1.4.2 充要条件-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 1.4.2充要条件 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理 件的意义，理解数学定义与充要条件的知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽 关系 象素养 课前。预习学案 对应学生用书P19 [情境引入] 2.“p是g的充要条件”与“力的充要条件是g”的区 姚明大家都认识，他说过很多很经 别在哪里？ 典的话，其中有一句给我留下了很深刻 提示：①力是q的充要条件说明力是条件，q是 的印象，他说：“努力不一定成功，但放 结论 弃一定失败” ②力的充要条件是9说明q是条件，卫是结论 [问题]话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃” 和“失败”.每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ [预习自测] 提示一般地，如果既有→q,又有qPp,就记作：p台q. 1.以下选项中p是q的充要条件的是 [知识梳理] A.:3x+2>5,q:-2.x-3>-5 [知识点]充要条件 B.p:a>2,b<2,q:a>b 1.一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作p台q. C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分，q:四边 此时，我们说，p是g的充分必要条件，简称充要 形是正方形 条件 D.p:a≠0，q:关于x的方程a.x=1有唯一解 概括地说，如果p台q,那么力与q互为充要条件. 答案：D 2.若p→q,但q≯p,则称p是q的充分不必要条件. 2.已知条件甲：0<x<5,条件乙：-3<x-2<3,那 3.若q→p,但中q,则称p是q的必要不充分条件. 么甲是乙的 ( 4.若中q,且q中p,则称p是g的既不充分也不必 A.充分不必要条件 要条件. B.必要不充分条件 5.本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件 和结论互为充要条件，是等价的. C.充要条件 6.应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条 D.既不充分也不必要条件 件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容 答案：A 2思考1.若p是q的充要条件，则p和g是两个 3.“m<”是“一元二次方程x2十工十m=0有实数 4 相互等价的命题，这种说法对吗？ 解”的 条件（填“充要”“充分不必要”“必要 提示：正确，若p是g的充要条件，则p台q,即p 不充分”或“既不充分也不必要”)， 等价于q: 答案：充分不必要 课堂。互动学案 对应学生用书P20 题型一 充要条件的判断 (4p:a<b,g:分<1 [例1]判断下列各题中p是g的什么条件， (1)在△ABC中，p:A>B,q:a>b; 汇思路点拔]按充要条件的定义判断： [解](1)由三角形中大角对大边可知，若A>B, (2)p:x>1,9:x2>1; 则a>b,即p→q,反之，若a>b,则A>B即q→p. (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 因此，p是q的充要条件. ·26· 第一章集合与常用逻辑用语 (2)由x>1可以推出x2>1即→g: (3)p:x1,x2是方程x2+5x一6=0的两个实数根， 由x>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1即qP. 9:x1十x2=-5; 因此，力是q的充分不必要条件 (4)p:A=B,q:A∩B=A. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不 解：(1)因为由x≠0推不出x+x>0, 一定有a=3即p中q: 如x=-1时，x十x|=0,所以p力q, 由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0即q→p. 所以力不是q的充要条件. 因此力是q的必要不充分条件. (2)由la-b|=a|+b,两边平方得a2-2ab十b2 (4)由于a<b,当0时，分>1：当b>0时，分<1， =a2+2 abl+b2,abl=-ab, 得ab≤0，即“|a-b|=|a+|b”等价于“ab≤0”. 故若a<b,不-定有合<1：当a>0,b>0,号<1 所以户q,所以p不是q的充要条件. 时，可以推出a<b; (3)当x1=-1,x2=-4时，x1十x2=一5， 而-1，-4不是方程x2+5x一6=0的两根， 当a<0,b<0,分<1时，可以推出a>n. 所以q中p,所以力不是g的充要条件. 因此p是g的既不充分也不必要条件， (4)由A二B,得A∩B=A;反过来，由A∩B=A, 规律方法 且(A∩B)二B,得A三B,因此“A三B”是“A∩B= 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 A”成立的充要条件，即p是q的充要条件. (1)定义法（适用于较简单的命题） 题型三 充要条件的证明 若→q,但q力p,则p是q的充分而不必要 [例2]求证：方程m.x2-2x十3=0有两个同号不相 条件； 若q→p,但p中q,则力是q的必要而不充分 等实根的充琴条件是0<m<行 条件； 汇思路点拔]从充分性和必要性两个方面证明， 若p→q且q→p,则p是g的充要条件； 若p中q且q力p,则p是q的既不充分也不 [解]设p:0<m<号9：方程m2-2x十3=0有 必要条件. 两个同号不相等实根 (2)集合法（适用于需对命题的条件或结论化简的 (1)充分性(p→q): 命题)首先建立与p,9相应的集合，即p:A= {x|p(x)};q:B={xg(x)}. 因为0<m<3,所以4=4-12m>0, 若A三B,则p是q的充分条件； 所以一元二次方程mx2一2x十3=0有两个不等的 若B二A,则p是q的必要条件； 实根.设方程的两根为x1,x2, 若A三B,则p是q的充分而不必要条件； 当0<m<号时十是>0且=是>0， 若B手A,则p是q的必要而不充分条件； 若A=B,则p是q的充要条件； 故方程m.x-2.x十3=0有两个同号且不相等的 实根 若A车B,B车A,则A是B的既不充分也不必 要条件. (2)必要性(g→p): (3)传递性法（适用于多个条件之间的关系推断） 若方程mx2一2x十3=0有两个同号且不相等的 由于逻辑联结符号“→”“←”“台”具有传递性， 实根 因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传 4=4-12m>0, 则有 x1x2>0, 所以0<m<3 递，判断所给的两个条件之间的相互关系. 即方程m.x2-2.x十3=0有两个同号且不相等的实 ⊙[变式训练] 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ 根→0<m<3 (1)p:x≠0，q:x十x|>0; 综上可知，方程m,x2一2x十3=0有两个同号且不 (2)p:a,b∈R,a-b|=|a|+|b|,q:a,b∈R,ab 相等的实根的充要条件是0<m<3 1 <0; ·27· 数学·必修第一册 规律方法 因为p是g的必要不充分条件， 充要条件的证明策略 所以q是力的充分不必要条件， (1)准确理解题意明确证明方向. 即{x|1-m≤x≤1+m}手{.x|-2≤x≤10}， ①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知 故有-m≥-2， 或1-m>-2, 推出条件成立是必要性 1+m<10, 1+m≤10， ②“p是g的充分（必要）条件”常写为“q的充 解得m≤3.又1-m<1十m,所以m>0, 分（必要）条件是p”。 所以实数m的取值范围为{m0<m≤3}. (2)关注证明的两个环节， 规律方法 一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数 是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件 值（范围）的一般步骤 到结论，由结论到条件的两次证明 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件 ◇[变式训练] 或充要条件转化为集合间的关系。 2.已知a+b≠0，证明：a2+b2-a-b+2ab=0成立的 (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不 充要条件是a十b=1. 等式求解 证明：充分性： ◇[变式训练] 若a十b=1, 3.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={xa≤x 则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1 ≤8}. =0, (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 即充分性成立， {x5<x≤8}的充要条件； 必要性： (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x5<x 若a2+b2-a+b+2ab=0, ≤8}的一个充分不必要条件； 则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a十b-1)=0. (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= a+b≠0，∴.a+b-1=0, {x5<x≤8}的一个必要不充分条件】 即a十b=1,必要性成立， 解：(1)M∩P={.x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a 综上，a2+b-a-b十2ab=0成立的充要条件是 ≤5，所以实数a的取值范围是{a-3≤a≤5}. a+b=1. (2)显然，满足-3≤a≤5的数中任取一个a的值 题型写 充要条件的应用 都是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条 [例3]已知p:x∈{x|-2≤x≤10}，q:x∈{x1-m 件，则取a=5.（答案不唯一) ≤x≤1十m},若p是q的必要不充分条件，求实数 (3)由(1)知M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是 m的取值范围. {a|-3≤a≤5}，要求实数a的取值范围，使它成为 M∩P={x5<x≤8}的一个必要不充分条件，即 [思路点拨拔]由已知，{x1一m≤x≤1十m}军 求一个集合，满足{a|一3≤a≤5}是该集合的真子 {x-2≤x≤10}，注意端点值的取舍 集，那么{aa≤5}是所求的一个必要不充分条件. [解]p:x∈{x-2≤x≤10}， (答案不唯一) q:x∈{x|1-m≤x≤1+m. ● 随堂。步步夯实 对应学生用书P22 1.设x∈R,则“1<x<2”是“1<x<3”的 2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 答案：B D.既不充分也不必要条件 答案：B ·28· 第一章集合与常用逻辑用语 3.“x≠-1”是“x2-1≠0”的 条件 x1x2=二<0，方程的两根异号，即方程ax2十bx 答案：必要不充分 4.条件：1一x<0,条件g:x>a,若p是g的充分不 十c=0有一正根和一负根. 必要条件，则a的取值范围是 必要性：，一元二次方程ax2十bx十c=0有一正根 答案：{aa<1} 和一负根，分别设为x1,x2,则由一元二次方程根 5.求证：一元二次方程ax2十bx十c=0有一正根和一 与系数的关系，得△=b-4ac>0且x12=C<0, 负根的充要条件是ac<0. a 解：充分性：ac<0,∴.一元二次方程ax2十b.x十c 解得ac<0. =0的判别式△=b2-4ac>0, 综上可知，一元二次方程ax2十bx十c=0有一正根 方程一定有两个不等实根，分别设为x1,x2,则 和一负根的充要条件是ac<0. 课后。素养提升 对应学生课时P257 基础过关 解析：AB[由已知得p→r,q→r,r→s,s→q,由此 》 得r→q且q→r,A正确，C不正确；→q,B正确； 1.若a∈R,则“a2=1”是“|a=1”的 r→s且s→r,D不正确.] A.充分不必要条件 6.（多选)下列选项中，能够成为“关于x的方程x2 B.必要不充分条件 |x十a一1=0有四个不等实数根”的必要不充分 C.充要条件 条件的是 D.既不充分也不必要条件 答案：C Ao1<a<号} B{a1a<} 2.两个三角形全等的一个充要条件是 C.{a1<a<2} D.a A.两个三角形的面积相等 解析：BC[关于x的方程x2-|x|十a-1=0有 B.两个三角形的对应角相等 四个不等实数根， C.两个三角形的对应边相等. ①若x>0,则方程x2-x十a一1=0有两正根，分 D.两个三角形的对应外角相等. 别设为x1,x2: 答案：C 4=1-4(a-1)>0, 3.设a∈R,则“a>1”是“a>a”的 则有{x1+x2>0, A.充分不必要条件 x1x2>0 B.必要不充分条件 4=1-4(a-1)>0, C.充要条件 即{x1十x2=1, 解得1<a<号 D.既不充分也不必要条件 x1x2=a-1>0, 答案：A ②若x<0,则方程x2十x十a一1=0有两负根，分 4.设x,y是两个实数，命题：“x,y中至少有一个数大 △=1-4(a-1)>0, 于1”成立的充分不必要条件是 ) 别设为x3,x4,则有x3十x4=-1<0,解得1<a A.x+y=2 B.x+y>2 x3x4=a-1>0, C.x2+y2>2 D.xy>1 <,综上，实数a的取位范周是{a1<a<}门 4 答案：B 7.(一题两空)下列不等式： 5.（多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充 ①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1; 分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列 ⑤x>一1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必 结论正确的是 ( 要条件的所有序号为 ;可以作为x2<1的 A.r是q的充要条件 一个必要不充分条件的所有序号为 B.p是q的充分条件 解析：由x2<1,得-1<x<1,而{x0<x<1} C.r是g的必要不充分条件 {x|-1<x<1},{x|-1<x<0}年{x|-1<x<1}, D.r是s的充分不必要条件 所以0<x<1和一1<x<0都可作为x2<1的一个 ·29· 数学·必修第一册 充分不必要条件.因为{x-1<x<1}{xx<1}, 能力提升 -》》 {x-1<x<1}车{x|x>-1},所以x<1和x> 一1均可作为x2<1的一个必要不充分条件. 12.设集合U={(x,y)x∈R,y∈R},A={(.x,y)|2.x 答案：②③①⑤ -y十m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0}，那么点 8.关于x的不等式|2x一3|>a的解集为R的充要条 P(2,3)∈A∩(C,B)的充要条件是 ( 件是 A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5 解析：由题意知2x-3>a恒成立，，|2x一3|≥0， C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5 .a<0. 解析：A[要求P∈A∩(CB)的充要条件，应从 答案：a<0 充分性、必要性两方面入手. 9.已知集合A={x|a-2<x<a十2}，B={x|x≤-2 (1)CB={(.x,y)|x+y-n>0}, 或x≥4}，则A∩B=心的充要条件是 A∩(CB)={(x,y)|x+y-n>0,且2.x-y+m >0}, 解析：AnB=g台a+2≤4， 台0≤a≤2： 1a-2≥-2， 由P∈An(CB)知，-n>0, 即m>-1, 1+n>0, 答案：0≤a≤2 n<5. 10.已知关于x的方程x3-m.x+2m-3=0,求使方 所以m>-1,n<5是P(2,3)∈A∩(CvB)的必 程有两个大于1的实根的充要条件。 要条件 解：设方程x2-mx十2m-3=0的两根分别为 x1,x2, 2)当m>-1,m<5时，{十25 \2x-y≥ 解得≥2， y≥3. △≥0 í△≥0 即P(2,3)∈A∩(CB),所以m>-1,n<5是 由题意知{x1>1台(x1-1)十(x2-1)>0 P(2,3)∈A∩(CB)的充分条件，选A.] x2>1 (x1-1)(x2-1)>0 13.已知集合A={xx<a或x>a十2}，B={xx≥3. △≥0 〔m2-4(2m-3)≥0 (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数 x1+x2>2 m>2 a的取值范围； x1x2-（x1+x2)+1>0 2m-3-m+1>0 (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 台m≥6. 求实数a的取值范围； 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为 (3)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分条件，求实 m≥6. 数a的取值范围； 11.设x,y∈R,求证|x+y|=x|+|y|成立的充要 (4)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分不必要条 条件是xy≥0. 件，求实数a的取值范围. 证明：充分性：如果xy≥0，则有xy=0和xy>0 两种情况，当xy=0时，不妨设x=0,得|x十y= 解：(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B |yl,x+y=|yl,.等式成立. 是A的子集，故a十2<3，解得a<1. 当xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0时 所以实数a的取值范围是{aa<1}. 又当x>0,y>0时， (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， |x+y=x+y,|x+|y|=x十y,.等式成立. 则B是A的真子集，故a十2<3，解得a<1. 当x<0,y<0时，x十y|=-(x十y), 所以实数a的取值范围是{aa<1. lx+|y=-x-y=-(x十y),∴等式成立. (3)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分条件，则 总之，当xy≥0时，x十y=x+|y成立. CRA是B的子集. 必要性：若|x+y|=|x|十|y且x,y∈R, 易知CRA={xa≤x≤a十2}，所以a≥3， 得|x+y2=(lx+|y)2, 所以实数a的取值范围是{aa≥3}. 即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|yl, (4)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分不必要条 ∴.|xy|=xy,.xy≥0. 件，则CRA是B的真子集. 综上可知，xy≥0是等式|x十y|=|x|+|y|成立 因为CRA={xa≤x≤a+2},所以a≥3. 的充要条件 所以实数a的取值范围是{a|a≥3. ·30·