2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一题型精讲及考点精练

2.1 等式性质与不等式性质（原卷版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 两个实数大小的比较 作差比较是所有大小比较的根基： 图 1 数轴上的大小关系与作差法 对正数还可以作商： 时，。 2. 不等式的基本性质 性质 内容 说明 对称性 可反过来表述 传递性 中间量相同 可加性 加任意同一个数 同向可加 同向不等式只能相加 乘正数 方向不变 乘负数 方向改变 正数同向可乘 须两边都为正 乘方、开方 （）， 底数须为正 倒数 同为正时方向改变 二、典型例题 题型一 作差比较大小 例1 已知 ，比较 与 的大小。 例2 比较 与 的大小。 题型二 利用性质判断命题真假 例3 判断下列命题真假：（1）；（2）；（3）。 题型三 由不等式性质求取值范围 例4 已知 ，，求 、 的取值范围。 三、易错警示 1. 两边乘（除）负数必须变号，这是不等式与等式性质最大的差别。 2. 同向不等式可以相加，但不能相减；正数同向可以相乘，但不能相除。 3. 传递性要求中间量相同： 推不出 a 与 c 的大小。 4. 求范围时多次“变号放缩”会扩大范围，尽量一次性变号后同向相加。 四、方法小结 问题类型 方法要点 比较大小 作差 → 变形（因式分解、配方）→ 定号 → 结论 正数比较 可作商：与 1 比较 性质真假判断 查前提（正负、非零），善用反例 求范围 独立求各部分范围，再同向相加；减法先变号 【考点精讲练】 考点一　利用不等式表示不等关系 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东济南·开学考试）已知购买支中性笔和支自动铅笔的总费用大于元，购买支中性笔和支自动铅笔的总费用小于元．设购买支中性笔的费用为元，购买支自动铅笔的费用为元，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（ ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）完成一项装修工程，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元．现有工人工资预算元，设请木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【变式训练3】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．某人月收入不高于2000元可表示为“” B．小明的体重，小华的体重为，则小明比小华重表示为“” C．某标量至多为1可表示为“” D．某标量不超过可表示为“” 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·山东淄博·阶段检测）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往，已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的学生总数多于前往乙地的学生总数，则（   ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【提升练2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）小强去超市想买一些牛奶和面包，已知每盒牛奶5元，每袋面包4元，小强一共带了200元，设买牛奶盒，面包袋，则和满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【提升练4】（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 【提升练5】（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”． (1)对于，，，，试问是否为的“下位序列”； (2)设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系； (3)设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 考点二　利用不等式性质判断不等式正确性 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）下列命题是真命题的是（     ） A．“”是“”的充分条件． B．“”是“”的既不充分也不必要条件． C．若，且，则． D．若，则． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）若，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列不等式中成立的是________． ①若，则；②若，则；③若，则． 【变式训练3】（26-27高一上·全国·期中）若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）已知 ，且 ，，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） A．若 >，则 B．若 >，>，则 > C．若 >，则 < D．若 >，>，则 > 【提升练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）在下列四个命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．已知，，，，若，，则 D．已知，，则 【提升练4】（26-27高一上·天津河西·阶段检测）若 给出下列不等式，其中错误的不等式是  ________(只填序号). ① ；②；③；④ . 【提升练5】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）（1）已知集合，，求，； （2）已知，，求与的范围. 考点三　由不等式的性质证明不等式 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知 ，，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列选项说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，，则的取值范围是__． 【变式训练3】（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知a，b，c，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则， 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提升练2】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【提升练3】（26-27高一上·四川乐山·阶段检测）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【提升练4】（26-27高一上·全国·期中）若实数 ，，则 的取值范围是__． 【提升练5】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（）（假设全部溶解）．糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式． (2)一般认为，教室里黑板面积必须小于墙壁面积，黑板面积与墙壁面积的比值越大，教室的教学效果越好．若同时增加相同的黑板面积和墙壁面积，教室的教学效果是变好了还是变坏了？ 考点四　利用作差与作商比较大小 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东烟台·期中）某社区开展志愿服务时长统计，甲、乙、丙、丁四位志愿者月服务时长满足以下关系：甲、乙服务时长之和等于丙、丁服务时长之和，甲、丁服务时长之和大于乙、丙服务时长之和，乙的服务时长大于甲、丙服务时长之和．则这四名志愿者月服务时长从大到小的顺序为（    ） A．丁、乙、丙、甲 B．丁、甲、乙、丙 C．乙、丁、甲、丙 D．丁、乙、甲、丙 【例2】（26-27高一上·广东中山·阶段检测）若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知，则比较 与 的大小，结果为（　　） A． B． C．相等 D．无法确定 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则与的大小关系为____________. 【变式训练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）已知，比较 与 的大小为（　　） A． B． C． D．不能确定 【提升练3】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【提升练4】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）有两个图形，图形表示一个长方形（有可能为正方形），图形表示一个正方形，这两个图形的周长相等，设图形的长方形相邻两边长分别为和（，），试用，建立一个不等式，该不等式用来表示图形的面积和图形的面积的大小关系，则不等式为________ 【提升练5】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围． （2）已知，设，，比较M与N的大小； 考点五　利用不等式求代数式的范围 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列叙述中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若 ，则 D．已知，则“”是“”的必要不充分条件 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）已知 −，，则 的取值范围是__． 【变式训练3】（26-27高一上·广西·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A，B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．A货箱节，B货箱节 B．A货箱节，B货箱节 C．A货箱节，B货箱节 D．A货箱节，B货箱节 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）若实数满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【提升练4】（26-27高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围是__________． 【提升练5】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知，，分别求，的取值范围. （2）已知，，求证：. （3）已知，证明：“”是“”的充要条件. 考点六　“糖水不等式”的理解与应用 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【例2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一间办公室的地板面积为，且窗户的面积比地板面积的少，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ (2)若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 【变式训练3】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【提升练2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【提升练4】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知克糖水中含有克糖，若再添加克糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中的糖浓度变大）．根据这个事实，则________（填“，，，，”之一）． （2），，则________（填“，，，，”之一）． 【提升练5】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)利用（1）的结论证明命题：“若都是正数，且，则”. 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 两个实数大小的比较 作差比较是所有大小比较的根基： 图 1 数轴上的大小关系与作差法 对正数还可以作商： 时，。 2. 不等式的基本性质 性质 内容 说明 对称性 可反过来表述 传递性 中间量相同 可加性 加任意同一个数 同向可加 同向不等式只能相加 乘正数 方向不变 乘负数 方向改变 正数同向可乘 须两边都为正 乘方、开方 （）， 底数须为正 倒数 同为正时方向改变 二、典型例题 题型一 作差比较大小 例1 已知 ，比较 与 的大小。 【解】作差：。当 时前者大； 时相等； 时后者大。 【点评】展开后同类项抵消，差化为一次式，再按符号分段下结论。 例2 比较 与 的大小。 【解】差 ，故 ，当且仅当 时取等号。 题型二 利用性质判断命题真假 例3 判断下列命题真假：（1）；（2）；（3）。 【解】（1）假，反例 ；（2）假， 时两边都是 0；（3）真： 时 ，两边同除 得 的等价形式，即 。 【点评】判断性质类命题，先查前提（正负、非零），再举反例或推理。 题型三 由不等式性质求取值范围 例4 已知 ，，求 、 的取值范围。 【解】同向相加：；对 各边乘 得 ，再与 相加得 。 【点评】求差的范围必须把减式整体变号再相加，绝不能“同向不等式直接相减”。 三、易错警示 1. 两边乘（除）负数必须变号，这是不等式与等式性质最大的差别。 2. 同向不等式可以相加，但不能相减；正数同向可以相乘，但不能相除。 3. 传递性要求中间量相同： 推不出 a 与 c 的大小。 4. 求范围时多次“变号放缩”会扩大范围，尽量一次性变号后同向相加。 四、方法小结 问题类型 方法要点 比较大小 作差 → 变形（因式分解、配方）→ 定号 → 结论 正数比较 可作商：与 1 比较 性质真假判断 查前提（正负、非零），善用反例 求范围 独立求各部分范围，再同向相加；减法先变号 【考点精讲练】 考点一　利用不等式表示不等关系 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东济南·开学考试）已知购买支中性笔和支自动铅笔的总费用大于元，购买支中性笔和支自动铅笔的总费用小于元．设购买支中性笔的费用为元，购买支自动铅笔的费用为元，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将题意转化为不等式，用代入消元，放缩，分别求出，的取值范围即可。 【详解】设每支中性笔价格为元，每支自动铅笔价格为元. 根据题意可得两个不等式：①，②. 由题意得，，即，. 由第一个不等式得，将其代入第二个不等式得，解得， 则. 由第一个不等式得，即，将其代入第二个不等式得，解得， 则. 因此. 【例2】（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（ ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】AC 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD． 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A正确； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即， 同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则； 若，则； 若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）完成一项装修工程，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元．现有工人工资预算元，设请木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把总工资用表示，再与预算比较即可得出解答． 【详解】由题可得，木工工资元，瓦工工资元，又工人工资预算元，所以， 即，且． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 【变式训练3】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．某人月收入不高于2000元可表示为“” B．小明的体重，小华的体重为，则小明比小华重表示为“” C．某标量至多为1可表示为“” D．某标量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【详解】对于A选项，某人月收入不高于2000元可表示为“”，故A错误； 对于B选项，小明比小华重，则，故B正确； 对于C选项，至多为1，则，故C正确； 对于D选项，不超过，则，故D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·山东淄博·阶段检测）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往，已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的学生总数多于前往乙地的学生总数，则（   ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙两地博物馆的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲地博物馆的人数为，选择乙地博物馆的人数为， 高二学生选择甲地博物馆的人数为，选择乙地博物馆的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲地博物馆的学生人数：，选择乙地博物馆的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲地博物馆的学生人数多于选择乙地博物馆的学生人数， ∴，由不等式的性质，两式分别相加并化简得， ∴选择甲地博物馆的高一学生人数多于选择乙地博物馆的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 【提升练2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）小强去超市想买一些牛奶和面包，已知每盒牛奶5元，每袋面包4元，小强一共带了200元，设买牛奶盒，面包袋，则和满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】买牛奶和面包共花费元，不超过元，所以. 【提升练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【答案】ACD 【详解】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 【提升练4】（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 【答案】22 【详解】设男学生、女学生、家长、教师人数分别为，由题意： 且，因为人数都是正整数，且，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以教师人数最少为.为了求最小值， 即可取最小情况为，经检验显然满足题意； 故此时总人数为，因此，该微信群人数的最小值为. 【提升练5】（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”． (1)对于，，，，试问是否为的“下位序列”； (2)设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系； (3)设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】(1)不是 (2)由是的“下位序列”，得，即.① 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 由①②③得. (3) 【分析】（1）根据“下位序列”的概念，代入计算即可判断； （2）根据 “下位序列”的概念得到，结合不等式的性质，利用作差法得到结论；（3）根据“下位序列”的概念可得，根据，，均为正整数，可得，进而可得最小正整数. 【详解】（1）由，得不是的“下位序列”. （2）略 （3）是 的“下位序列”， 是的“下位序列”， 又，，均为正整数， 则，即， 则， 又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为. 考点二　利用不等式性质判断不等式正确性 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出命题的否定，注意内层区间非空. 【详解】原命题为假，等价于存在，使得对任意都有. 这需要的最小值小于的下界，即； 同时内层区间非空，，即. 故，即实数的取值范围为 【例2】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）下列命题是真命题的是（     ） A．“”是“”的充分条件． B．“”是“”的既不充分也不必要条件． C．若，且，则． D．若，则． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意，当时，若，则， 所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，令，满足，不满足，充分性不成立， 令，满足，不满足，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确； 对于C，由题意若，则，而， 因为，则，所以，故C正确； 对于D，由题意得 ， 又， 则，所以， 即成立，故D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）若，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐一判断. 【详解】由，得，，A、B错误； 因为，，所以，C错误； 因为，所以， 又，所以，D正确. 【变式训练2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列不等式中成立的是________． ①若，则；②若，则；③若，则． 【答案】② 【详解】①当时，①不成立； ②因为，所以，②成立； ③取，，则，③不成立． 【变式训练3】（26-27高一上·全国·期中）若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式性质，利用作差法逐一判断即可. 【详解】因为， 对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）已知 ，且 ，，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，C根据不等式性质：不等式两边同乘或除以负数时不等号方向改变， 因为，，所以，,故A，C错误； 对于B，根据不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变， 因为，所以，故B正确； 对于D，取，得，，，则，故D错误. 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） A．若 >，则 B．若 >，>，则 > C．若 >，则 < D．若 >，>，则 > 【答案】B 【详解】对于A，取 ，，，则 ，A错； 由不等式性质知 B正确； 对于C，取 >>，则 >>，C错； 对于 D，取 ，，，，则 ，，不满足 >，D错. 【提升练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）在下列四个命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．已知，，，，若，，则 D．已知，，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据不等式的性质即可求解；选项B：举出反例即可；选项C：利用作差法即可求解；选项D：利用整体法，结合不等式的性质求解. 【详解】选项A：若，由于，（若，则），不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，故，选项A正确； 选项B：令，，，，满足，，， ，，即，选项B错误； 选项C：要证，即证，即证，即证， 因为，，所以，从而，选项C正确； 选项D：设， 故，解得：，因此. ，，，， 两式相加得：，即，选项D正确. 【提升练4】（26-27高一上·天津河西·阶段检测）若 给出下列不等式，其中错误的不等式是  ________(只填序号). ① ；②；③；④ . 【答案】②④ 【分析】先推出，再逐个判断式子正负与大小. 【详解】由，得. ①，，正确； ②，错误； ③，相加得，正确； ④，，同乘：，错误. 【提升练5】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）（1）已知集合，，求，； （2）已知，，求与的范围. 【答案】（1），；（2），. 【详解】（1）由并集、补集的定义即可求解； （2）由不等式的性质即可求解. 【解答】（1）因为已知集合，， 所以，，. （2）由，, 得，， 所以. 又，， 所以. 考点三　由不等式的性质证明不等式 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，取、，可得， 故“”不是“”的充分条件； 若，则、，则，故，即有， 故“”是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的必要不充分条件. 【例2】（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知 ，，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上或减去同一个实数，不等号方向不变，因为，且，所以一定成立，故A正确； 对于B选项，可举反例，令，，满足，但此时，，，故B错误； 对于C选项，可举反例，令，，满足，但此时，，，故C错误； 对于D选项，因为，已知 ，所以，又因为， 因为，，且由可知不可能同时为，所以恒成立， 即，所以一定成立，故D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列选项说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，通过举反例排除错误选项，验证正确选项即可得出结论. 【详解】A选项，举反例：， 满足，但是，，A错误. B选项，举反例：， 即成立，但是，B错误. C选项，，，，C错误. D选项，由可知：（如果两边就相等）， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得到，D正确. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，，则的取值范围是__． 【答案】 【详解】由得， 由得， 同向相加得， 故的取值范围为. 【变式训练3】（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知a，b，c，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则， 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,取，满足，，但，不满足，故A错误， 对于B，，由于，，故，因此，B正确， 对于C, ，由于，故，因此，故，C正确， 对于D,由于，，故，结合，因此，.D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，可得，即“”是“”的充分条件； 当时，若取，满足，但是，不能推出， 即“”不是“”的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件. 【提升练2】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 【提升练3】（26-27高一上·四川乐山·阶段检测）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质、作差法及特殊值法证明即可. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，. 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误． 【提升练4】（26-27高一上·全国·期中）若实数 ，，则 的取值范围是__． 【答案】 【详解】由得，又 ， 同向相加得，即 ， 所以的取值范围为. 【提升练5】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（）（假设全部溶解）．糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式． (2)一般认为，教室里黑板面积必须小于墙壁面积，黑板面积与墙壁面积的比值越大，教室的教学效果越好．若同时增加相同的黑板面积和墙壁面积，教室的教学效果是变好了还是变坏了？ 【答案】(1)不等式为， 证明：因为， ∵， 所以，从而， 即. 不等式成立； (2)教室的教学效果变好了. 【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式；由作差法即可证明这个不等式； （2）设黑板面积为，墙壁面积为，同时增加的黑板和墙壁面积为，由（1）可知，所以教室的教学效果变好了. 【详解】（1）略 （2）教室的教学效果变好了. 理由：设黑板面积为，墙壁面积为，同时增加的黑板和墙壁面积为， 由（1）可知，所以教室的教学效果变好了. 考点四　利用作差与作商比较大小 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东烟台·期中）某社区开展志愿服务时长统计，甲、乙、丙、丁四位志愿者月服务时长满足以下关系：甲、乙服务时长之和等于丙、丁服务时长之和，甲、丁服务时长之和大于乙、丙服务时长之和，乙的服务时长大于甲、丙服务时长之和．则这四名志愿者月服务时长从大到小的顺序为（    ） A．丁、乙、丙、甲 B．丁、甲、乙、丙 C．乙、丁、甲、丙 D．丁、乙、甲、丙 【答案】D 【分析】将四名志愿者的服务时长设为变量，把题干关系转化为不等式，通过不等式运算比较大小即可得到排序 【详解】设甲、乙、丙、丁的月服务时长分别为（）， 由题意可得： （1） （2） （3） 将（1）和（2）相加，得，两边消去，化简得； 将（2）减去（1），得，移项化简得，即； 由（3），结合，可得. 综上可得大小关系为，即四人服务时长从大到小为丁、乙、甲、丙. 【例2】（26-27高一上·广东中山·阶段检测）若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合不等式的基本性质，通过举反例排除错误选项，利用代数式的正负性判断恒成立的不等式. 【详解】对于A项，取反例，满足，但是不满足，故A错误； 对于B项，作差得到，因为，所以，，所以，所以，故B正确； 对于C项，取反例，满足，但是不满足，故C错误； 对于D项，作差得到， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知，则比较 与 的大小，结果为（　　） A． B． C．相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法判断大小即可. 【详解】对两个式子作差：， 因为，所以，，， 所以，故. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【分析】运用做商比较法，由题意可得，与1比较大小. 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为： . 【变式训练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，取，，则，即，故A为假命题； 对于B，取，，，， 则，，，故B为假命题； 对于C，当时，在两边同时乘以得， 在两边同时乘以得，所以，故C为真命题； 对于D，由题意得， 因为，所以，，，， 所以，即，故D为真命题． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）已知，比较 与 的大小为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】用作差法比较大小. 【详解】，因为， 所以，， 则，即：. 【提升练3】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【提升练4】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）有两个图形，图形表示一个长方形（有可能为正方形），图形表示一个正方形，这两个图形的周长相等，设图形的长方形相邻两边长分别为和（，），试用，建立一个不等式，该不等式用来表示图形的面积和图形的面积的大小关系，则不等式为________ 【答案】 （或等价形式） 【分析】先利用周长相等求出正方形的边长，再分别计算长方形和正方形的面积，通过作差法得到两者面积的大小关系. 【详解】依题意，图形的周长为，因图形为正方形，且与图形的周长相等，故其边长为， 则图形的面积为，图形的面积为， 由，当且仅当时等号成立. 故可得（或等价形式） 【提升练5】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围． （2）已知，设，，比较M与N的大小； 【答案】（1）的取值范围为，的取值范围为. （2）. 【分析】（1）根据不等式的性质计算可得； （2）利用作差法判断即可； 【详解】（1），， 又，， ， 又，， . （2）， 故. 考点五　利用不等式求代数式的范围 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】按区间端点平移，分类讨论，确定中的整数个数，即可求得答案. 【详解】中的整数为. 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 当时，中整数为，恰两个； 当时，，此时， 此时中整数为，恰两个； 当时，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有四个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有两个整数，符合题意； 当时，中整数为，恰两个，符合题意； 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 综上可知，实数的取值范围是或. 【例2】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列叙述中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若 ，则 D．已知，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】根据无理数概念可判定A；根据集合交集和并集的概念可判定B；举反例可判定C不正确；根据作差比较法，以及充分、必要条件的判定方法，可判定D正确. 【详解】对于A，因为是无理数，所以，所以A不正确； 对于B，根据集合交集和并集的概念，可得， 所以，则，所以B正确； 对于C，取 ，，满足 ，但 ，故C不正确； 对于D，当时，此时满足，但，所以充分性不成立； 反之：若，则，所以，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件，所以D正确. 故选：BD. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把表示成与的线性组合，再结合不等式的性质解出即可. 【解答】令，则，解得， 故. 由，，相加得. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）已知 −，，则 的取值范围是__． 【答案】 【详解】分别求 与 的范围，再同向相加. 由 −得 −；由 得 ； 同向相加得 −，取值范围为 . 【变式训练3】（26-27高一上·广西·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A，B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．A货箱节，B货箱节 B．A货箱节，B货箱节 C．A货箱节，B货箱节 D．A货箱节，B货箱节 【答案】ABC 【分析】设安排型货箱节，型货箱节，根据甲乙货物总量列出不等式组，求出x的整数取值，匹配对应方案． 【详解】设安排型货箱节，则型货箱节， 运完所有货物，则货箱总装载量需不少于货物总量， 故，解得， 故的取值为：，对应A货箱节，B货箱节， A货箱节，B货箱节， A货箱节，B货箱节，故ABC正确． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，，所以. 由得，由得， 相加得，所以. 【提升练2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）若实数满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再同向相加. 【详解】由得， 又，所以. 【提升练3】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】AC 【分析】对于A，利用不等式性质即可；对于B，D，举反例即可；对于C，利用作差法即可. 【详解】对于A，由，得，则. 又因为，，所以，故A正确； 对于B，取，，，，满足，， 则，即，故B错误； 对于C，由，得，则，即. ，则，所以，故C正确； 对于D，取，，则，但，即，故D错误. 【提升练4】（26-27高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质确定的取值范围，再结合的范围求和． 【详解】因为，，所以． 两不等式相加，得． 又与可在各自区间内独立取值，故的取值范围为． 【提升练5】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知，，分别求，的取值范围. （2）已知，，求证：. （3）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】（1），； （2）令，，则. 因为， 即，当且仅当即时等号成立，即. （3）充分性：由，可得， 则，故，充分性成立； 必要性： 因为，， 所以， 即得，必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 【详解】（1）由，得，所以. 又，所以，则. （2）略 （3）略 考点六　“糖水不等式”的理解与应用 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】将的分子分母同乘变形后，结合糖水不等式即可比较与的大小. 【详解】首先对进行等价变形，分子分母同乘正数，分数值不变，则 ，已知， 又因为，满足糖水不等式的前提条件， 令，则， 根据糖水不等式： 若，则，代入可得： ， 即，所以. 【例2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，因为，所以，又，所以.故A一定不成立； 对B，因为，所以，又，所以.故B一定成立； 对C，取，，，，则满足，，但，，所以不成立.故C不一定成立； 对D，因为，所以，又，根据“糖水不等式”， ，故D一定不成立. 【变式训练2】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一间办公室的地板面积为，且窗户的面积比地板面积的少，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ (2)若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 【答案】(1)不达标，至少还需要增加； (2)采光效果变好．证明如下： 设原来的窗户面积为，地板面积为，且，同时增加的面积为， 则． 因为，，，所以，即， 所以比值变大，采光效果变好． 【分析】（1）先算出窗户面积，再计算窗户与地板的面积比值，与比较即可；设窗户面积至少再增加， 利用窗户与地板面积比值大于等于，即可求出结果； （2）用“同时增加相同的量”后的窗、地板面积比值与之前的窗户、地板面积比值作差，比较大小即可． 【详解】（1）由题意知，窗户面积为， 则窗户面积与地板面积的比为，所以这间办公室的采光不达标． 设窗户面积至少再增加，则，解得， 即窗户面积至少还需要增加． （2）略 【变式训练3】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】CD 【详解】对于A，若，当时，不满足，故A错误， 对于B，当，，，时， 满足若，，不满足，故B错误， 对于C，由题意得，故C正确， 对于D，因为，所以， 而，则由不等式性质得，故D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】糖水（不饱和）将变得更甜即为浓度增加，由此可得不等式． 【详解】向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，即为浓度增加：， 故选：B． 【提升练2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 【提升练3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 【提升练4】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知克糖水中含有克糖，若再添加克糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中的糖浓度变大）．根据这个事实，则________（填“，，，，”之一）． （2），，则________（填“，，，，”之一）． 【答案】 【分析】（1）根据题意，结合比较法进行求解即可； （2）利用（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为 所以， 因此； （2）因为， 所以，即. 【提升练5】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)利用（1）的结论证明命题：“若都是正数，且，则”. 【答案】(1) (2)， 由，得， 所以，即， 故. (3)由（1）中糖水不等式可知，当 时，， 对真分数，因为，把分子分母同时加上，套用糖水不等式：. 又，， 两式相加，得. 结合，可得， 即. 【详解】（1）原来糖水浓度为，加入糖后，糖水总质量为，糖的质量为，浓度为.糖水更甜，说明浓度变大，对应的不等式为. （2）略 （3）略 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $