1.4.1 充分条件与必要条件-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条 义，理解判定定理与充分条件的关系 件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提 2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意 升逻辑推理素养与数学抽象素养 义，理解性质定理与必要条件的关系 课前。预习学案 对应学生用书P16 ● [情境引入] 2.以下五种表述形式：①p→9；②力是q的充分 某居民的卧室里安有一盏 条件；③q的充分条件是p;④q是p的必要条 灯，在卧室门口和床头各有一个 件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等 开关，任意一个开关都能够独立 价吗？ 控制这盏灯，这就是电器上常用 提示：这五种表述形式是等价的， 的“双刀”开关，如图所示. [知识点二]判定定理、性质定理与充分条件、必要 [问题](1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ 条件的关系 (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ (1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论 提示(1)一定亮. (2)不一定，还可能是C开关闭合. 成立的一个充分条件。 [知识梳理] (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论 成立的一个必要条件」 [知识点一]充分条件与必要条件 1.定义 [预习自测] 1.设命题甲：{x0<x<3},命题乙：{x|x-1<2}, 命题 “若p,则q”是 “若，则g”是假命题 那么甲是乙的 真假 真命题 A.充分不必要条件 推出 B.必要不充分条件 关系 p→g p台q C.充要条件 p不是q的 D.既不充分也不必要条件 条件 p是q的充分条件 充分条件 答案：A 关系 q是p的必要条件 q不是p的 2.下列四个条件中能成为x>y的充分条件的有 必要条件 2.本质：当命题p→q是真命题时，条件p与结论g之 A.xt>yt2 B.xt>yt 间的逻辑称谓。 C.x>y D.0<⊥<1 a y 3.应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语， 答案：B 数学学科中大量的命题用它们来叙述， 3.用符号“→”“力”填空 2思考1.p是q的充分条件与q是力的必要条件 (1)x2=y x=y; 所表示的推出关系是否相同？ (2)内错角相等 两直线平行. 提示：相同，都是p24 答案：(1) (2)→ 21· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P17 题型二 充分条件的判断 (2)设集合M={x|0<x≤2}，N={x|0<x≤3}， 那么“a∈M”是“a∈N”的 条件.（填“充 [例1门判断下列各题中，p是否是q的充分条件： 分”或“必要”) (1)p:a∈Q,q:a∈R; 解析：(2)由题意得，MUN=N,所以“a∈M”→“a <1 (2)p:a<b,g:6 ∈N”,所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件. 答案：(1)A(2)充分 (3)p:x>1,9:x2>1; 题型二 必要条件的判断 (4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; [例2]下列“若，则g”形式的命题中，哪些命题中的 (5)在△ABC中，p:∠A>∠B,q:BC>AC. q是p的必要条件？ 汇思路点拔]分清命题的条件和结论，判断是由 (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条 条件推出结论，还是由结论推出条件 对角线相等； [解](1)由于Q军R,所以→q,所以力是g的充 (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三 角形； 分条件. (2)由于a<b,当60时，分>1：当b>0时，分<1， （)若上则x=y (4)若关于x的方程ax十b=0((a,b∈R)有唯 因为中q,所以p不是g的充分条件， 解，则a>0. (3)由x>1可以推出x2>1.因此p→q,所以力是 汇思路点拨]”找到条件和结论的关系，是判断必 q的充分条件 要条件的关键， (4)设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B手 [解](1)等腰梯形的两条对角线相等.因此， A.因此p中q,所以p不是g的充分条件. →q,所以q是力的必要条件. (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则 (2)直角三角形不一定是等腰三角形， BC>AC.因此，p→q,所以p是q的充分条件. 因此中q,所以g不是力的必要条件. 规律方法 (3)若1=1，则x=y是真命题. 充分条件的两种判断方法 因此→q,所以q是p的必要条件. (1)定义法： (4)命题“若关于x的方程ax十b=0(a,b∈R)有唯 一解，则a>0”为假命题，因此p中g,所以q不是p 第一步 确定谁是条件，谁是结论 的必要条件。 规律方法 第二步 尝试由条件推结论 必要条件的两种判断方法 若条件能推出结论，则条件为 (1)定义法： 第三步 结论的充分条件，否则条件就 不是结论的充分条件 第一步 确定谁是条件，谁是结论 (2)命题判断方法： 第二步 尝试由结论推条件 如果命题：“若，则q是真命题，则力是q的 充分条件； 若结论能推出条件，则条件为 如果命题：“若，则g”是假命题，则p不是q 第三步 结论的必要条件，否则条件就 不是结论的必要条件 的充分条件. (2)命题判断方法： ⊙[变式训练] 如果命题：“若p,则g”是真命题，则g是力的 1.(1)使x(y-2)=0成立的一个充分条件是( 必要条件； A.x2+(y-2)2=0B.(x-2)2+y2=0 如果命题：“若p,则g”是假命题，则q不是 C.(x+1)2+y2=0D.x(y-2)(x+2)=0 的必要条件 ·22· 第一章集合与常用逻辑用语 ⊙[变式训练] 规律方法 2.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 p的必要条件？ (1)化简p,9两命题， (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上 (2)根据力与q的关系（充分、必要条件）转化为集 的中线相等； 合间的关系.依据如下： (2)若∠a=60°32'，则∠a的余角是29°28'； (3)若有三条线段长分别为3cm、4cm和9cm,则 卫是g的充分条件 p→q ACB 这三条线段能组成三角形； 力是g的必要条件 q→p B∈A (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数. 解：(1)该命题是真命题，p→q,所以q是力的必要 (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立 条件. 不等式组 (2)因为∠a=60°32'，所以∠a的余角为90°- (4)求解参数范围. 6032=29°28. 特别提醒：验证集合为)时是否符合题意， p→q,所以q是p的必要条件. ⊙[变式训练] (3)因为3十4<9，所以长分别为3cm、4cm和 3.(1)是否存在实数m,使2.x十m<0是x<-1或 9cm的三条线段不能组成三角形，所以p户q,所以 x>3的充分条件？ q不是p的必要条件， (2)是否存在实数m,使2x十m<0是x<-1或 (4)两个偶数相乘仍是偶数. x>3的必要条件？ 所以→q,所以q是力的必要条件. 解：(1)若2x十m<0是x<-1或x>3的充分 题型充分条件与必要条件的应用 条件 [例3]已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的 则只委{女-受}=xx<-1,或x>3,即只 一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值 范围 需-受≤-1，所以m≥2. 2 [思路点拨]依充分条件的定义构造不等式组 故存在实数m≥2，使2x十m<0是x<-1或x>3 求解 的充分条件. [解]由-a<x-1<a,得1-a<x<1十a, (2)若2x十m<0是x<-1或x>3的必要条件， 依题意，得{x-1<x<3}三{x1-a<x<1十a}, 则只要x<-1,或>3={<-}这是 所以1-a≤-1， 解得a≥2. 不可能的 1+a≥3， 故不存在实数m,使2x十n<0是x<一1或x>3 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{blb<2. 的必要条件. 随堂。步步夯实 对应学生用书P19 ● 1.已知x∈R,则“x2=x十6”是“x=√x十6”的( C.q的必要不充分条件是p A.充分不必要条件 D.p的必要不充分条件是g B.必要不充分条件 答案：BD C.既充分又必要条件 3.用充分条件、必要条件填空： D.既不充分也不必要条件 (1)“a+b<0"”是“a<0且b<0”的 答案：B (2)“x=2”是“x2-7x十10=0”的 2.（多选)已知p:a=b,q:a=b,则下列说法正确 答案：(1)必要条件(2)充分条件 的是 ( 4.“a=2”是“方程x2一4.x十a=0有实根”的 A.q是p的充分不必要条件 条件.（用“充分”“必要”填空) B.p是q的充分不必要条件 答案：充分 ·23· 数学·必修第一册 5.已知p:-2≤x≤10，g:1-m≤x≤1+m,且p是g的 ≤1十m}的真子集， 充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围， 1-m<-2, 1-m≤-2， 所以 或 解得m≥9， 解：因为力是q的充分条件，但不是必要条件，所以 1+m≥10 1+m>10, p→q但q中p,即{x|-2≤x≤10}是{x1-m≤x 所以实数m的取值范围为{mm≥9}. 课后。素养提升 对应学生课时P255 基础过关 解析：AD[①由xt2>yt2可知t2>0,所以x>y, 》 1.设命题“若，则g”为假，而“若q,则p”为真，则p 故xt2>yt2→x>y; 是q的 ) ②当t>0时，x>y,当t<0时，x<y, A.充分不必要条件 故xt>ytPx>y; B.必要不充分条件 ③由x2>y2,得x>|y,故x2>y2x>y; C.既充分又必要条件 ④由0<1<1x>.故选AD.] x y D.既不充分又不必要条件 答案：B 6.(多选)已知集合A={xa+1<x<2a-3》,B 2.“x=3”是“x2=9”的 {xx≤一2或x≥7}，则A∩B=的必要不充分 A.充分而不必要的条件 条件可能是 B.必要而不充分的条件 A.a<7 B.a<6 C.既充分又必要条件 C.a<5 D.a<4 D.既不充分也不必要的条件 解析：AB[当A=☑时，a十1≥2a-3,解得a≤4， 答案：A 此时A∩B=⑦； 3.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出 当A≠⑦时，a+1<2a-3,解得a>4, 自《论语·卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其 1a+1≥-2， 事”的 若A∩B=,则 解得-3≤a≤5， (2a-3≤7， A.充分不必要条件 又a>4,则4<a≤5. B.必要不充分条件 C.既充分又必要条件 故A∩B=☑等价于a≤5，所以A∩B=☑的必要 D.既不充分也不必要条件 不充分条件可以是a<7,a<6.] 答案：B 7.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 4.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的 条件 条件是 ( ) 解析：a=2→(a-1)(a-2)=0;(a-1)(a-2)=0 A.a>b+1 B.a>b-1 →a=1或a=2,从而可知“a=2”是“(a-1)(a-2) C.a2>b2 D.a>b =0”的充分不必要条件. 答案：A 答案：充分不必要 5.(多选)给出四个条件： 8.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的 ①xt2>yt2;②.xt>yt;③x2>y2; 条件 ④0<1<1 x y 解析：-2<x<1x>1或x<-1,并且x>1 其中能成为x>y的充分条件的有 或x<-1羚-2<x<1,.“-2<x<1”是“x>1 A.① B.② 或x<一1”的既不充分条件，也不必要条件 C.③ D.④ 答案：既不充分也不必要 ·24· 第一章集合与常用逻辑用语 9.若a,b都是实数，试从①ab=0;②a十b=0; 解：令M={x|2x2-3.x-2≥0}={x|(2x+1)(x ③a(a2十b2)=0;④ab>0中选出适合下列条件的， -2)≥0={xx≤-2或x≥2 用序号填空： N={x.x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x (1)“a,b都为0”的必要条件是 a)[x-(a-2)]≥0}={xx≤a-2或x≥a}, (2)“a,b都不为0”的充分条件是 由已知p→q,且q,得M军N. 解析：①ab=0台a=0或b=0,即a,b至少有一个 a-2>- 1 为0； 所以 2’或 /a-2>-1 ②a十b=0台a,b互为相反数，则a,b可能均为0， a<2 la2 也可能为一正一负； 号<a≤2台3 ≤a≤2.即所求a的取值范围 ③a(a2+)=0=a=0或=0， b=0; 或/<0， ④ab>0=>0 则a,b都不为0. 能力提升 b>0b<0, 答案：(1)①②③(2)④ 2已知合A-{=-多+1,2<<2}： 10.下列“若p,则qg”形式的命题中，p是g的什么条 B={x|x+m≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条 件？（充分不必要条件，必要不充分条件，既是充 件，求实数m的取值范围. 分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) 解y=x2- +1-(-)+ (1)若x=1,则x2-4x+3=0: (2)若x为无理数，则x2为无理数； 因为≤2，所以≤≤2 (3)若x=y,则x2=y2; 所以A=品2 (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积 由x+m2≥1，得x≥1-m2, 相等； 所以B={x|x≥1-m2}. (5)若a>b,则ac>bc. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A二B, 解：(1)因为命题“若x=1,则x2-4x十3=0”是真 命题，而命题“若x2-4x十3=0，则x=1”是假命 所以1-m<名郎符m≥是或m≤-是， 题，所以力是q的充分条件，但不是必要条件，即 故实数m的取值范围是 力是q的充分不必要条件. {m≤-是或m≥} (2):p书q,而q→p,∴.p是9的必要不充分 13.是否存在实数p,使4x十p<0是x2-x一2>0的 条件 充分条件？如果存在，求出力的取值范围；否则， (3)p→q,而q户p,p是q的充分不必要 说明理由 条件 解：由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1, (4):p→q,而q护p,.p是q的充分不必要 令A={xx>2,或x<-1}, 条件 由4红+<0，得B=《x<-. (5):pq,而q书p,p是q的既不充分也不必 要条件 当B二A时，即-卫≤-1，即p≥4， 4 11.已知p:2x2-3x-2≥0，q:x2-2(a-1)x十a(a 此时K-是-1⊙-一2>0， 2)≥0，若饣是g的充分不必要条件.求实数a的 .当p≥4时，4x十力<0是x2-x-2>0的充分 取值范围. 条件. ·25·