精品解析：北京市朝阳区东方德才学校2026-2027学年高二上学期期中数学试题

2026-2027学年第一学期期中质量检测高二数学题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 【详解】设直线的倾斜角为，， 由，得， 所以. 故选：B. 2. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，即，解得； 故选：B． 3. P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解. 【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得, 又，故. 故选：A. 4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】双曲线，则， 由对称性不妨取焦点为，渐近线为， 则焦点到渐近线的距离为. 5. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据即可求得结果. 【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为. 故选：A. 6. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式. 【详解】因为，所以， 则有： 故选：C. 7. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 则圆心距，且， 故圆与圆的位置关系是外离. 故选：D 8. 已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得，结合椭圆的定义可分别求出及，由此得到的关系式，进而可求得椭圆C的离心率. 【详解】如图，连结， 由椭圆可知，， 因为为正三角形，所以， 又因为，所以， 又，所以， 故， 所以在中，， 所以由得，即， 故椭圆C的离心率为. 故选：B. . 9. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 【答案】D 【解析】 【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 设圆的方程为：，代入，则有， 故圆的方程为：， 令，则，故， 故选：D. 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率. 【详解】椭圆：中，且 则，椭圆长轴长为 则椭圆M的离心率 直线OP斜率为 又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线， 双曲线：的渐近线方程为 故，即， 则双曲线的实半轴长为 则双曲线N的离心率 则 故选：A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 过点且与直线平行的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设所求直线方程为，利用点坐标求得，从而求得正确答案. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求方程为. 故答案为： 12. 椭圆的一个焦点是，那么等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆中，得出的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为椭圆的一个焦点是， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知点在抛物线：上，则点到抛物线的焦点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答. 【详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得，点到抛物线的焦点的距离， 所以点到抛物线的焦点的距离为3. 故答案为：3 14. 在长方体中，，则______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得. 【详解】在长方体中，， 所以. 故答案为：3 15. 已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用中点坐标公式写出，再把代入椭圆方程化简即可. 【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为， 所以，又因为P是椭圆上任意一点， 所以，即. 故答案为：. 16. 如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值. 【详解】取中点，中点，连接，， 由正方体，分别为的中点， 又平面，平面，平面 分别为的中点，由中位线性质知 同理可知， 又平面，平面，平面 又，平面 平面平面 是底面上一点．且平面， 在等腰中，的长度最大时为 的长度最小时，为中点，，，即 故答案为：， 【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法： （1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行； （3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； （4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【解析】 【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB， 在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的焦点坐标及离心率； （2）求的面积． 【答案】（1）焦点坐标为；离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率， （2）先计算点到的距离，再利用公式求出线段的长， 最后用面积公式计算解决问题. 【小问1详解】 椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为， 由， 所以，所以焦点坐标为 离心率为： 【小问2详解】 由直线与椭圆相交于两点，设 则消去得，， 所以 又到的距离为 所以的面积为： 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 20. 已知椭圆过点，且离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中的斜率易求，讨论是否为分别求解即可. 【小问1详解】 由题意得 解得． 椭圆的方程为． 【小问2详解】 由，显然斜率存在，， 当时，． 当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为． 由得． 显然． 设，则． 则中点． 直线的方程为， 由得． ． 综上的值为1． 【点睛】本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习. 21. 已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A． （1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； （2）证明：，且； （3）当n＝5时，若，求集合A． 【答案】（1）数集具有性质P，数集不具有性质P；理由如下： 因为都属于数集， 所以数集具有性质P，因为和均不属于数集， 所以数集不具有性质P； （2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于A， 所以不属于A，所以属于集合A，即0∈A，所以， 令j＝n，i＞1，因为与两数中至少有一个属于A， 所以不属于A，所以属于集合A， 令，则是集合A中的某一项， 若，符合题意， 若，则， 所以，矛盾， 同理等于其他项均矛盾，所以， 同理，令，可得， 倒序相加得； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算并判断出数集具有性质P，数集不具有性质P； （2）判断出属于集合A，即0∈A，即，结合集合定义得到，同理可得，利用倒序相加求出； （3）根据定义推导出是首项为0，公差为的等差数列，求出． 【小问1详解】 数集具有性质P，数集不具有性质P，理由略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 当n＝5时，令j＝5，当时，， 因为集合A具有性质P，所以， 所以，i＝1，2，3，4，5， 所以， 所以，，， 所以，，所以， 即， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 即是首项为0，公差为的等差数列， 所以． 【点睛】集合新定义，需要正确理解题干中的信息，并转化为我们熟悉的知识进行求解，常常用到列举法，反证法等逻辑思路解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量检测高二数学题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 8. 已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 过点且与直线平行的直线方程为______. 12. 椭圆的一个焦点是，那么等于______________． 13. 已知点在抛物线：上，则点到抛物线的焦点的距离为______． 14. 在长方体中，，则______________． 15. 已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______． 16. 如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的焦点坐标及离心率； （2）求的面积． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 20. 已知椭圆过点，且离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值． 21. 已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A． （1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； （2）证明：，且； （3）当n＝5时，若，求集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $