1.4 充分条件与必要条件讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 充分条件与必要条件（原卷版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 推出符号与条件定义 若命题“若 p，则 q”为真，记作 ，读作“p 推出 q”。 时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 （互相推出），则 p 是 q 的充要条件。 图 1 推出关系与充分、必要条件 2. 四种条件的判定 图 2 四种条件与推出关系的对照 判定口诀：谁“小”谁充分——能推出别人的条件是充分的；被推出（结果）的一方是必要的。“充分不必要”即 且 。 3. 集合视角 设 p 对应集合 A，q 对应集合 B（使 p、q 成立的 x 的范围），则：； 是 的充分不必要条件 等价于 ；充要 等价于 。把逻辑问题化归为集合包含关系，是最稳妥的解法。 二、典型例题 题型一 判断充分、必要条件 例1 判断：p：x=1 是 q： 的什么条件？ 【解】 （充分性成立）；但 时 ，q 不能推出 p（必要性不成立）。故 p 是 q 的充分不必要条件。 【点评】判断前先想全 q 的所有取值情形，反例往往藏在“另一支”里。 题型二 充要条件的证明 例2 求证：一元二次方程 （）有一个根为 1 的充要条件是 。 【解】充分性：若 ，把 代入方程左边得 ，即 是方程的根；必要性：若方程有一个根为 1，代入得 。两者都成立，故为充要条件。 【点评】充要条件证明必须分“充分性”与“必要性”两段，方向不能弄反。 题型三 由条件关系求参数范围 例3 已知 p： 是 q：（a 为常数）的充分不必要条件，求 a 的取值范围。 【分析】p 是 q 的充分不必要条件 等价于 。 【解】 等价于 且 ，得 。 【点评】区间端点处取等仍能保证“充分”，只是是否“必要”由端点是否重合决定；本例端点取等时两集合仍是真包含，故取等成立。 题型四 用逆否命题转化判断 例4 判断：“”是“ 无意义”的什么条件？ 【解】 无意义（负数与 0 的平方根在实数范围内无意义，其中 0 的平方根为 0 有意义，故准确说法是 无意义）；本题按教材约定讨论 ：原命题与逆否命题同真假，“ 有意义 推出 ”成立，故 是 无意义的充分不必要条件不成立——0 的情形提醒我们：条件判定务必注意边界。 【点评】含开方、分母的条件要先明确“有意义”的准确范围，再下结论。 三、易错警示 1. 方向搞反：“p 的充分不必要条件”是 p 推出 q 且 q 不能推出 p，不是反过来。 2. 忽略边界：集合视角判定时，端点取等意味着可能“充要”而非“充分不必要”。 3. 必要条件的通俗理解：“无 q 必无 p”等价于“p 推出 q”，不要把必要当成“需要且只需要”。 4. 充要条件证明两段缺一不可，且表述要指明哪段是充分性。 四、方法小结 问题类型 方法要点 条件判定 找推得通、推不通的正反例；或化归为集合包含 充要证明 先证充分性（p 推出 q），再证必要性（q 推出 p） 由条件求参数 p 是 q 的充分不必要 等价于 A 真包含于 B，列不等式组 抽象命题 用逆否命题同真假转化，或举反例 【考点精讲练】 考点一　充分、必要条件的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·河北廊坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）小玲在学习《论语·子路》时读到“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”，这句话的数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则“”是“”的________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空） 【变式训练3】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？（　　） （1）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ， 为无理数，则 为无理数． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练3】下列命题中是真命题的是 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【提升练4】（26-27高一上·上海松江·阶段检测）“”是“或”的________条件. 【提升练5】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，判断p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中任选一个作答）： (1)p：，q：； (2)p：的解集是R，q：； (3)p：；q：； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (5)p：，q：. 考点二　充要条件的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】下列各题中，p 是 q 的充要条件的是 A．p：；q： B．p：；q： C．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分 D．p：；q： 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）“”是“”成立的______条件．（填充分必要性） 【变式训练3】下列说法正确的是 A．若 ，则 p 是 q 的充分条件 B．“ 是 的约数”是“ 是 的约数”的充分不必要条件 C．空集是任何集合的真子集 D．“”是“”的必要不充分条件 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【提升练2】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【提升练3】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列命题正确的是 （   ） A．“”是“”的充分不必要条件， B．“ 是 的约数”是“ 是 的约数”的充分不必要条件 C．如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D．“”的充要条件是，都不为. 【提升练4】（26-27高一上·上海静安·阶段检测）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充分非必要条件（其中）；③“”是“”的充分非必要条件；④是的必要非充分条件，其中真命题的序号是______. 