北京市陈经纶中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026一2027学年高二上学期期中考试 数学试卷 本试卷共6页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1.已知空间向量a=(1,-2,-1),=(2,-2,x),若a1,则x=（） A.6 B.2 C.-6 D.-2 2.直线y=2x-3的一个方向向量可以为() A.(1,2) B.(1,-2) C.(2,1) D.(2,-1) 3.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+34=0的位置关系是（) A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=五，OC=c,点M在 线段OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，则MN=（) A-号+ 1 B. 2-1z1- -a--b-一C 322 c+6- D.-2a+5+ 322 5.已知圆C:x2+y2=4上恰有两个点到直线1：y=x+b的距离等于1，则b的取值范 围是（) A.（-3,3) B.（-3W2,3V2) C.（-3,-1)U(1,3)D.（-3W2,-v2)U(V2,32) 6.“m=3”是“椭圆+立=1的离心率为2”的() 4m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉 映，实现了它与老工业遗址的有效融合如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚 轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16m,上口半径为17m,下口半径为28.5m,高为70m, 在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设OA=16,DC=17, EB=28.5,DE=70,则双曲线的方程近似为（) C" D 图1 图2 图3 试卷第1页（共5页） (参考数据： 162≈3.17,28.52 28.52 172 172≈2.81， 16≈1.13) A点 y2 16-382=1 民RCD乡9 17京482-1 8.已知A(02),点P在直线x+y=0上，点2在圆C:x2+y2-8x+15=0上，则PA+P2到 的最小值是（) A.4 B.5 C.6 D.7 9.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，点O是点P在平面ABC上的投影，点Q为 △PAB的重心若空间中的点S满足{8⑧.P0=0,则P网的最小值为() A.26 B.5 C.4v6 D.25 3 3 10.如图，已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为4，M为DD的中点， D N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的个数是（) B ①若MW与平面ABCD所成的角为牙，则点N的轨迹为圆 M ②若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π ③若点N到直线BB,与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 ④若DW与B所成的角为？，则点N的轨迹为双曲线 B A.1 B.2 C.3 D.4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.抛物线y=8x2的焦点坐标为 12.已知双曲线二=1，则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率可以是 43 (写出满足条件的一个取值即可) D 13.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，Q为AD的中点，P为正方 A B 体内部及其表面上的一动点，且PQ∥平面BDD,B,则满足条件的所有点P 构成的平面图形是 （四边形、五边形、六边形)，其面积为 14.已知直线1：3x+4y-10=0与⊙C:(x-a)2+(y-2)2=4交于A,B两点， （1)a=-1时，AB=_ (2)若在圆上或其内部存在一点P,使得∠APB=号，则a的取值范围为 15.已知曲线C:ax2+by2+xy=1（a、b为常数)，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标原点对称； ②当a+b=0时，曲线C恒过两个定点； ③设P、9为曲线C上的两个动点，则存在a>0,b<0,使得P有最大值； ④记曲线C在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为S,则对任意a>0,存在 试卷第2页（共5页) b>0,使得S>1 2Vab 其中所有正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，E是棱AB上的点，平面CAE交棱BC于 点F. D A B D A E B (1)证明：EF/AC; ny ②)若直线48与平面C4B所成角的正弦值为子，求线段AE的长度。 (17)(本小题13分) 已知椭圆C:兰+兰=1，右焦点和右顶点分别为F，A,倾斜角为子的直线I经过F且 43 与椭圆C交于M,N两点： (1)求椭圆C的离心率； (2)求△AMN的面积. (18)（本小题14分) 已知圆C经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心在直线y=x上. (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线V3x+y-b=0交于两点E,F, (i)求b的取值范围； (i)若在圆C上存在点D,使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的 值. 试卷第3页（共5页) (19)(本小题15分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB/1CD,AB=2,AD=CD=1,∠DAB=60°， 且E,F分别为AB,CC的中点. A B E (1)求证：EF/平面ADD,A. (2)从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱 ABCD-AB,CD,存在且唯一，求平面D,EF与平面ADDA夹角的余弦值. 条件①：AD,⊥BD; 条件②：EF=V2: 条件③：EF与平面ABCD所成角为45°， 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 (20)（本小题15分) 9知襁圆E:+之=1a>b>0)的左焦点F(-马0，a=2c (1)求椭圆E的方程； (2)设0为坐标原点，过点P(-4,-3)作斜率为k且不经过焦点F的直线1，直线1与椭圆E 交于不同两点A,B,直线AF,BF与y轴正半轴分别交于点M,N,求证： ∠MFO+∠NFO的值为定值 (21)(本小题15分) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点.对任意的点P(x,),定义OP=+y.任取点 Ax,),B(x2:2),记A'(x,2),B(x2),若此时OA+lOB≥OA+OB成 立，则称点A,B相关 (1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①4-2,1)，B(3,2)；②C(4,-3),D(2,4). 试卷第4页（共5页) (2)给定n∈N°，n≥3，点集2n={(x,y)-n≤x≤n,-n≤y≤n,x,y∈Z. (1)求集合2。中与点A(1,)相关的点的个数； (i)若S二2.，且对于任意的A,B∈S,点A,B相关，求S中元素个数的最大值， 试卷第5页（共5页)