1.2 集合间的基本关系 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.2　集合间的基本关系

 必修第一册　第一章 集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．理解子集、真子集、集合相等的含义，能使用符号 、、= 与 Venn 图表示集合间的基本关系，会判断两个给定集合之间的关系。

2．知道空集的含义与两条规定，能识别用描述法表示的集合何时是空集，会写出给定集合的全部子集与真子集，做到不重不漏。

3．掌握有限集合子集个数的规律，能由 、 等关系求集合中字母的值或取值范围，并在含参情形下讨论集合是否可能为空集。

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 1．子集

上一节我们用列举法把集合的元素一一列出。现在把两个集合放在一起看：，。 中的元素 1、2、3 逐个到 里去找，三个都能找到，一个也不落在 的外面。再看由 8 的全部正约数组成的集合 与 ， 的三个元素同样全部落在 中。这两个例子的共同特征是：一个小集合的元素，全都是另一个大集合的元素。

(1) 定义：一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的，记作（或 ），读作“ 包含于 ”。

(2) 用符号语言改写定义： 的含义是“若 ，则 ”。要说明 不是 的子集，只需在 中找出一个不属于 的元素。

(3) 任何一个集合是它本身的子集，即 ；对于集合 ，，，如果 ，且 ，那么 。

 提醒： 图 1 只表示 的元素全部落在 的内部这一件事，与两个集合谁的元素多没有直接关系。判断 只看 的元素， 中多出来的元素不影响结论。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 已知 ，，因为 且 ，所以 不是 的子集。（　　）

(2) 若集合 中的元素个数少于集合 中的元素个数，则 。（　　）

图 1: 的每一个元素都是 的元素，画成 Venn 图时 整个落在 的内部

 2．集合相等

把 的元素求出来：由 得 ，所以 。它与 的元素完全相同。此时 成立， 也成立，两个集合互相包含。

定义：一般地，如果集合 的一个元素都是集合 的元素，同时集合 的一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 。也就是说，若 ，且 ，则。

 提醒： 说明两个集合相等，最稳妥的办法是分别证明 与 ：任取 推出 ，再任取 推出 。

判断

(1) 若 ，则 。（　　）

(2) 集合 {1,2} 与 {2,1} 表示两个不同的集合。（　　）

 3．真子集

回到图 1， 是 的子集，而 中的 4、5 都不在 里， 比 确实小了一圈。像这样“ 包含于 ，但 中还有 没有的元素”的关系，叫做真子集关系。

定义：如果集合 ，但存在元素 ，且，就称集合 是集合 的真子集，记作（或 ），读作“ 真包含于 ”。

真子集与子集的关系是：只要 成立， 就一定成立；反过来， 成立时 不一定成立，因为还可能是 。

判断

(1) 若 ，则 中至少有一个元素不属于 。（　　）

(2) 集合 {1,2} 是它自身的真子集。（　　）

 4．空集

方程 没有实数根，所以 里一个元素也没有； 同样无解，因为任何实数的绝对值都不小于 0， 也是这样的集合。把满足条件的实数写成集合时，元素个数为 0 的情形必须有一种统一的记法。

定义：我们把不含任何元素的集合叫做，记作 ∅，并规定：空集是任何集合的，是任何非空集合的。

空集与含有一个元素的集合、以空集为元素的集合都不是一回事，三者区别如下表。

 提醒： 题目里出现形如 、 这类含字母的集合时，它有可能是空集。凡由 求字母，第一步先讨论 。

判断

(1) 集合 {0} 与 ∅ 表示同一个集合。（　　）

(2) 。（　　）

 5．有限集合的子集个数

按元素的个数分类，把元素很少的集合的子集全部写出来，再数一数。

表中最后一列总比前一列少 1，因为子集里除集合本身以外都是真子集。元素每增加 1 个，子集个数就乘 2：新元素要么进入某个子集，要么不进入，每个旧子集都对应出两个新子集。

结论：含 个元素的集合，子集有个，真子集有个，非空真子集有个。

判断

(1) 集合 {1,2,3} 的真子集共有 8 个。（　　）

(2) 满足 的集合 共有 3 个。（　　）

[常用结论]

1. 集合间关系与元素间关系的符号不能混用，速查如下。

2. 子集个数公式的正用与反用： 个元素的集合有 个子集。已知子集个数反求元素个数时，把个数写成 2 的幂，指数就是元素个数，例如子集有 32 个，由 知该集合有 5 个元素。

3. 判断两个集合关系的三条路：能用列举法的，先把元素全部列出再比对；用描述法表示的，看清代表元素的限制条件，必要时画在数轴上比较两段范围谁罩住谁；表示对象是几何图形、数类等有从属关系的概念时，画 Venn 图。

4. 由 求字母的两条纪律：一是集合 含字母时先讨论 ，再讨论 ；二是求出范围后端点单独代入检验，看取等号时是否仍满足包含关系与元素的互异性。

5. 传递性： 且 ，则 ； 对一切集合 成立， 只对非空集合 成立。