数集不包括元素0. [例3]　(1)(多选)下列结论中,正确的是(　　) A.若a∈N,则-a∉N B.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R (2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为　　　　　.  课堂笔记： 若例题(2)中题目的条件变为:已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为　 　　.  课堂笔记： 判断元素与集合关系的方法 1.直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现即可. 2.推理法:首先明确已知集合中元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 4.给出下列关系,其中正确的个数为(　　) ①∈R;②2∈Z;③|-3|∉N*;④|-|∈Q. A.1 B.2 C.3 D.4 5.设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3　　　　　C,5　　　　　C.  1.知识清单: (1)元素与集合的概念. (2)集合中元素的特征. (3)元素与集合的关系. (4)常用数集的记法. 2.方法归纳:直接法、推理法. 3.常见误区:注意集合中元素的互异性;注意符号“∈”“∉”连接的对象. 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　) A.身高比较高的学生 B.所有素数 C.今年高考数学难题 D.所有正方形 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.N与N*是同一个集合 B.Q中的元素都是Z中的元素 C.N中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 3.设集合A含有两个元素x,y,B含有两个元素0,x2,若集合A与集合B相等,则实数x=　　　　,y=　　　　.  4.如果有一集合含有两个元素x,x2-x,则实数x的取值范围是　　　　.  1.下列各组对象可以构成集合的是(　　) A.中国著名的数学家 B.高一年级所有高个子男生 C.今年所有受观众喜爱的影片 D.所有大于3的自然数 2.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是(　　) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的所有实数根组成的集合 3.下列关系中正确的是(　　) A.∈Q B.∉R C.0∈N* D.π∈Z 4.下列说法中正确的是(　　) A.集合N中最小的数为1 B.若-a∈R,则a∈R C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2 D.所有小的正数组成一个集合 5.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是(　　) A.m<0 B.m>0 C.m≠0 D.不确定 6.已知集合A含有三个元素2,4,6,且a∈A,6-a∈A,那么a为(　　) A.2 B.2或4 C.4 D.0 7.由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多可含有的元素个数为　　　　.  8.设集合A中含有1,a,b三个元素,集合B中含有a,a2,ab三个元素,若集合A与集合B相等,则实数a=　　　　,b=　　　　.  9.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,a∈R. (1)若-3∈A,试求实数a的值; (2)若a∈A,试求实数a的值. 10.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 11.(多选)已知集合A中元素x满足x=2m-1,m∈Z,集合B中元素x满足x=2n,n∈Z,且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 12.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根为元素的集合中共有　　　个元素.  13.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则写出a的值;若不能,则说明理由. 14.集合P中含有0,2,5三个元素,集合Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是　　　.  15.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0). (1)若2∈A,写出集合A中的元素; (2)证明:集合A不可能是单元素集. 学科网（北京）股份有限公司 $