1.4.1 充分条件与必要条件 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.4.1　充分条件与必要条件

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．结合具体实例理解“若 ，则 ”形式的命题中条件与结论的含义，理解推出符号的含义，会判断一个命题能否由另一个命题推出。

2．理解充分条件与必要条件的意义，掌握判断充分条件、必要条件的一般步骤，会用集合的包含关系直观理解条件关系。

3．会由“ 是 的充分条件（或必要条件）”求参数的取值范围，并会举反例说明两个条件之间推不出。

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 1．“若 ，则 ”形式的命题

初中已经学过大量可以判断真假的陈述句，它们大多能改写成“若 ，则 ”的形式。例如：

(1) 若两个角是对顶角，则这两个角相等；

(2) 若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等；

(3) 若 ，则 。

命题 (1)(2) 可以由条件经过推理得到结论，命题 (3) 不能：取 时 成立，但 不成立。一般地，在这种形式的命题中，前面的部分称为条件，后面的部分称为结论；由条件经过推理能够得出结论的命题是真命题，否则是假命题。用符号把推出与推不出记录下来。

(1) 在“若 ，则 ”形式的命题中， 称为命题的， 称为命题的。

(2) 如果由 通过推理可以得出 ，那么这个命题为（填“真”或“假”），记作 ，读作“ 推出 ”；如果由 不能推出 ，那么这个命题为假，记作 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) “若 ，则 ”是真命题。（　　）

(2) “若一个数是偶数，则它能被 2 整除”的条件是“一个数是偶数”。（　　）

 2．充分条件与必要条件

考察命题“若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的面积相等”。全等三角形能够完全重合，重合后两图形所占的面积相同，所以由“全等”一定能推出“面积相等”，这个命题是真命题。反过来，“若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等”是假命题：底为 6、高为 4 的三角形与底为 8、高为 3 的三角形面积都是 12，形状却不相同（图 1）。

图 1: 左侧一对全等三角形，面积必定相等；右侧两个三角形面积都是 12，形状却不相同

由“全等”出发必然得到“面积相等”，说明“全等”这一个条件就足以保证“面积相等”成立；而面积一旦不相等，两个三角形就一定不全等，说明“面积相等”是“全等”必须有的结果。数学里把这两种关系分别命名。

(1) 一般地，如果“若 ，则 ”为真命题，即 ，那么 是 的 条件， 是 的 条件。

(2) 说 是 的必要条件，是指 不成立时 成立；说 是 的充分条件，是指 成立时 成立。

 提醒： 判断条件关系时必须先认准推出方向。“ 是 的充分条件”与“ 是 的必要条件”说的是同一个推出关系 ，二者不能互换主语。

判断

(1) 若 ，则 是 的必要条件。（　　）

(2) “”是“”的必要条件。（　　）

 3．从集合的包含关系看充分条件与必要条件

设条件 与条件 所确定的对象分别组成集合 与 ，例如 为“”， 为“”时， 是大于 2 的数组成的集合， 是大于 0 的数组成的集合（图 2）。在数轴上可以看出，凡是属于 的数一定属于 ，即 ；而属于 的数未必属于 ，即 不是 的子集。这与“ 能推出 ， 推不出 ”说的是同一件事。

图 2: ：满足 的数一定满足

一般地，“由 可以推出 ”就是说“凡是使 成立的对象都使 成立”，用集合的语言表达就是 。由此得到下面的关系。

(1) 若 ，则 是 的 条件， 是 的 条件。

(2) 若 ，则 是 的 条件。

 提醒： 用集合法判断时，包含关系的方向决定推出关系的方向：由 得到的是 ，不是 。 中的元素全部落在 中，所以由 能推出 ； 中可能有不属于 的元素，反过来就推不出。

判断

(1) 设 ，，则“”是“”的必要条件。（　　）

(2) 若 ，则“”是“”的必要条件。（　　）

 4．条件关系的判断步骤

要判断 与 之间的条件关系，需要分别考察两个命题：“若 ，则 ”与“若 ，则 ”。以 为“一个四边形是矩形”、 为“一个四边形的对角线相等”为例：第一个命题是真命题（矩形的对角线相等）；第二个命题是假命题，等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形。于是 是 的充分条件，而 不是 的必要条件。两个命题的真假一共有四种情形，相应的条件关系如下表。

说明“推出”要依靠推理，说明“推不出”只要举出一个反例。设 、 是两个条件：

(1) 要说明 不是 的充分条件，只需举出一个 而 的例子。

(2) 要说明 不是 的必要条件，只需举出一个 而 的例子。

判断

(1) “”是“”的充分条件。（　　）

(2) 若“若 ，则 ”为真而“若 ，则 ”为假，则 是 的充分条件，但不是 的必要条件。（　　）

[常用结论]

1. 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。