1.2 集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系（原卷版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 子集、真子集与相等 子集：集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，就说 A 是 B 的子集，记作 （或 ），读作“A 包含于 B”。 真子集：若 且 B 中至少有一个元素不属于 A，就说 A 是 B 的真子集，记作 。 相等：若 且 ，则 ；两集合相等即元素完全相同。 图 1 子集、真子集与相等的 Venn 图 2. 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 图 2 空集的地位与辨析 3. 子集的基本性质 （任何集合是它自身的子集）；若 ，，则 （传递性）；。 4. 子集个数公式 若集合 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 二、典型例题 题型一 写集合的子集（真子集） 例1 写出集合 的所有子集，并指出其真子集、非空真子集的个数。 【解】子集共 个：，，，，，，，。真子集 7 个（除 M 本身），非空真子集 6 个（再除去 ）。 【点评】按“不含元素、含 1 个、含 2 个…”的顺序枚举，做到不重不漏。 题型二 由包含关系求参数（不等式型） 例2 已知 ，，且 ，求 a 的取值范围。 【分析】数轴上 B 的范围要把 A 完全“罩住”，且 B 不能与 A 相等。 【解】 要求 且 ，即 且 ，故 。 【点评】不等式型包含用数轴分析；端点能否取等，要看 A 的端点是否可以与 B 重合——本例两处都可取等，因 A、B 的端点都不含在内。 题型三 含空集的包含关系求参数 例3 已知 ，，且 ，求 a 的值。 【解】先化简 。因为 ：当 时 ，满足 ；当 时 ，需 或 ，得 或 。综上 。 【点评】含参数方程的解集参与包含关系时，第一步永远先讨论“解集为空”的情形。 题型四 子集个数与计数 例4 已知集合 ，求 A 的真子集个数。 【解】 含 2 个元素，真子集个数为 个：，，。 三、易错警示 1. 忘记空集：讨论 时，若 A 含参数，先看 是否满足条件。 2. 与 不同：前者无元素，后者以 为元素； 且 都成立。 3. “属于”与“包含于”混用：元素与集合之间用 属于，集合与集合之间用 包含于。如 ，。 4. 相等也是包含： 包含 A 与 B 相等的情形；要排除相等需写 。 四、方法小结 问题类型 方法要点 枚举子集 按元素个数分类枚举；个数公式 、真子集 不等式型包含求参 数轴比较，注意端点是否可取等 方程解集型包含 先讨论空集，再令解落入已知集合 证明 证 且 ，两方向都要写 【考点精讲练】 考点一　集合间关系的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高二上·江西宜春·期中）设集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·全国·期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式训练2】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，，若，则________． 【变式训练3】（26-27高一上·重庆·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．； B．； C．； D．若 且 ，则 【能力提升练】 【提升练1】已知集合 ，，则(　　) A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．集合的非空子集的个数为6 B．是菱形是正方形 C．若，，则 D． 【提升练4】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）集合的非空真子集的个数是________ 【提升练5】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）设，求关于x与y的二元一次方程组的解集． 考点二　利用集合相等求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知关于的方程−（）的解集为，若恰有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，集合，，若，则______. 【变式训练3】（26-27高一上·河南·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．任何集合都至少有两个子集 B．空集是任何非空集合的真子集 C．集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D．集合 与集合 是同一个集合 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）设集合｜，｜，若⊆，则实数的取值范围为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【提升练2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，若集合且，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．0 【提升练3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合 与集合 不是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合A可以表示为 【提升练4】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，，若集合，则的值为______． 【提升练5】（26-27高一上·全国·期中）设集合，，若，求实数的值. 考点三　空集的概念与判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（    ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【例2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）下列关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知六个关系式①；②⊆；③⊇；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）关于的方程的解集是空集，则的值为_____ 【变式训练3】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列四个命题中正确的是（     ） A．空集是任何集合的真子集 B．设，若，则 C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津西青·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列关系中：①，②，③，正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【提升练3】下列集合中是空集的是(　　) A． B． C． D． 【提升练4】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，则集合B的子集个数为__________． 【提升练5】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，。 (1)当时，求集合的子集的个数； (2)若，求实数的取值范围。 考点四　集合的子集、真子集（个数） 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，则的真子集的个数是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知集合 ，则下列结论正确的是 A． B． 的子集个数为 C． 的真子集个数为 D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知 ，{是自恋数}，则 的子集个数为（    ） A．8 B．15 C．32 D．63 【变式训练2】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，则集合的非空真子集的个数为______． 【变式训练3】（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合 与集合 不是同一个集合 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）已知集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【提升练3】下列结论正确的是 A． B． C． D． 【提升练4】（26-27高一上·全国·期中）若集合｜−，则集合的真子集有______个. 【提升练5】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． (1)分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； (2)已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； (3)已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 考点五　根据集合包含关系求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）设集合 ，，且 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【例2】已知集合 ，，若 ，则下列结论正确的是 A． B．当 时， C．实数 的取值集合为 D．不存在实数 ，使得 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·西藏拉萨·期中）已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______. 【变式训练3】已知集合 ，，则下列结论正确的是 A．若 ，则 B．不存在实数 ，使得 C．当 时， D．当 时， 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，，则满足的实数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【提升练2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设集合 ，，若 ，则实数 的值可以是（　　　） A．0 B． C．4 D．1 【提升练4】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，若，则的所有可能取值为______． 【提升练5】已知集合 ，． (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的取值范围． 【真题回顾】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=（　　） A．2　　B．1　　C．2/3　　D．−1 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 子集、真子集与相等 子集：集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，就说 A 是 B 的子集，记作 （或 ），读作“A 包含于 B”。 真子集：若 且 B 中至少有一个元素不属于 A，就说 A 是 B 的真子集，记作 。 相等：若 且 ，则 ；两集合相等即元素完全相同。 图 1 子集、真子集与相等的 Venn 图 2. 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 图 2 空集的地位与辨析 3. 子集的基本性质 （任何集合是它自身的子集）；若 ，，则 （传递性）；。 4. 子集个数公式 若集合 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 二、典型例题 题型一 写集合的子集（真子集） 例1 写出集合 的所有子集，并指出其真子集、非空真子集的个数。 【解】子集共 个：，，，，，，，。真子集 7 个（除 M 本身），非空真子集 6 个（再除去 ）。 【点评】按“不含元素、含 1 个、含 2 个…”的顺序枚举，做到不重不漏。 题型二 由包含关系求参数（不等式型） 例2 已知 ，，且 ，求 a 的取值范围。 【分析】数轴上 B 的范围要把 A 完全“罩住”，且 B 不能与 A 相等。 【解】 要求 且 ，即 且 ，故 。 【点评】不等式型包含用数轴分析；端点能否取等，要看 A 的端点是否可以与 B 重合——本例两处都可取等，因 A、B 的端点都不含在内。 题型三 含空集的包含关系求参数 例3 已知 ，，且 ，求 a 的值。 【解】先化简 。因为 ：当 时 ，满足 ；当 时 ，需 或 ，得 或 。综上 。 【点评】含参数方程的解集参与包含关系时，第一步永远先讨论“解集为空”的情形。 题型四 子集个数与计数 例4 已知集合 ，求 A 的真子集个数。 【解】 含 2 个元素，真子集个数为 个：，，。 三、易错警示 1. 忘记空集：讨论 时，若 A 含参数，先看 是否满足条件。 2. 与 不同：前者无元素，后者以 为元素； 且 都成立。 3. “属于”与“包含于”混用：元素与集合之间用 属于，集合与集合之间用 包含于。如 ，。 4. 相等也是包含： 包含 A 与 B 相等的情形；要排除相等需写 。 四、方法小结 问题类型 方法要点 枚举子集 按元素个数分类枚举；个数公式 、真子集 不等式型包含求参 数轴比较，注意端点是否可取等 方程解集型包含 先讨论空集，再令解落入已知集合 证明 证 且 ，两方向都要写 【考点精讲练】 考点一　集合间关系的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高二上·江西宜春·期中）设集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合， 所以，所以A不正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D不正确. 【例2】（26-27高一上·全国·期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】对于选项A，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由数对作为元素，构成的单元素集， 所以集合与集合不相等，所以A不符合题意； 对于选项B，集合，， 所以集合与集合相等，所以B符合题意； 对于选项C，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以C正确； 对于选项D，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线上的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以D不符合题意. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】根据题意，， ， 所以⫋. 【变式训练2】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，，若，则________． 【答案】1 【分析】先根据两个集合相等，确定两个集合的元素必须完全相同；再观察集合中的已知元素，集合含有，则集合中必有，结合已有元素，建立对应关系得到，；再求解得到的值；接着将代入代数式求值；最后检验集合元素满足互异性. 【详解】， 集合 元素完全相同，则： 中有元素 ，则 必有元素 ， 已有元素 ，得方程组：， 即 ，， ∴， ，满足集合元素互异性. 【变式训练3】（26-27高一上·重庆·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．； B．； C．； D．若 且 ，则 【答案】ABD 【详解】选项A：空集是不含任何元素的集合，因此元素不属于空集，即，A正确， 选项B：空集是任意集合的子集，因此成立，B正确， 选项C：左侧集合是点集，唯一元素为有序数对； 右侧集合是数集，元素为、两个实数，二者元素类型不同，不是相等集合，C错误， 选项D：若 的所有元素都属于 ，且 的所有元素都属于 ，则两集合的元素完全相同，即 ，D正确. 【能力提升练】 【提升练1】已知集合 ，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，故 ． 中的元素都属于 ，故 ，C 正确； 中含元素 ，而 ，故 不成立，B 错误，且 ，A 错误；，D 错误．故选 C． 【提升练2】（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A项：空集不含任何元素，故 错误； B项： 是无理数，不是有理数，故 错误； C项：空集是任何集合的子集，故 正确； D项： 与 是不同的有序数对，故两集合不相等，错误． 【提升练3】（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．集合的非空子集的个数为6 B．是菱形是正方形 C．若，，则 D． 【答案】CD 【分析】根据集合非空子集的个数为可判断A；根据正方形与菱形的关系，可判断B；根据奇数的表示方法及已知式子的等价变形可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，集合中有3个元素，所以其非空子集的个数为，故A错误； 对于B，因为正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形， 所以是正方形是菱形，故B错误； 对于C，若，，则都表示奇数，，故C正确； 对于D，因为方程没有实数解，所以，故D正确. 【提升练4】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）集合的非空真子集的个数是________ 【答案】14 【分析】根据题意，逐一列举可得集合的元素个数，再由非空真子集个数的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】若，，则为的正约数， 则满足条件的取值为， 所以集合， 因为个元素，包含个子集，去掉空集和本身，则非空真子集个数为， 则集合的非空真子集的个数是. 【提升练5】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）设，求关于x与y的二元一次方程组的解集． 【答案】 当时，解集为；当时，解集为. 【详解】由得，整理为. 当即时，解得，代入得，对应唯一交点，解集为； 当即时，方程化为，矛盾，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为. 考点二　利用集合相等求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，得，所以.此时，， 故且，得，所以． 【例2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知两集合相等且右边含0，则，，故A 错误、B正确； 此时，故且，则，故C正确； ，故D正确． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知关于的方程−（）的解集为，若恰有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）设，集合，，若，则______. 【答案】0 【详解】因且，故，则、、中有一个为. 又，由知，故或. 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 故，，. 由，若，则集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 则，则，，，满足集合元素的互异性，符合； 故，又，所以−. 【变式训练3】（26-27高一上·河南·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．任何集合都至少有两个子集 B．空集是任何非空集合的真子集 C．集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D．集合 与集合 是同一个集合 【答案】BC 【详解】对于A，只有1个子集，A错误； 对于B，空集不含任何元素，是任何非空集合的真子集，B正确； 对于C，集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆，C正确； 对于D，集合 是点集，唯一元素为有序数对 ，集合 是数集，元素为两个实数，二者元素类型不同，不是同一个集合，D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）设集合｜，｜，若⊆，则实数的取值范围为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为⊆，且，所以只需且，解得. 【提升练2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，若集合且，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【详解】因为且，所以， 而集合， 则，所以，即， 所以，因为，所以， 故. 【提升练3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合 与集合 不是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合A可以表示为 【答案】AD 【详解】正确，故A正确； 对于B，“∈”只能用于元素与集合之间，集合 与集合 都是集合，不能用“∈”，故B错误； 集合 与集合 元素完全相同，是同一个集合，故C错误； 解方程组得，所以，故D正确． 【提升练4】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，，若集合，则的值为______． 【答案】 【详解】由，得，因为有意义，故，所以只能. 此时 ，所以，又，所以. 故，，所以. 【提升练5】（26-27高一上·全国·期中）设集合，，若，求实数的值. 【答案】 【分析】先求解集合，由集合相等得到方程的两根，再借助韦达定理求出参数，最后验证结果. 【详解】解方程，得或，因此. 由可知，也是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 检验：时，，符合题意. 故实数. 考点三　空集的概念与判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（    ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【详解】① 集合中元素无序，正确； ② 任何集合都是它自身的子集， 正确； ③ 不含任何元素，而 含一个元素 ，故 ，错误； ④ 含元素 ，不是空集，错误； ⑤ 空集是任何集合的子集，正确； ⑥ ， 正确． 所以不正确的是 ③④． 【例2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）下列关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，不是整数，故，A错误； 对于B，因为，所以． 又因为是自然数集，所以，B正确； 对于C，因为是无理数，所以，C错误； 对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，D正确． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知六个关系式①；②⊆；③⊇；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系、空集的性质及应用、判断两个集合是否相等. 【详解】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故⊆、⊇，②③正确； 没有元素，故，④正确； ，⑤错误； ，⑥正确. 所以①②③④⑥正确. 【变式训练2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）关于的方程的解集是空集，则的值为_____ 【答案】 【详解】由得， 因为关于的方程的解集是空集， 故，即 【变式训练3】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列四个命题中正确的是（     ） A．空集是任何集合的真子集 B．设，若，则 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，根据空集性质可得空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，A错误； 对于B，根据子集定义，若，则对任意，都有，B正确； 对于C，根据集合中元素的无序性可得，任何集合都是其本身的子集，因此，C正确； 对于D，因为，所以当时，代入方程解得，符合； 当时，代入方程解得，符合； 当时，代入方程解得，符合； 因此集合，D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·天津西青·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对①：是不含任何元素的集合，是含有个元素的单元素集合，二者不相等，故①错误； 对②：由空集的基本性质可知，空集是任意集合的子集，因此成立，故②正确； 对③：集合为数集，元素为两个实数、；集合为点集，唯一元素是有序实数对， 二者元素类型、个数均不相同，不满足集合相等的条件，故③错误； 对④：是元素，是包含元素的集合，正确关系为，故④错误； 综上，正确的式子仅有个. 【提升练2】（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列关系中：①，②，③，正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①：集合的元素为，根据元素与集合的属于关系定义，成立，故①正确； ②：由集合的基本性质，空集是任意集合的子集，因此成立，故②正确； ③：集合是数集，元素为实数、；集合是点集，唯一元素为有序实数对，两集合元素类型完全不同，不存在包含关系，故③错误. 综上，正确的关系共2个 【提升练3】下列集合中是空集的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在实数范围内无解，故 不含任何元素，是空集；，，，均含有元素，不是空集．故选 A． 【提升练4】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，则集合B的子集个数为__________． 【答案】 4096 【分析】由整数条件确定分母的可能取值，利用非零整数因数的个数求集合元素个数，再应用子集个数公式. 【详解】令，其中且. 由及，可知为的非零整数因数. 的非零整数因数为，共个. 每个因数与一个一一对应，因此集合共有个元素. 所以集合的子集个数为. 【提升练5】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，。 (1)当时，求集合的子集的个数； (2)若，求实数的取值范围。 【答案】(1)　(2) 【分析】（1）根据题意，列出中的自然数，根据集合中子集的个数公式即可求解； （2）根据题意，由，结合是否为空集分类讨论即可求解. 【详解】（1）已知集合，当时，，共个元素，子集个数为. （2）已知集合，， 当，即，解得，此时满足； 当时，若，则需且，，得； 故实数 的取值范围为 ． 考点四　集合的子集、真子集（个数） 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，则的真子集的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，共3个元素， 所以集合的真子集个数为. 【例2】已知集合 ，则下列结论正确的是 A． B． 的子集个数为 C． 的真子集个数为 D． 【答案】ABD 【详解】由 得 或 ，故 ，A 正确；含 个元素的集合，其子集个数为 ，B 正确；真子集个数为 ，C 错误；任何集合都是其自身的子集，故 ，D 正确．故选 ABD． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知 ，{是自恋数}，则 的子集个数为（    ） A．8 B．15 C．32 D．63 【答案】A 【详解】 是 1 位数，，是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数； 是 3 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数． 所以 ，含有 3 个元素，其子集个数为 ． 【变式训练2】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，则集合的非空真子集的个数为______． 【答案】 【分析】先按集合的定义，从集合中取两个不等元素相乘，利用互异性去重，得到集合并确定元素个数；再根据结论：含个元素的集合，非空真子集个数为，代入求值即可. 【详解】， 乘积：， 由集合元素互异性，得， ∴集合B 有3个元素， ∴故非空真子集的个数为. 【变式训练3】（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合 与集合 不是同一个集合 【答案】AC 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，（）与 （）都表示全体奇数，两集合都是奇数集， 是同一个集合，故D错误． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）已知集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，含个元素，子集个数为. 【提升练2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，时；，时，； ，时；，时，； ，时；，时，. 所以，有4个元素，真子集个数. 【提升练3】下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】空集是任何集合的子集，A 正确；“”只用于元素与集合之间， 是集合，不能作为 的元素，B 错误； 与 是同一集合，任何集合都是其自身的子集，C 正确； 是元素，应写作 ，D 错误．故选 AC． 【提升练4】（26-27高一上·全国·期中）若集合｜−，则集合的真子集有______个. 【答案】3 【详解】因为， 解得或， 故， 真子集个数−. 【提升练5】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． (1)分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； (2)已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； (3)已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 【答案】(1) 因为 ，，，，所以 是“差封闭集”； 因为 中 ，所以 不是“差封闭集”． (2)； (3)， 【分析】（1）枚举集合中任意两个不同元素差的绝对值，检验结果是否全部属于原集合，以此判断是否满足差封闭集定义； （2）根据差封闭要求，得到，结合对的取值分类讨论，舍去矛盾情形求出； （3）先由锁定，再对分类得到c的候选值，代入检验排除不满足封闭性的c. 【详解】（1）对于 ，任意两个不同元素之差的绝对值分别为 、、，均属于 ，故 是“差封闭集”；对于 ，，故 不是“差封闭集”． （2） 中，，，还需 ． 若 ，则 ，与 矛盾；若 ，则 ；若 ，无解． 所以 ． （3）（）中， 必须在 中： 得 （舍）； 无解； 得 （舍）；故 ，即 ． 此时 ， 必须在 中： 若 ，则 （舍）；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，无解． 当 时，，两两之差为 ，，，都属于 ，符合； 当 时，，，不符合． 所以 ，． 考点五　根据集合包含关系求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）设集合 ，，且 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 且 ，得 ，故 . 当时，，满足，符合题意； 当时，，要使，则； 综上：实数的取值集合为. 【例2】已知集合 ，，若 ，则下列结论正确的是 A． B．当 时， C．实数 的取值集合为 D．不存在实数 ，使得 【答案】ABD 【详解】由 得 或 ，故 ，A 正确； 时方程 无解，，B 正确；由 ：当 时 ，满足题意；当 时，，得 或 ，故实数 的取值集合为 ，C 错误； 至多含 个元素，而 含 个元素，故不存在实数 使得 ，D 正确．故选 ABD． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·西藏拉萨·期中）已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】集合，而， 当时，，满足，因此； 当时，，由，得或，因此或， 所以实数可能取，不能取2. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·期中）已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______. 【答案】− 【分析】根据集合间的关系，列出不等式求参数范围. 【详解】由⫋得⊆且， 由⊆得−且，即−， 此时 的范围长度是 1， 的范围长度是 4， 所以满足，所以−. 【变式训练3】已知集合 ，，则下列结论正确的是 A．若 ，则 B．不存在实数 ，使得 C．当 时， D．当 时， 【答案】ABD 【详解】当 时，，此时 ， 成立；当 时，需 且 ，得 ．综上， 时 ，A 正确；若 ，需 且 ，即 且 ，矛盾，故不存在这样的实数 ，B 正确； 时 ，而 ， 不成立，C 错误； 时，，故 ，D 正确．故选 ABD． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，，则满足的实数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，利用集合间的关系，列出方程，结合集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合和，且， 当时，即，解得，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，即，此时方程无实数解，不符合题意，舍去； 当时，即，解得或，此时均不满足集合中元素的互异性，舍去； 综上可得，实数的个数为0. 【提升练2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可取， 共有个. 【提升练3】（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设集合 ，，若 ，则实数 的值可以是（　　　） A．0 B． C．4 D．1 【答案】ABD 【分析】利用子集关系，先求解集合 ，再分 为空集与非空集两种情况讨论参数 的取值，逐一验证选项即可． 【详解】 由，得，解得或，所以. 由 ，分 与 两种情况： 当时，方程无解，即，满足； 当时，方程解为，由，得，解得或. 故实数的值可以是0，1，. 【提升练4】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，若，则的所有可能取值为______． 【答案】 【详解】分与讨论. 当时，方程无解，此时，满足； 当时，，则或，解得或. 综上，的所有可能取值为. 【提升练5】已知集合 ，． (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)　(2) 【详解】（1）若 ，则 非空，需 且 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ． （2）①当 时，，即 ，此时 成立；②当 时，需 且 且 ，解得 ，此时 ．综上，实数 的取值范围是 ． 【真题回顾】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=（　　） A．2　　B．1　　C．2/3　　D．−1 【答案】B 【详解】因为A⊆B，故a−2=0或2a−2=0．当a−2=0时，a=2，此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不满足A⊆B；当2a−2=0时，a=1，此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，满足A⊆B．综上，a=1．故选：B． 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $