练案7 第一章 1.4.2 充要条件-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

≤x<6}知选项C正确：由(CA)UB={xlx<1或3<x≤4或x ≥6}U{x|2≤x<5}={xlx<1或2≤x<5或x≥6}知选项D 错误. 13.ACD因为(CA)U(CB)=C(AnB),而AnB=O,所以 (CA)U(CB)=C(AnB)=U,故A正确；A∩B=O,集合 A,B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可，故B 错误：因为(CA)∩(CB)=C(AUB),而AUB=U,所以 (CgA)∩(CgB)=Ce(AUB)=O,故C正确；AUB=☑，即集 合A,B均无元素，故D正确. 14.{2,3}2.A={xlx2-3x+2=0}={1,2},∴.B={xlx=a+ 1,aeA}={2,3},又U={1,2,3,4,5},.C(AUB)=4, 5}.故C,(AUB)中元素有2个. 15.(1)当a=1时，A=xl1≤x≤3}， 所以0A={xlx<1或x>3}, 则(CA)UB={xlx<1或x>3}. (2)因为A真含于B,所以满足a+2<-1或a>5, 解得a<-3或a>5, 所以实数a的取值范围是{ala<-3或a>5}. 16.(1).集合A中恰有一个元素，….△=16-4a=0,解得a=4. (2)·(CA)∩B={2}, .2∈B,则4+2b-2=0,解得b=-1. :(CB)∩A={-3}, .-3eA,则9-12+a=0,解得a=3. 则A={xlx+4x+3=0}={-1,-3}, B={xlx2-x-2=0}={-1,2}, 检验可知(CA)∩B=2},(CuB)∩A=-3}成立 .AUB=-3,-1,2}. 练案[6] 1.A因为x<1台-1<x<1.由“0<x<1”能推出“-1<x<1”,但 “-1<x<1"不能推出“0<x<1”.所以“0<<1”是“xl<1”的充 分不必要条件.故选A. 2.B由(a+b)·(a-b)=0知，a=b或a=-b,所以p台q,9→p, 所以p是q的必要条件. 3.A设p所对应的集合为A,q所对应的集合为B,则p成立的 充分条件是q,转化为BCA,所以不等式0<x<2成立的充分 条件对应的集合是集合{x10<x<2}的子集，根据选项，只有A 符合要求. 4.A由题意可知，好货→不便宜，故选A. 5.A两个有理数的乘积仍为有理数，故“x,y∈Q”→“xyeQ”, 反之，当x=y=√2，y=2∈Q,但xQ,y壁Q.故“xy∈Q”台 “x,y∈Q”.所以“x,y∈Q”是“y∈Q”的充分条件. 6.充分必要因为p→q,所以p是q的充分条件，9是p的必 要条件 7.①③②中由y=0不能推出x=0且y=0,则②错误；①③ 正确. 8.{aIa>2}“B的充分条件是A”,即A是B的充分条件，得A →B,即ACB,得a>2. 9.(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立. 即p→9,9台p, 所以p是9的充分条件，但p不是9的必要条件 (2)因为x2>1→x>1或x<-1,所以p→9，且9台p 所以p是q的充分条件，但p不是g的必要条件 (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三 角形，即p≠q,且q→p, 所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件 (4)画出Venn图（如图）可得 结合图形可知，A∩B=A→ACB→CB CC A, 反之也成立.所以p是q的充分条件，且p 是g的必要条件. 30 10.(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件， 则只要<受}c<-1,或3， 即只需-2≤-1，所以m≥2 故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或>3的充分条件. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要{xlx< -1,或3c<受这是不可能的 故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件 11.B对于选项A,当x=1,y=1时，满足x+y=2,但命题不成 立；对于选项C,D,当x=-2,y=-3时，满足x2+y2>2,xy>1, 但命题不成立，也不符合题意. 12.A因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,所以A二B,所 以3≤m+1,即m≥2. 13.①③④ 14.{ala≤1}由1-x<0得x>1,设A=xlx>1},B={xlx>a}, p是g的充分条件，∴.A二B,.a≤1. 15.令A={xlx>2或x<-1}. 由4n0,得8=<} 当BCA时，即-号≤-1，即p≥4 此时<号≤-1>2或-1， .当p≥4时，4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件. 16.(1)由题意得到A=x11≤x≤5}， 由“xEA”是“xeB”的充分条件可得ACB, 则205解得a2 故实数a的取值范围是{ala≥2} (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得BCA, 当B=⑦时，2-a>1+2a,即a<3时，满足题意， 当B≠0时，即a≥子时，则1≤2-a: 3 11+2a≤5. 解得写≤a≤1.综上a≤1， 故实数a的取值范围是ala≤1}. 练案[7] 1.A设A={x|1<x<2},B={x|x≤2}，AB.故“1<x<2是“x≤ 2”的充分不必要条件. 2.A若x=1,则x2-2x+1=0:若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x =1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件 3.Axlx<-1} 22或K-1,所以“x<-1”是 {心了或-小的充分不必要条件放远 1 4.B由A∩B=A∩C,若A=O,则不一定有B=C,反之，由B= C,一定可得A∩B=A∩C.所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必 要不充分条件 5.A当B=90°或C=90°时，△ABC为直角三角形，但不能推出 AB2+AC2=BC2,故选A. 6.②④由x≠1→x≠1；x≠1台x2≠1，即x2≠1是x≠1的充 分不必要条件，故①不正确.②正确.③中，由xy=0台x=0 且y=0,则③不正确.④正确. 7.a<8因为p:x<8,q:x<a,且q是p的充分而不必要条件，所 以a<8. 2 &方或5P+6-0,即=2或-39+1=0.a≠0， 即x=。由题意知为0,9=，所以有。2或。-3。 1 1 1 解得a=2或a=3综上可知，a=2或了 9.集合A={xlx>-2},B={xlx≤b,beR}, (1)若AUB=R,则b≥-2， 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2 (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 10.①当a=0时，解得x=-1,满足条件； ②当α≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 a<0: 若方程有两个负的实根， (70 a 则必须满足 1 .1 <0. 即0<a≤4 a △=1-4a≥0， 1 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤4 .1 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根。 因此，关于x的方程x2+x+1=0至少有一个负实根的充要 条件是a≤4 1.Cy≠0，x=2,产+4y=2+=4,y≠0，x=2y= y x y 2y 士=4，由y=4,通分整理得：+4y-4=0.2+ Y x xy 4-4y=0(x-2y)2=0,即x=2y,y≠0，产+4=45 Y x x=2y≠0，x=2y台+4y=4,放选C y x 12.AB由不等式1≤1x≤4，解得-4≤x≤-1或1≤x≤4，.不 等式1≤Ix1≤4成立的充分不必要条件为A,B.故选AB. 13.C命题“Hxe{xI1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题，可化为 Hxe{xl1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2）mm=4,即 “Vx∈xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥ 4,而要找的一个充分不必要条件即为集合{ala≥4}的真子 集，由选择项可知C符合题意 143或4易得方程2-4+m=0的根为x=4牡6-4切 2 2±√4-m,因为x是整数，即2±√4-m为整数，所以√4-m 为整数，且m≤4.又meN,所以m的值可取1,2,3,4，验证 可得m=3或m=4符合题意，反之，当m=3或m=4时，可以 推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 15.(1)当a=2时，A={xI1≤x≤7}，则A∩B={xI1≤x≤4}； CA={xlx<1或x>7},CB={xlx<-2或x>4}, (CA)n(C B)=xlx<-2x>7. (2)·x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，.A至B. ①若A=⑦，则a-1>2a+3,解得a<-4; ra-1≤2a+3, ②若A≠⑦，由AB,得{a-1≥-2， 2a+3≤4， 且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号； 3 解得-1≤a≤2 .1 11 综上：a的取值范围是{aa<-4或-1≤a≤2 16.若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集 合A是集合B的真子集， rm>0, 则有1-m≤-2，且1-m≤-2与1+m≥6不同时取等号；解得m 1+m≥6， ≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5. 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集 合B是集合A的真子集， rm>0, 则有{1-m≥-2，解得0<m≤3， 1+m≤6. 所以，实数m的取值范围是0<m≤3. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于 集合B, 则有什网62方程组无都 所以，不存在满足条件的实数m. 练案[8] 1.C任意三角形都存在外接圆. 2.C对于③，梯形的对角线不一定相等.如直角梯形的对角线 显然不相等，故为假命题，其余均为真命题。 3.BA是全称量词命题：B既是存在量词命题又是真命题：C 中因为√3+(-3)=0，所以C是假命题：D中对于任意一个负 都有二<0，所以D是假命题.故 4.D全称量词命题含有量词“V”,故排除A,B,又等式a+b2+ 2ab=(a+b)对于全体实数都成立.故选D. 2 3 时于任意的xER+x+1口x+))+>0恒成立， 以存在xeR,使x2+x+1=0是假命题 6(,}）当a=b=时，存在两个不相等的正数a,6 使得a-6=a6是真命题，故所求有序数对(a,6)为（分，号）】 又如1，)等，答案不唯一 7.①③①油于Hx∈R,都有x2≥0，因而有x2+3≥3>0，即x2+ 3>0,所以命题“HxeR,x2+3>0”是真命题；②由于0∈N,当 x=0时，x3≥1不成立，是假命题：③由于-1∈Z,当x=-1时， x3<1成立，是真命题：④由于使x2=3成立的数只有±√3，而 它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于 3,是假命题， 8.①③④①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积 就相等，但不一定相似：②中，对任意x∈R,x2+x+1=x+ 厂7）+>0，所以不存在实数，使后+o+1<0,故②为假命 题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中，如1 的倒数是它本身，为真命题，故填①③④. 9.(1)是存在量词命题，因为当x2+y2=0时，x=y=0,所以不存 在x,y为正实数，使x+y=0,故此命题是假命题 (2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必 是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真 命题. (3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0， 因此该命题是假命题 3练案[7] 第一章 1.4 [1.4.2充要条件] A组·基础巩固 6.下列说法正确的是 1.“1<x<2”是“x≤2”的 ①x2≠1是x≠1的必要条件； A.充分不必要条件 ②x>5是x>4的充分不必要条件； ③xy=0是x=0且y=0的充要条件； B.必要不充分条件 ④x2<4是x<2的充分不必要条件 C.充要条件 7.已知p:x<8,9:x<a,且q是p的充分不必要条 D.既不充分也不必要条件 件，则实数a的取值范围为 2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 8.若p:x2+x-6=0是g:ax+1=0的必要不充分条 A.充要条件 件，且a≠0，则实数a的取值为 B.充分不必要条件 9.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试 C.必要不充分条件 写出： D.既不充分也不必要条件 (1)AUB=R的一个充要条件： 3已知xek则x<l是x或小的 (2)AUB=R的一个必要不充分条件； (3)AUB=R的一个充分不必要条件」 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设A,B,C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是 “B=C”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在△ABC中，AB+AC2=BC2是△ABC为直角 三角形的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 —201 10.求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负 C组·拓展提升 实根的充要条件， 15.已知集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B= x|-2≤x≤4}，全集U=R. (1)当a=2时，求AnB,(CuA)n(CuB); (2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 16.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件， B组·综合运用 ③充要条件这三个条件中任选一个，补充在 下面横线处，若问题中的实数m存在，求出m 1.已知y≠0，则x=2y”是+4y=4的 的取值范围：若不存在，说明理由， Y x 已知集合A={x|-2≤x≤6}，B={x|1-m≤x ≤1+m,m>0},若x∈A是x∈B成立的 A.充分不必要条件 条件，判断实数m是否存在？ B.必要不充分条件 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 C.充要条件 答计分 D.既不充分也不必要条件 12.（多选)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要 条件为 A.-4≤x≤-1 B.1≤x≤4 C.-4≤x≤-1或1≤x≤4 D.-4≤x≤4 13.命题“对所有的x∈{xI1≤x≤2，x2-a≤0” 为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 14.设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有整 数根的充要条件是m= -202