1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课题 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 新授课 授课时间 课时量 1 教学目标 1.数学抽象：通过分析典型的全称量词命题与存在量词命题的实例，经历“观察—归纳—概括”的过程，能正确写出一个含量词的命题的否定，体会命题与其否定在形式上的变化规律。 2.逻辑推理：理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，能利用命题与它的否定的真假性相反进行简单的真假判断。 3.数学表达：能用含全称量词或存在量词的符号语言准确地表述命题及其否定，提升数学交流的逻辑性与准确性。 教学重点 理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义，能正确写出含有一个量词的命题的否定。 教学难点 对省略量词的命题，先挖掘其中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再正确写出否定；根据含量词命题的真假求参数的范围。 教学过程 教学程序 教师行为 学生行为 设计意图 情境导入 （3 min） 【情境设疑】 师：我们先看两组语句。第一组：“56是7的倍数”与“56不是7的倍数”；第二组：“方程 有实数根”与“方程 无实数根”。 师：每组中的两个语句都是命题，并且它们的真假性正好相反。像这样，对一个命题进行否定，就得到一个新的命题，这个新命题叫作原命题的否定。例如“56是7的倍数”的否定是“56不是7的倍数”，“空集是集合 A={1,2,3} 的真子集”的否定是“空集不是集合 A={1,2,3} 的真子集”。 师：注意，一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假。上一节课我们学习了全称量词与存在量词，那么如何正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定呢？这就是本节课要研究的问题。 观察两组语句，发现每组中两个命题真假相反；概括“命题的否定”的含义，明确原命题与它的否定一真一假。 从学生熟悉的简单命题入手，借助真假相反的关系引出“命题的否定”的概念；从集合观点看，命题 p 为真的范围与 为真的范围恰好互补，为含全称量词、存在量词命题的否定的学习作铺垫。 环节一： 全称量词命题 的否定 （10 min） 【探究】 师：先看一个问题。写出下列全称量词命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）对任意的 ，x 的个位数字不等于 3。 师：命题（1）的意思是：任取一个矩形，它都是平行四边形。要否定它，只需要“存在一个矩形，它不是平行四边形”。类似地，命题（2）的否定是“存在一个素数不是奇数”；命题（3）的否定是“存在 ， 的个位数字等于 3”。 【观察发现】 师：请大家比较原命题与它的否定在形式上有什么变化？（学生回答后）对，一是量词改变了：全称量词“所有”“每一个”“任意”改成了存在量词“存在”；二是结论被否定了：“是”改成“不是”，“等于”改成“不等于”，“都是”改成“不都是”。 师：我们再从集合的角度理解。设 A={矩形}，B={平行四边形}，命题（1）说的是 A 中的每一个元素都在 B 中；它的否定说的是：存在 A 中的元素不在 B 中。如下图，命题 p 为真的区域与 为真的区域恰好把全集分成了两部分。 图1 命题 p 与它的否定 真假范围的集合观点示意图 【归纳】 师：一般地，对于全称量词命题， 它的否定是。 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。 写出三个全称量词命题的否定；比较原命题与否定在形式上的变化，归纳“改量词、否结论”的规律；结合集合示意图理解命题与其否定真假互补的关系。 从熟悉的数学命题出发，通过“写出否定—比较形式—归纳规律”的探究过程，让学生自主发现全称量词命题的否定是存在量词命题；借助集合示意图发展数学抽象素养，突破对否定含义的理解。 环节二： 存在量词命题 的否定 （10 min） 【类比探究】 师：我们已经会用存在量词否定全称量词命题，那么存在量词命题的否定又该如何写呢？请看： （1）有些矩形是正方形； （2）存在一个实数，它的绝对值不是它本身； （3）有些四棱柱是长方体。 师：命题（1）“有些矩形是正方形”的意思是：至少存在一个矩形，它是正方形。要否定它，就得说明“每一个矩形都不是正方形”。同样地，命题（2）的否定是“任意一个实数，它的绝对值都是它本身”；命题（3）的否定是“每一个四棱柱都不是长方体”。 【归纳】 师：请同学们类比环节一，总结存在量词命题否定的规律。（学生总结后）对于存在量词命题， 它的否定是。 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。 师：无论是哪种命题，写否定时都要改变两个地方：一是把量词换成另一种量词，二是对结论进行否定。同时，原命题与它的否定真假性恰好相反：原命题为真，它的否定就为假；原命题为假，它的否定就为真。 类比全称量词命题的否定，写出三个存在量词命题的否定；归纳“改量词、否结论”的一般步骤，明确原命题与它的否定真假相反。 由全称量词命题的否定类比迁移到存在量词命题的否定，让学生经历“猜想—验证—归纳”的过程，培养逻辑推理素养；提炼写否定的通法，形成结构化认知。 环节三： 例题精讲与 课堂练习 （12 min） 【例题精讲】 例1 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上。 解：（1）该命题的否定：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数。（2）该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上。 师：注意（1）的否定不能写成“所有能被 3 整除的整数都不是奇数”，因为要否定“都是”，只需要举出一个反例即可，这正是全称量词“任意一个都成立”与“存在一个不成立”的区别。 例2 写出下列存在量词命题的否定： （1）； （2）有的平行四边形是中心对称图形。 解：（1）该命题的否定：。（2）该命题的否定：每一个平行四边形都不是中心对称图形。 【课堂练习】 写出下列命题的否定： （1）； （2）任意奇数的平方还是奇数。 解：（1）该命题的否定：。（2）该命题的否定：存在一个奇数的平方不是奇数。 师：写完之后请大家自行判断：原命题与它的否定，哪个是真命题？（1）中原命题为真，所以它的否定为假；（2）中原命题为真，它的否定为假。 独立完成例1、例2和课堂练习的解答并板演；辨析“都不是”与“不都是”的差别；结合原命题的真假判断它的否定的真假。 通过典型例题示范规范的表述格式；针对“否定时只改量词、忘否结论”“把存在量词命题的否定写成全称否定”等易错点及时纠偏；练习当堂反馈，巩固写否定的方法。 环节四： 真假判断与 参数问题 （7 min） 【深化应用】 例3 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2）存在实数 x，使 。 解：（1）该命题的否定：“存在两个等边三角形不相似”。因为任意两个等边三角形对应边的比都相等，它们都相似，所以原命题为真，它的否定为假。 （2）该命题的否定：“任意实数 x，都有 ”。因为 ，所以 恒成立，原命题为假，它的否定为真。 例4 已知命题 p：“”是真命题，求实数 m 的取值范围。 解：由 p 为真命题，得对任意 ，都有 恒成立， 即 解得 所以实数 m 的取值范围是 。 师：本题先把“恒成立”翻译成“二次不等式对一切实数成立”，再借助判别式解决。注意这里当判别式 时，二次三项式恒非负。 完成例3的否定书写并判断真假；在例4中体会由“全称量词命题为真”转化为一元二次不等式恒成立问题的方法，理解判别式的使用条件。 通过真假判断巩固“命题与它的否定真假相反”的结论；借助参数范围问题，让学生体会全称量词的语言功能与不等式恒成立的联系，落实逻辑推理与数学运算素养，突破教学难点。 环节五： 课堂总结 （3 min） 【课堂总结】 师：本节课我们学习了含有一个量词的命题的否定，总结如下表： 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 师：写含有一个量词的命题的否定时，通常要把命题的两个地方进行改变：一是量词符号要改变，二是结论要进行否定。全称量词命题（或存在量词命题）与其否定的真假性恰好相反。 师：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，把它改写成含量词的完整形式，再依据规则写出否定。例如“菱形的对角线互相垂直”省略了全称量词“所有”，它的否定是“有的菱形的对角线不互相垂直”。 随教师一起填写并核对总结表格；用自己的语言复述“改量词、否结论”的操作步骤与真假关系；了解省略量词命题的处理方法。 以表格形式对比两种命题的否定，帮助学生形成结构化知识网络；强调方法要点与易错点，提升概括与表达能力。 作业布置 作业内容 （注明是否分层） 作业类型 作业反馈 1.完成教材本节课后练习第1、2、3题； 2.写出例3中各命题的否定，并判断它们的真假。 基础性 √ 探究性 实践性 体验性 板书设计 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 一、命题的否定：p 与 一真一假 二、全称量词命题的否定 　→　 三、存在量词命题的否定 　→　 四、方法要点：改量词、否结论；真假相反 教学反思 本课时按照“情境导入—探究新知—例题精讲—深化应用—课堂总结”的思路组织教学，共设置情境导入、全称量词命题的否定、存在量词命题的否定、例题精讲与课堂练习、真假判断与参数问题、课堂总结五个环节，层层递进、由易到难，集中体现了数学抽象与逻辑推理等学科核心素养。 从学生熟悉的简单命题的否定入手创设情境，借助真假相反的关系自然引出课题；探究环节采用“先猜想、再验证、后归纳”的方式，让学生自主发现“改量词、否结论”的规律，并借助集合示意图从补集角度直观理解命题与它的否定的关系；例题精讲与当堂练习及时巩固方法，突破“都不是与不都是”等易错点；参数范围问题则把全称量词命题与不等式恒成立联系起来，体现知识的应用价值。 每个环节后均配有针对性的练习与反馈，可及时评价学生的学习情况、纠正认识误区。整个教学过程既有规律探究又有方法总结，既有规范表述又有当堂演练，有利于提升学生运用符号语言进行数学表达与逻辑推理的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $