精品解析： 上海市松江区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 延长线段至点C，使得，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 3. 已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 4. 已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（ ） A. 命题甲是真命题，命题乙是假命题 B. 命题甲是假命题，命题乙是真命题 C. 命题甲、命题乙都是真命题 D. 命题甲、命题乙都是假命题 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 如果，且，那么______． 8. 在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为______千米． 9. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，那么______（结果保留根号） 10. 已知和相似，，，那么的最大内角的度数为______． 11. 两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为______． 12. 已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为______． 13. 如图，已知，，，那么______． 14. 已知中，，，，那么的长为______． 15. 如图，已知中，，，，，那么的长为______． 16. 如图，D是边上一点，点E、F分别是和的重心，如，，用、的线性组合表示，那么______． 17. 如图，点A、B、C均在的正方形网格的格点上，那么的正弦值为______． 18. 已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 如图，已知向量、 （1）化简：； （2）作出化简后的向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量） 21. 如图，已知中，是边上的中线，点E、F分别在边上，且，与相交于点 （1）求证：； （2）连接，若，，，求的长． 22. 如图，已知中，是的角平分线，， （1）求的长； （2）求的值． 23. 如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离B点的点E处盒子右边距离D点的点F处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点的点M处有一个可调整高度的挡板 （1）如图1，小丽控制激光笔发出光线从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板的高度； （2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线入射到面的点G处，经反射后从点F处射出，求此时的正切值； （3）小杰取出挡板，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面和面的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在面上的入射点到点A的距离． 25. 如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点 （1）求的值； （2）如图2，若，，求的长； （3）若，且是等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 延长线段至点C，使得，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，设的长度为a，用a表示出是解题的关键． 设的长度为a，则，然后代入化简即可． 【详解】解：设的长度为a，则， ∴， ∴． 故选：C． 2. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 3. 已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的平行、模长和标量乘法，根据初中数学中向量的定义，如果两个向量存在标量倍数关系，则它们平行；向量的模长满足倍数关系；但标量乘法中，0乘以向量应等于零向量，而不是标量0．注意区分标量 0 和零向量，在向量运算中，零向量应记为． 【详解】解：∵向量平行的定义是：如果存在实数使得，则， ∴对于选项A和B，由于和都是实数，因此成立，A和B正确； ∵向量的模长公式：如果，则， ∴对于选项C，，则，C正确； ∵标量乘法中，（零向量），而选项D的右边是标量0，不是零向量， ∴ D 不正确． 故选：D． 4. 已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答． 【详解】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意； B、，即，不符合题意； C、，即，不符合题意； D、，即，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握“两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例”． 6. 以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（ ） A. 命题甲是真命题，命题乙是假命题 B. 命题甲是假命题，命题乙是真命题 C. 命题甲、命题乙都是真命题 D. 命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 如果，且，那么______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了比的应用、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 先将c和d分别用a和b表示，然后再将化成含有的形式，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：8． 8. 在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的定义，掌握实际距离等于图上距离乘以比例尺的分母是解题的关键． 先根据比例尺的定义求得实际距离，再通过单位换算将厘米转换为千米即可解答． 【详解】解：图上距离为8厘米，比例尺为， ∴实际距离为厘米千米． 故答案为:160． 9. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，那么______（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，当点C是线段的黄金分割点且时，是的较长部分，满足． 直接根据黄金分割的定义列比例式求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故答案为：． 10. 已知和相似，，，那么的最大内角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得到是解题的关键．由相似三角形对应角相等，结合已知条件和，推出，从而在中利用三角形内角和定理求出各角，比较得最大内角． 【详解】解：∵和相似，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴的最大内角的度数为． 故答案为：． 11. 两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应边的中线之比等于相似比成为解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出相似比，对应中位线之比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：设相似比为，则面积比为． ∵面积比为， ∴，解得：（取正值）， ∴相似比为 ． ∵对应中位线是连接对应边中点的线段， ∴其长度比等于相似比，即对应中位线之比为 ． 故答案为：． 12. 已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量的表示，掌握向量的表示方法是解题的关键． 根据向量的长度和方向关系求解即可． 【详解】解：∵是单位向量， ∴， ∵向量的长度为3， ∴． ∵与方向相反， ∴． 故答案为: ． 13. 如图，已知，，，那么______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列出比例式是解题的关键 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． 故答案为： 14. 已知中，，，，那么的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 15. 如图，已知中，，，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余切定义，勾股定理，灵活的使用余切定义是解题的关键，易错点在于搞混正切定义与余切定义，余切定义：邻边比对边；正切定义：对边比邻边；先在中根据余切的定义求出AC的长，在中找到与的比例关系，再利用勾股定理建立等式，据此求出CD的长即可． 【详解】解：在中， ， ，． 在中， ，． ， ， 故答案为． 16. 如图，D是边上一点，点E、F分别是和的重心，如，，用、的线性组合表示，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的运算、重心的性质等知识点，掌握重心的向量表示是本题解题的关键． 根据三角形重心的向量表示，写出和，根据向量减法求解即可． 【详解】解：如图：连接并延长交于H，连接并延长交于G， ∴,， ∴， 是的重心， ∴,，即， ∴， ∴， ， 同理可得：， 故答案为： 17. 如图，点A、B、C均在的正方形网格的格点上，那么的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、三角形的面积公式等知识点，掌握正弦的定义是解题的关键． 如图：过点C作，先利用格点和勾股定理求出线段AB、AC、BC的长，利用的面积求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：过点C作，垂足为 点A、B、C均在的正方形网格的格点上， ，， ， ，即 在中， 故答案为： 18. 已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为______． 【答案】9或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想并灵活运用相关知识是解题的关键． 分与和与两种情况，分别根据矩形的性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设，，， 当时， ，， 将沿着所在的直线翻折得到， ，，， 在矩形中，， ，， ，，， 在中根据勾股定理得，解得：， ，， ，即， 当时， ，， ，， ， ， ， ， 在中根据勾股定理得，解得舍去， ∴． 故答案为：9或． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算、分母有理化等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先运用特殊角的三角函数值化简，然后再运用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，已知向量、 （1）化简：； （2）作出化简后的向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量） 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据平面向量的运算法则化简即可． 结合三角形法则画图即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 21. 如图，已知中，是边上的中线，点E、F分别在边上，且，与相交于点 （1）求证：； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：中，是边上的中线， ， ，与相交于点， ，， ，， ，， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明、是解题的关键． （1）由中，是边上的中线可得，由，与相交于点M，可证明、，则，所以，则 （2）由可得，所以，因为，，所以，，由，得，求得，则 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， 是的中点， ， ，， ，， ， ，解得：， ， 的长为． 22. 如图，已知中，是的角平分线，， （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识解决问题是解题的关键； （1）证明，推出构建方程求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，可得结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． （2） 证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 【解析】 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 24. 为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离B点的点E处盒子右边距离D点的点F处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点的点M处有一个可调整高度的挡板 （1）如图1，小丽控制激光笔发出光线从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板的高度； （2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线入射到面的点G处，经反射后从点F处射出，求此时的正切值； （3）小杰取出挡板，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面和面的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在面上的入射点到点A的距离． 【答案】（1）挡板MN的高度为 （2） （3）光线在面上的入射点到点A的距离为或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、光线的入射和反射、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）如图：过E作交于点G，交于点H，易得，据此求解即可； （2）先证明，进而利用相似三角形的性质列比例式求得，再根据正切的定义求解即可； （3）分①如图：光线先到，再到，然后从点F射出；②光线先到，再到，然后从点F射出；两种情况分别画出图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图：过E作交于点G，交于点H， ， ， ， ， ，解得：， ． 答：挡板的高度为． 【小问2详解】 解：，， ， ，即，解得：， ． 【小问3详解】 解：①如图：光线先到，再到，然后从点F射出，延长交延长线于点H，过G作于点M， ， ， 设，则， ， ， 由入射角等于反射角可知，， ， ，即，解得：， ； ②如图：光线先到，再到，然后从点F射出，延长交延长线于点H，过P作于点M， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即，解得：， ． 综上，光线在面上的入射点到点A的距离为或 25. 如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点 （1）求的值； （2）如图2，若，，求的长； （3）若，且是等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）如图：作交于G，可证得，，进而得出，进而完成解答； （2）先证明，从而，进而得出，再证，从而，设，，则，在中，根据勾股定理得可得，进而完成解答； 分三种情形：①当时，可得出，从而得出，进而根据勾股定理得出，从而得出，进而根据勾股定理得出；②当时，设，则，如图：作交于G，可得出，，由得出方程，进而完成解答；③当时，作于H，可得出，从而，进而完成解答． 【小问1详解】 解：如图：作交于G， ，，，， ∴，， ， 是的中点， ， ， ， 【小问2详解】 解：如图2，是的中点， ， ∵，， ∴ ，， ， ， ， ， ，即, ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，解得：（已舍去负值）， ． 【小问3详解】 解：①如图2，当时， 由（1）得：， ， ，， ， 是的中点， ， ； ②如图3，当时，设，则，作，交于G， 由（1）知，，， ，，， 由得：， ∴，解得：（已舍去负值）， ， ③如图4，当时，作于H， ， ， ， ， ， ， ，解得：． 实际上，故此情况不成立，舍去； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $