2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课时

1课时

课题

2.2 基本不等式

教学目标

1.数学抽象：经历从"赵爽弦图"的面积关系抽象出重要不等式，再通过换元形成基本不等式概念的过程，发展数学抽象素养。

2.逻辑推理：掌握重要不等式与基本不等式的代数证明方法（配方法、分析法），理解"当且仅当"的双重含义，能准确写出等号成立的条件。

3.直观想象：借助圆中"半弦不大于半径"的几何模型理解基本不等式，体会数形结合思想，发展直观想象素养。

4.数学运算：能运用基本不等式解决求最值的简单问题，初步形成"一正、二定、三相等"的规范意识，发展数学运算素养。

教学重难点

重点：基本不等式的概念、证明与几何解释；运用基本不等式求简单的最大（小）值。

难点：基本不等式中等号成立条件的理解与检验；求最值时对"定值"结构的识别与"相等"条件的落实。

教学过程

教师活动

学生活动

导

入

新

课

（情境创设）教师展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽图案，介绍：会徽取材于我国三国时期数学家赵爽研究勾股定理时所用的"弦图"，这幅图案中蕴含着本节课要研究的重要不等关系。

教师提问：如图1，"弦图"由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为、（），大正方形的边长为。你能用两种不同的方式表示大正方形的面积吗？

观察会徽图案，倾听"弦图"背景介绍，感受数学文化的魅力。

独立思考并回答：整体看，大正方形边长为，面积为；局部看，大正方形面积等于4个直角三角形与小正方形面积之和，即。

由两种表示相等得；又大正方形面积不小于内部4个三角形的面积之和，所以，当且仅当（小正方形面积为零）时等号成立。

在教师引导下归纳重要不等式：对任意，都有，当且仅当时等号成立。

图1　赵爽弦图

教师追问：由两种表示结果相等，你能发现、、之间怎样的数量关系？由此能得到怎样的不等关系？

新

课

讲

授

一、基本不等式及其证明

问题1：在重要不等式中，用、分别替换、（此时），能得到什么结论？

归纳：若，则有。教材约定：基本不等式中。

讲解：把改写为。其中叫做正数、的算术平均数，叫做它们的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

问题2：怎样证明基本不等式？教师板书分析法证明：

要证，①

只需证，②

只需证。③

③显然成立，所以①成立。当且仅当，即时，等号成立。

动手替换并化简，得到；讨论教材为何限定（既保证有意义，又是研究"两个正数"的平均数问题）。

认识算术平均数与几何平均数的名称，口算验证：时，，，结论成立。

在教师引导下逐步口述分析法证明中每一步的依据，体会"执果索因"的分析思想，并在学案上独立书写一遍完整证明。

强调"当且仅当"的两层含义：一方面，当时等号成立（充分性）；另一方面，等号成立时必须有（必要性）。

新

课

讲

授

二、基本不等式的几何解释

教师引导：基本不等式还能在圆中直观地"看出来"。如图2，是圆的直径，点在上，。过点作的垂线，交半圆于点，连接、、。

图2　基本不等式的几何解释

提问：由三角形相似的知识，与、有什么关系？与、有什么关系？

引导得出结论并板书：，即（半弦长）；（半径）。由"半径不小于半弦"即得基本不等式，当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立。

画图并探究：由，（同弧上的圆周角相等），得，所以，即，。

比较半弦与半径的长短，用刻度尺或圆规验证。

体会数形结合：当时，点与重合，恰为半径，此时算术平均数等于几何平均数。

新

课

讲

授

三、利用基本不等式求最值

例1　已知，求的最小值。

教师引导观察结构：两项之积为定值。板书解析：因为，所以

，

独立完成例1，两名学生板演；全班对照"一正、二定、三相等"逐条检验解答过程。

完成例2，比较例1、例2中"积定求和的最值"与"和定求积的最值"的结构差异。

参与辨析：讨论"若，还有最小值2吗"，明确使用基本不等式必须先检验"一正"。