1.5.1 全称量词与存在量词 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.5.1　全称量词与存在量词

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．了解量词的作用：用短语对变量 的取值范围作出限定，含变量的语句才能成为可以判断真假的命题；理解全称量词与存在量词的意义，会用符号“∀”“∃”表示量词命题。

2．能识别全称量词命题与存在量词命题，会补写命题中省略的量词。

3．掌握判断量词命题真假的方法：全称量词命题为真要对每个元素证明、为假只需一个反例；存在量词命题为真只需一个例子、为假要说明这样的元素不存在，并能由命题的真假求参数的取值范围。

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 1．全称量词与全称量词命题

考察下面的语句：(1) ；(2) 是整数；(3) 对所有的 ，；(4) 对任意一个 ， 是整数。

(1)(2) 含有变量 ，不知道 代表什么数，无法判断真假，所以不是命题。(3) 在 (1) 的基础上用短语“所有的”限定了 的取值范围，(4) 用“任意一个”对 的取值范围作了限定，于是 (3)(4) 都成为可以判断真假的命题。

(1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常称为，用符号 “∀” 表示。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。

(2) 含有全称量词的命题称为。用 表示含有变量 的语句，用 表示 的取值范围，则“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为。

(3) 例如，“对任意的 ， 是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 语句“”是全称量词命题。（　　）

(2) 命题“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题。（　　）

图 1: 常用数集的包含关系：。判断量词命题真假，第一步是看清 的取值范围

 2．存在量词与存在量词命题

再考察一组语句：(1) ；(2) 能被 2 和 3 整除；(3) 存在一个 ，使 ；(4) 至少有一个 ， 能被 2 和 3 整除。

(1)(2) 不是命题；(3) 用“存在一个”、(4) 用“至少有一个”对 的取值作了限定，因而都是命题：取 ，(3) 中的等式成立；取 ，(4) 中的整除关系成立。

(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为，用符号 “∃” 表示。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。

(2) 含有存在量词的命题称为。“存在 中的元素 ， 成立”可用符号简记为 “，”。

(3) 例如，“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题。这里的素数指大于 1 且除 1 和自身外没有其他正因数的整数。

判断

(1) 命题“有些整数是偶数”是全称量词命题。（　　）

(2) 语句“ 能被 5 整除”不是命题，加上“至少有一个 ”的限定后才成为命题。（　　）

 提醒： 命题属于哪一类量词命题，只看它含哪一类量词，与命题的真假无关。“存在一个 ，使 ”是存在量词命题，尽管它是假命题。

 3．全称量词命题真假的判断

判定全称量词命题“， 是奇数”为真，需要对任意整数 说明 符合奇数的形式；判定“所有的素数都是奇数”为假，只要指出 2 是素数而不是奇数。一般地，在集合 中找到一个元素使性质不成立，这种方法称为举反例。

取 ，考察命题“，”（图 2）。把 中的五个元素逐个代入，、 时成立，而 时 ，不小于 3，所以它是假命题， 就是它的一个反例。

(1) 要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合 中 证明 成立；如果在集合 中找到一个元素 ，使 不成立，那么这个全称量词命题是。

(2) 反例必须落在命题给定的集合 内： 且 不成立才叫反例， 的对象不能充当反例。

(3) 是有限集合时可以逐个代入； 是全体实数一类的无限集合时只能推理，例如“，”为真，依据是每个实数的平方都非负。

图 2: 在 上检验 ：蓝色点处成立，红色点处不成立，红色点就是“，”的反例

判断

(1) 判定全称量词命题“，”为真，只要举出一个反例即可。（　　）

(2) 命题“每一个末位是 0 的整数都是 5 的倍数”是真命题。（　　）

 4．存在量词命题真假的判断

判定存在量词命题“， 能被 6 整除”为真，只要给出一个整数，如 。再看“有一个实数 ，使 ”：配方得 ，而 ，左边不小于 2，这样的实数不存在，所以它是假命题。

仍看图 2 的集合 与性质 ：取 得 0<3，故“，”为真，一个 就够了。

(1) 要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合 中 使 成立；如果在集合 中使 成立的元素不存在，那么这个存在量词命题是。

(2) 判定它为假时，要说明对 中每一个元素 ， 都不成立，通常需要一般推理，而不是只否定某一个元素。

(3) 同一条性质， 换了，真假往往跟着变： 是无理数而不是有理数，所以“，”为真，“，”为假。

判断

(1) 命题“至少有一个整数 ，使 为奇数”是真命题。（　　）

(2) 命题“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题。（　　）

 提醒： 全称量词命题与存在量词命题的验证方向相反：“任意”要往每个元素上证，“存在”只要往找到一个元素上试。写解答时不能把两者混用。

[常用结论]

1. 量词标志词速查

2. 真假判断方法对照

3. 省略量词的命题要先补再判：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”“梯形的对角线相等”都按全称量词命题理解；“若 ，则 ”这类“若 ，则 ”形式的命题，同样是省略了量词的全称量词命题；“方程 有解”按存在量词命题理解。

4. 含参数的量词命题： 是有限集合时逐个代入，全称量词命题看最难满足的那个元素，存在量词命题看最容易满足的那个元素； 是无限集合时，先把含 的式子配方成 加常数的形式，再用 定出边界。