【提升练5】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设集合 ，． (1)是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点三　根据充分、必要条件求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知条件：或，则使得条件成立的一个必要不充分条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【例2】已知集合 ，，则下列说法正确的是 A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B． C．“”是“ 或 ”的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【基础巩固练】 【变式训练1】已知 p：，q：，且 p 是 q 的充要条件，则 (　　) A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，若“>”是“>”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 【变式训练3】设 ，则下列结论正确的是 A．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的必要不充分条件 B．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【提升练2】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练3】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，．给出如下四个结论，其中结论正确的是（     ） A． B． C． D．“整数，属于同一“类”的充要条件是“” 【提升练4】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是______． 【提升练5】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，集合，．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 考点四　充要条件的证明 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·天津南开·阶段检测）设，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（26-27高一上·江西抚州·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“，”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“”的充要条件是“” 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，则“”的充要条件是（　　） A．不都为 B．都不为 C．中至多有一个是 D．都不为 【变式训练2】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．“”是“或”的充分必要条件 B．“”是“”的充分必要条件 C．“”是“”的充分必要条件 D．“”是“”的充分必要条件 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练2】设 ，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练3】下列命题中为真命题的是 A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充要条件 【提升练4】（26-27高一上·天津西青·阶段检测）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为______． 【提升练5】已知集合 ，，证明： 的充要条件是 ． 考点五　充要条件的探索 【例题精讲】 【例1】已知集合 ，，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·山东·期中）下列说法中错误的有（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练2】（26-27高一上·北京西城·阶段检测）是非空数集，若对任意，，都有，，则称具有性质．给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若，具有性质，则是具有性质的充要条件； ③若，具有性质，则具有性质； ④若具有性质，且，则不具有性质． 其中所有真命题的序号是________． 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列命题为假命题的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合且，则集合的真子集个数是8 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）有限集合中元素的个数记作，设，都是有限集合，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【提升练2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下面命题正确的是（ ） A．已知，则“”是“”的充要条件 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【提升练3】（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【提升练4】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【提升练5】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【真题回顾】 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·天津·高考真题）“a²=b²”是“a²+b²=2ab”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分又不必要条件 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 推出符号与条件定义 若命题“若 p，则 q”为真，记作 ，读作“p 推出 q”。 时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 （互相推出），则 p 是 q 的充要条件。 图 1 推出关系与充分、必要条件 2. 四种条件的判定 图 2 四种条件与推出关系的对照 判定口诀：谁“小”谁充分——能推出别人的条件是充分的；被推出（结果）的一方是必要的。“充分不必要”即 且 。 3. 集合视角 设 p 对应集合 A，q 对应集合 B（使 p、q 成立的 x 的范围），则：； 是 的充分不必要条件 等价于 ；充要 等价于 。把逻辑问题化归为集合包含关系，是最稳妥的解法。 二、典型例题 题型一 判断充分、必要条件 例1 判断：p：x=1 是 q： 的什么条件？ 【解】 （充分性成立）；但 时 ，q 不能推出 p（必要性不成立）。故 p 是 q 的充分不必要条件。 【点评】判断前先想全 q 的所有取值情形，反例往往藏在“另一支”里。 题型二 充要条件的证明 例2 求证：一元二次方程 （）有一个根为 1 的充要条件是 。 【解】充分性：若 ，把 代入方程左边得 ，即 是方程的根；必要性：若方程有一个根为 1，代入得 。两者都成立，故为充要条件。 【点评】充要条件证明必须分“充分性”与“必要性”两段，方向不能弄反。 题型三 由条件关系求参数范围 例3 已知 p： 是 q：（a 为常数）的充分不必要条件，求 a 的取值范围。 【分析】p 是 q 的充分不必要条件 等价于 。 【解】 等价于 且 ，得 。 【点评】区间端点处取等仍能保证“充分”，只是是否“必要”由端点是否重合决定；本例端点取等时两集合仍是真包含，故取等成立。 题型四 用逆否命题转化判断 例4 判断：“”是“ 无意义”的什么条件？ 【解】 无意义（负数与 0 的平方根在实数范围内无意义，其中 0 的平方根为 0 有意义，故准确说法是 无意义）；本题按教材约定讨论 ：原命题与逆否命题同真假，“ 有意义 推出 ”成立，故 是 无意义的充分不必要条件不成立——0 的情形提醒我们：条件判定务必注意边界。 【点评】含开方、分母的条件要先明确“有意义”的准确范围，再下结论。 三、易错警示 1. 方向搞反：“p 的充分不必要条件”是 p 推出 q 且 q 不能推出 p，不是反过来。 2. 忽略边界：集合视角判定时，端点取等意味着可能“充要”而非“充分不必要”。 3. 必要条件的通俗理解：“无 q 必无 p”等价于“p 推出 q”，不要把必要当成“需要且只需要”。 4. 充要条件证明两段缺一不可，且表述要指明哪段是充分性。 四、方法小结 问题类型 方法要点 条件判定 找推得通、推不通的正反例；或化归为集合包含 充要证明 先证充分性（p 推出 q），再证必要性（q 推出 p） 由条件求参数 p 是 q 的充分不必要 等价于 A 真包含于 B，列不等式组 抽象命题 用逆否命题同真假转化，或举反例 【考点精讲练】 考点一　充分、必要条件的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·河北廊坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”不能推出“”，不满足充分性；“”则一定满足“”，满足必要性， 故“”是“” 的必要不充分条件． 【例2】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】判断是的必要不充分条件,只需检验能否推出,以及能否推出,前者成立而后者不成立时才符合要求. 【详解】对于A,即或. 取,此时成立但不成立,即不能推出. 又取,此时成立但不成立,即不能推出,故既不是的充分条件,也不是的必要条件,A错误. 对于B,由可得,即能推出. 取,此时成立但不成立,即不能推出,所以是的必要不充分条件,B正确. 对于C,即,等价于,与等价,所以由能推出,由也能推出,是的充要条件,C错误. 对于D,即,也就是,等价于. 由可得,即能推出. 取,此时成立但不成立,即不能推出,所以是的必要不充分条件,D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）小玲在学习《论语·子路》时读到“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”，这句话的数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件判断及逆否命题与原命题等价可得. 【详解】设“身正”，“令行”，则“身不正”，“令不从”， 由“其身正，不令而行”，即，所以“身正”是“令行”的充分条件； 又由“其身不正，虽令不从”，即，所以它的逆否命题为真命题， 所以“身正”是“令行”的必要充分条件. 综上，“身正”是“令行”的充分必要条件. 【变式训练2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则“”是“”的________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空） 【答案】充分非必要 【详解】等价于或. 由能推出，但由推不出（还可能）， 所以“”是“”的充分非必要条件. 【变式训练3】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？（　　） （1）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ， 为无理数，则 为无理数． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】ABC 【详解】“ 是 的充分条件”即 成立，逐项判断，不成立时举出反例． 【解答】（1）菱形的对角线互相垂直， 成立，故 是 的充分条件； （2）由 得 且 ，所以 ， 成立，故 是 的充分条件； （3）由 知 ，两边同除以 得 ， 成立，故 是 的充分条件； （4）取 ，，二者均为无理数，但 是有理数，故 不是 的充分条件． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由 得，解得 或 . 由可以得到，则充分性成立； 但由，推不出，则必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 【提升练2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题设结合充分，必要条件定义可判断选项正误. 【详解】或，则由不能得到，则“”不是“”的充分条件； 由可以得到，则“”是“”的充分条件， 从而“”是“”的必要不充分条件. 【提升练3】下列命题中是真命题的是 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】A 中 ，而 时 ，反之不成立，A 正确；B 中 即 或 ，由 可推出方程成立，反之不成立，B 正确；C 中 ，故“”是“”的充分不必要条件，C 错误；D 中 ，而 时未必 ，D 正确．故选 ABD． 【提升练4】（26-27高一上·上海松江·阶段检测）“”是“或”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】分析充分性，由加法运算可直接得出充分性成立，分析必要性，举个例子可说明必要性不成立. 【详解】分析充分性： 若成立，若，则，若，则， 所以一定能说明和至少有一个成立，即或成立，充分性成立； 分析必要性： 若或，即和二者至少一个成立， 举例：，，此时，所以必要性不成立. 所以“”是“或”的充分不必要条件. 【提升练5】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，判断p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中任选一个作答）： (1)p：，q：； (2)p：的解集是R，q：； (3)p：；q：； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (5)p：，q：. 【答案】(1)充要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)必要不充分条件 (5)充分不必要条件 【详解】（1），解得，，解得， 故p是q的充要条件； （2）的解集是R，需满足， 显然可以推出，但不能推出， 故p是q的充分不必要条件； （3），解得，此时满足， 但不能得到， 故p是q的必要不充分条件； （4）四边形的对角线相等不能得到四边形是矩形； 四边形是矩形，可以得到四边形的对角线相等， 故p是q的必要不充分条件； （5），解得或3， 所以可以推出，但不能推出， 故p是q的充分不必要条件； 考点二　充要条件的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，可得，所以=，充分性成立； 由=，可得，所以，必要性成立. 所以“”是“=”的充要条件. 【例2】下列各题中，p 是 q 的充要条件的是 A．p：；q： B．p：；q： C．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分 D．p：；q： 【答案】AD 【详解】A 中 即 ，二者等价，A 正确；B 中 ，反之不成立，是充分不必要条件，B 错误；C 中正方形的对角线互相垂直且平分，但对角线互相垂直且平分的四边形也可能是菱形（非正方形），是充分不必要条件，C 错误；D 中 等价于 ，D 正确．故选 AD． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分必要条件. 【变式训练2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）“”是“”成立的______条件．（填充分必要性） 【答案】充分必要 【详解】设“”为命题，其解集为，“”为命题，其解集为， 解得， 要求的解集，即求，即的解集， 解得， 则，所以“” 是“” 成立的充分必要条件． 【变式训练3】下列说法正确的是 A．若 ，则 p 是 q 的充分条件 B．“ 是 的约数”是“ 是 的约数”的充分不必要条件 C．空集是任何集合的真子集 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【详解】A 中由充分条件的定义可知正确；B 中 的约数为 ，是 的约数 的真子集，故为充分不必要条件，B 正确；C 中空集是任何非空集合的真子集，但不是其自身的真子集，C 错误；D 中 ，而 时 但 ，应为充分不必要条件，D 错误．故选 AB． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 【提升练2】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【提升练3】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列命题正确的是 （   ） A．“”是“”的充分不必要条件， B．“ 是 的约数”是“ 是 的约数”的充分不必要条件 C．如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D．“”的充要条件是，都不为. 【答案】ACD 【详解】A项：，反之不成立（如 ）满足，不满足，充分不必要条件，正确； B项：“ 是 的约数”能推出“ 是 的约数”，但“ 是 的约数”不能推出“ 是 的约数”（如 ），故“ 是 的约数”是“ 是 的约数”的必要不充分条件，错误； C项： 必含 ，还可从 中任选若干个，共 个，去掉 等于全集的情形，得 个，正确； D项： 且 ，正确． 【提升练4】（26-27高一上·上海静安·阶段检测）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充分非必要条件（其中）；③“”是“”的充分非必要条件；④是的必要非充分条件，其中真命题的序号是______. 【答案】② 【详解】①取，此时，而，故“”不是“”的充要条件， 命题①为假命题． ②在时，若，则，充分性满足； 取时，，而，必要性不满足， 故“”是“”的充分非必要条件，命题②为真命题． ③取，有，但，故不是的充分条件，命题③为假命题； ④可推出，故是的充分条件，命题④为假命题． 【提升练5】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设集合 ，． (1)是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，， 理由如下：是的充要条件即， 所以且，解得，故存在． (2)存在，， 理由如下： 是的必要不充分条件即且． 当，即 时，且，符合； 当时，，由得且，即， 又时，不符合“不充分”，所以， 综上． 【分析】（1）根据充要条件得出，列出端点值等式求解. （2）由必要不充分条件得且，分为空集和非空集合讨论求解范围. 【详解】（1）略 （2）略 考点三　根据充分、必要条件求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知条件：或，则使得条件成立的一个必要不充分条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】把条件转化成对应集合，必要不充分条件等价于原集合是选项集合的真子集，逐一比对集合包含关系选出答案． 【解答】：或，记， 对于A，或对应，它真包含，A符合； 对于B，或对应，它真包含于，B不符合； 对于C，或对应，它与相同，C不符合； 对于D，对应，它与无包含关系，D不符合． 【例2】已知集合 ，，则下列说法正确的是 A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B． C．“”是“ 或 ”的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【详解】，． 但 ， 但 ，两者互推不出，A 正确；，B 错误； 即 或 ，C 正确；，而 时 但 ，D 正确．故选 ACD． 【基础巩固练】 【变式训练1】已知 p：，q：，且 p 是 q 的充要条件，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】p 是 q 的充要条件，即 与 表示同一集合，故 ，解得 ．故选 A． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，若“>”是“>”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】应用必要不充分条件定义得出真子集关系求解参数. 【详解】是的必要不充分条件，即的解集真包含于的解集. 设：>，：>是的必要不充分条件， 即⟹但⇏，也即⫋，故>. 【变式训练3】设 ，则下列结论正确的是 A．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的必要不充分条件 B．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【详解】A、B 中等边三角形必是等腰三角形，而等腰三角形未必是等边三角形，故“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件，A 错误，B 正确；C 中 的解为 或 ，由 可推出方程成立，反之不成立，C 正确；D 中方程的解为 ，由 可推出方程成立，反之不成立，D 正确．故选 BCD． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】B 【详解】当时，； 当时，，可能为. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 【提升练2】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解绝对值不等式得到对应解集，通过判断两个条件对应集合的真包含关系确定充分必要性. 【详解】首先解不等式，根据绝对值的运算性质，该不等式等价于： 对不等式三边同时加1，解得： 设集合. 充分性验证：若，则必有； 必要性验证：取，此时，满足，但. 因此“”是“”的充分不必要条件. 【提升练3】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，．给出如下四个结论，其中结论正确的是（     ） A． B． C． D．“整数，属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】根据新定义“类”的含义：被除余数为的整数构成集合，结合余数性质、集合运算规则及充要条件的判断逻辑逐一分析选项即可. 【详解】选项A：计算得，余数为，符合的定义，故，故A正确； 选项B：将改写为（）的形式，可得，即，故的结论错误，故B错误； 选项C：任意整数被除，余数只能是、、、四种情况，因此所有整数都属于四个类中的一个，即，故C正确； 选项D：充分性：若属于同一类，设（），则； 必要性：若，则（），即，说明除以的余数相同，属于同一类，所以充要条件成立，故D正确. 【提升练4】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】充分性要求时必有；不必要性要求反过来不成立. 【详解】要使，需，即. 当时，取满足，则但不成立，所以不是必要条件. 故. 【提升练5】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，集合，．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由必要条件定义可得；分别讨论和的情况，解不等式组即可求解. 【详解】“”是“”的必要条件，； 当时，满足，此时，解得； 当时，若，则，不等式组解集为； 综上所述：实数的取值范围为. 考点四　充要条件的证明 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·天津南开·阶段检测）设，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分，，先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案. 【详解】当时，，由可得； 当时，由，，不可得，如，但， 故充分性不满足； 当时，，由可得； 当时，，由可得； 故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 【例2】（26-27高一上·江西抚州·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“，”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“”的充要条件是“” 【答案】AB 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，都不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故D错误； 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，则“”的充要条件是（　　） A．不都为 B．都不为 C．中至多有一个是 D．都不为 【答案】D 【分析】把不等式恒等变形为乘积形式，再判断等价条件． 【详解】因为， 所以且，即“”的充要条件是都不为. 【变式训练2】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】 设集合，， 若是的必要条件，则，， 因此有 ，解得； 故实数的取值范围为. 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．“”是“或”的充分必要条件 B．“”是“”的充分必要条件 C．“”是“”的充分必要条件 D．“”是“”的充分必要条件 【答案】BCD 【详解】得或，故“”是“或”的充要条件，故A正确； 由得，得；而得或； 故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 由得，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 得不同时为；得且； 故“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，解得. 充分性：若成立，则，充分性成立； 必要性：若，代入原方程显然成立，必要性成立. 因此“”是“”的充要条件. 【提升练2】设 ，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当 时， 成立；反之，当 时 ，但 ，推不出 ．故“”是“”的充分不必要条件，选 A． 【提升练3】下列命题中为真命题的是 A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】A 中 时 但 ，充分性不成立，A 为假命题；B 中 ，B 为真命题；C 中 ，而 时可能 且 ，C 为真命题；D 中 即 且 ，可推出 ，但 满足 却不满足 ，不是充要条件，D 为假命题．故选 BC． 【提升练4】（26-27高一上·天津西青·阶段检测）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】若“”是“”的充分条件，等价于是的子集，列不等式组即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得，即 所以的取值范围是. 【提升练5】已知集合 ，，证明： 的充要条件是 ． 【答案】必要性：；充分性：．证明见详解． 【详解】先证必要性：若 ，任取 ，则 ，故 ，由 的任意性得 ，必要性成立． 再证充分性：若 ，一方面 恒成立；另一方面任取 ，由 得 ，故 ，即 ，所以 ，充分性成立． 综上， 的充要条件是 ． 考点五　充要条件的探索 【例题精讲】 【例1】已知集合 ，，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取 ，但 ，充分性不成立；取 ，但 ，必要性不成立．故“”是“”的既不充分也不必要条件，选 D． 【例2】（24-25高一上·山东·期中）下列说法中错误的有（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据充分、必要条件的判定方法，以及方程根的情况，逐个分析每个选项，判断其正误. 【详解】对于A选项，当 时 成立；反之 时 可以取负数（如 ），故“”是“”的充分不必要条件，A选项错误. 对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项， 时 成立；反之 即 ，解得 或 ，不一定有 ，故“”是“”的充分不必要条件，C选项错误. 对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】当时，可能，因此不能推出， 反之，若，则都不为0，可以推出． 综上所述，“”是“”的必要不充分条件． 【变式训练2】（26-27高一上·北京西城·阶段检测）是非空数集，若对任意，，都有，，则称具有性质．给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若，具有性质，则是具有性质的充要条件； ③若，具有性质，则具有性质； ④若具有性质，且，则不具有性质． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】①取验证即可；②充分性由交集元素同时属于两个集合并结合性质推出运算封闭，必要性由性质要求集合非空直接得到；③举反例，，取，，但；④用反证法，假设补集也具有性质，通过讨论是否属于分别推出矛盾． 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，充分性：取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P． 必要性：因为，具有性质，且具有性质， 所以是非空数集，所以．所以②正确； 对于③，取，， 而，，但，故③错误； 对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得， 否则若，由于也具有性质P， 则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P，所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列命题为假命题的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合且，则集合的真子集个数是8 【答案】ACD 【分析】明确两命题之间的关系，可判断A的真假；确定集合，，可判断B的真假；根据一元二次方程根的分布求的取值范围，判断C的真假；确定集合中的元素，求其真子集的个数，判断D的真假. 【详解】对A：由只能得到集合有公共元素，并不能得到； 反之，由，可能有，此时. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A为假命题； 对B：因为是函数的值域，所以；是函数的定义域，所以， 所以，故B为真命题； 对C：假设方程有两个根，表示为，，则两根均为负数 . 即方程有两个负根的充要条件是，故C为假命题； 对D：因为且 ， 所以集合真子集的个数为个，故D为假命题. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）有限集合中元素的个数记作，设，都是有限集合，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据和题干条件得到，从而得到答案. 【详解】因为， 又， 所以； 反之也成立. 故是的充要条件. 【提升练2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下面命题正确的是（ ） A．已知，则“”是“”的充要条件 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【详解】 时，，解得 或 ，不满足必要性，而 时 成立，故“”是“”的充分不必要条件，A错误； 且 时 不成立，故“”是“”的必要不充分条件，B正确； 时 成立，而 时可能 而 ，故“”是“”的充分不必要条件，C错误； 时必有 ，而 时可能 ，不满足 ，故“”是“”的必要不充分条件，D错误．故选 B． 【提升练3】（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【详解】要使“或”成立的一个充分不必要条件， 即的取值范围是或的一个真子集． 对于A，由或不是或的一个真子集，故A错误； 对于B，由或⫋或，故B正确； 对于C，由⫋或，故C正确； 对于D，由或的不是或的一个真子集，故D错误． 【提升练4】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 【提升练5】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）时写出，再根据交集与补集的定义求解； （2）是的充分条件即，根据集合包含关系求解，注意可能为空集． 【详解】（1）当时，，又， 所以； 又或，所以． （2）因为是的充分条件，所以． 当，即时，，符合题意； 当时，需且，解得，故． 综上，． 【真题回顾】 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．（2023·天津·高考真题）“a²=b²”是“a²+b²=2ab”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由a²=b²得|a|=|b|，即a=b或a=−b；由a²+b²=2ab得(a−b)²=0，即a=b．因此a²=b²不能推出a²+b²=2ab，而a²+b²=2ab能推出a²=b²，所以“a²=b²”是“a²+b²=2ab”的必要不充分条件．故选：B． 3． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $