精品解析：上海市松江区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期九年级数学期中质量检测试卷 满分150分，完成时间：100分钟 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、未限定，不符合二次函数定义； B、不是整式，不符合二次函数定义； C、，是一次函数，不符合二次函数定义； D、，符合二次函数定义． 2. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最小值是 C. 对称轴为直线 D. 函数图象与轴的交点坐标是 【答案】C 【解析】 【详解】解：二次函数解析式为， 顶点坐标为，对称轴为直线，故A错误，C正确； ， 抛物线开口向下，函数有最大值，故B错误； 令，得， 函数图象与轴的交点坐标为，故D错误． 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为． ∴它们的相似比为． ∴它们的周长之比为． 5. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点，，且，下列结论： ①；②当时，随的增大而增大； ③若方程的两个实数根分别为，，且，则．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点及对称轴可判断①；根据增减性可判断②；根据题意可得抛物线与直线的两个交点的横坐标为，据此可判断③． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵在对称轴右侧，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； 若方程的两个实数根分别为， ∴方程的两个实数根分别为， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， ∴，故③正确． 综上所述，正确的只有2个． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8. 已知的图像的顶点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴公式求出对称轴，根据顶点在y轴上得到对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的顶点在y轴上，即对称轴为直线， ∴， ∴． 9. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 10. 已知抛物线与轴交于、两点，那么________． 【答案】 2 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的实数根，两交点的距离为两实根差的绝对值，求解方程得到根后即可计算的长度． 【详解】解：令，得到一元二次方程, 对等式左边因式分解，可得, 解得：，, ∵A、B为抛物线与x轴的交点， ∴两点的横坐标分别为、， ∴． 11. 2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 12. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，确定开口方向与对称轴，利用开口向上的抛物线上点到对称轴的距离与函数值的对应关系，比较三点到对称轴的距离即可判断函数值大小． 【详解】解：将抛物线解析式整理为顶点式， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离的大小关系为， ∴对应的函数值大小关系为． 13. 如图，已知点是矩形的边上的点，，与的延长线交于点，连接．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，则可证明，证明得到，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规则得到新抛物线，令得到一元二次方程，利用根与系数关系求出两根和、两根积，代入距离公式算出交点距离是． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为 ，向下平移 3 个单位，遵循上加下减， ∴ 新抛物线解析式为， 即 令 ，则 ， 两边同时除以 2 得：． 设方程两根为，由一元二次方程根与系数的关系： ∴ ． ∴ ， ． ∴ 新抛物线与轴两个交点之间的距离为 ． 15. 如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】用勾股定理求出，设，借同高三角形的面积比把、用表示；由折叠的等长关系与判定点、、共线，再按点在点的上方与下方两种情形，分别在直角三角形中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵． ∴． ∵点是的中点． ∴． 设)，把点翻折后的对应点记为点． 由折叠可知． 连接，过点作于点． ∵与同高，底分别为、． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∵在直角三角形中，． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵，且、都过点． ∴点、、在同一条直线上． ①当点在点上方时(如图)，点在点与点之间． ∴． ∵在直角三角形中，． ∴． 整理得． ∴或(不合题意，舍去)． ②当点在点下方并越过点时(如图)，点在点与点之间． ∴． 由勾股定理得． ∴． 整理得． ∴或(不合题意，舍去)． 综上所述，的长为或． 三、简答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 3 4 0 … （1）根据表格中的数据，求这个二次函数的表达式： （2）表格中空白处的值 ， ； （3）用描点法，在给定的平面直角坐标系里画出二次函数的图像． 【答案】（1） （2）0；3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）直接代入横坐标求解对应的纵坐标即可； （3）先描点，再连线画图即可． 【小问1详解】 解：这个二次函数的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 略 17. 如图，正方形中，是边的中点，点在边上，连接、、，与相交于点，且． （1）求的值； （2）的值． 【答案】（1）2 （2）4 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，，则由线段中点的定义得到，证明，可得； （2）由正方形的性质得到，可证明，则可证明，再由相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 18. 某经销商以每个10元的进价购进一批玩偶，采取线下、线上两种方式销售．线下每周销售量（个）与销售单价（元）（）满足一次函数关系；当售价为20元时，每周卖出60个；当售价为30元时，每周卖出20个．线上统一售价为每个25元． （1）求关于的函数表达式； （2）该经销商一共进货160个玩偶，一周全部卖完，若要使全部售完总利润达到2436元，求线下、线上各自的销售量． 【答案】（1） （2）线下销售量为36个，线上销售量为124个或线下销售量为4个，线上销售量为156个． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）线下销售量为y（个）则线上销售量为，根据总利润等于线下利润与线上利润的和建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴关于的函数表达式为 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，， 当时，，， 答：线下销售量为36个，线上销售量为124个或线下销售量为4个，线上销售量为156个． 19. 如图，已知：在中，，点，在边上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得到，再证明，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，据此代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 20. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：（）的“关联抛物线”为． （1）设的顶点为，写出的解析式，求出它的对称轴和顶点的坐标； （2）过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，，，求点的坐标． 【答案】（1）；直线； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据所给定义可得对应的解析式，再根据对称轴公式求出对称轴，进而求出顶点坐标即可； （2）设出点P的坐标，进而表示出点M和点N的坐标，根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，的解析式为 ∴的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴顶点F的坐标为； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或， ∴或， 解方程得或， 解方程，可知，即该方程无实数根， ∴点P的坐标为或． 21. 已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则可证明，得到； （2）证明，得到；由等边对等角和三角形外角的性质得到，则可证明，证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合实践 问题情境 青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线、我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模 如图1，将仿青蛙机器的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题解决 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； （2）已知仿青蛙机器起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请求出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点M和点O的坐标求出对称轴可得顶点坐标，再把函数表达式设为顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得从点P起跳后的函数表达式为，求出此抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）设该平台的高度为，根据题意求出点D的坐标，进而求出起跳后抛物线必须要经过的点，进而利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴对称轴为直线， ∴顶点的坐标为； 设该抛物线的函数表达式为， 代入点O的坐标得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵从点P起跳后的运动路线形状保持不变， ∴从点P起跳后的抛物线由从原点起跳的抛物线平移得到， ∴从点P起跳后的抛物线的函数表达式为， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设该平台的高度为，则起跳后的抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∵仿青蛙机器在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过， ∴当仿青蛙机器人从平台上起跳，刚好安全通过该障碍物时，起跳后的抛物线要经过点， ∴， 解得， 答：该平台的高度为． 23. 如图1，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、，线段交边于点． （1）求证：； （2）联结，如图2，若，在线段上且，求的值； （3）若，如图3，移动点，联结，当与相似时，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）1 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再证明，即可证明； （2）根据垂线的定义得到，证明，得到，证明，得到，进而可证明，证明，得到，据此可得答案； （3）设；则，，证明，推出；由，可知只存在和这两种情况，据此根据相似三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴可设； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； 同理可证明， 又∵， ∴ ∴，即， ∴； 设，则， 当与相似时，∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴或； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学期中质量检测试卷 满分150分，完成时间：100分钟 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最小值是 C. 对称轴为直线 D. 函数图象与轴的交点坐标是 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点，，且，下列结论： ①；②当时，随的增大而增大； ③若方程的两个实数根分别为，，且，则．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围为______． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____． 8. 已知的图像的顶点在轴上，则________． 9. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 10. 已知抛物线与轴交于、两点，那么________． 11. 2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 12. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是________． 13. 如图，已知点是矩形的边上的点，，与的延长线交于点，连接．则________． 14. 抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 15. 如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________． 三、简答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 3 4 0 … （1）根据表格中的数据，求这个二次函数的表达式： （2）表格中空白处的值 ， ； （3）用描点法，在给定的平面直角坐标系里画出二次函数的图像． 17. 如图，正方形中，是边的中点，点在边上，连接、、，与相交于点，且． （1）求的值； （2）的值． 18. 某经销商以每个10元的进价购进一批玩偶，采取线下、线上两种方式销售．线下每周销售量（个）与销售单价（元）（）满足一次函数关系；当售价为20元时，每周卖出60个；当售价为30元时，每周卖出20个．线上统一售价为每个25元． （1）求关于的函数表达式； （2）该经销商一共进货160个玩偶，一周全部卖完，若要使全部售完总利润达到2436元，求线下、线上各自的销售量． 19. 如图，已知：在中，，点，在边上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：（）的“关联抛物线”为． （1）设的顶点为，写出的解析式，求出它的对称轴和顶点的坐标； （2）过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，，，求点的坐标． 21. 已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 22. 综合实践 问题情境 青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线、我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模 如图1，将仿青蛙机器的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题解决 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； （2）已知仿青蛙机器起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请求出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器的运动路线在同一竖直平面内）． 23. 如图1，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、，线段交边于点． （1）求证：； （2）联结，如图2，若，在线段上且，求的值； （3）若，如图3，移动点，联结，当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $