黑龙江哈尔滨市德强中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试卷

德强中学2026-2027学年度上学期九年级数学期中测试1104 参考答案及解析 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】 D 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11.【答案】k>1#1<k 12.【答案】6 13.【答案】-15 14.【答 案】8 15.【答案】60° 16.【答案】37 17.【答案】2 18.【答案】±4 12√2 19.【答案】4W2或5 20.【答案】①③④ 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分) 1V3 21.【答案】化简：x-1:3 x+2x-4）-x+2 4 【详解1解：产-x气-2-2x2-xx(x-2x-2)】 =x+22-4=x+2xx(x-2)1 x(x-1)x(x-2)x(x-1)(x+2)(x-2)x-1 当-2304m45291=51】 时，原式V3+1-1V3 22.【答案】(1)如图，∠ABC即为所求 (2)如图，点D即为所求，tan∠ADC=5M 【小问1详解】 解：作图依据：AB=AC=V32+4=5,BC=V72+1P=√50=52 ∴AB2+AC2=BC2,△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，∠ABC=45°： 【小问2详解】 解：作图依据：BMIICN,CN=1.5,BM=1, BD BM 1 2 .△BDM∽△CDN.CD=CN=1.53」 S△ABD BD 2 SAACD CD3,即3Sa4n=2S%4cD: 过A作AF⊥BC于F,如图， DE M :△ABC是等腰直角三角形，AF⊥BC, LAFD=90 AF=BF-CF=1BC-52 2 2, 5V2 tan∠ADC=AF =、2 DE =5 DBD-28C-2N2 4DF-BF-RD-N3 2 5 Γ2， 2 8 23.【答案】(1)y=x+2.y x (2)6 【小问1详解】 V=- 解：：点A(4,-2)、B(m,4)在反比例函数=x的图象上， -2=4=k -4,m,∴.k=8,m=2, 8 即反比例函数解析式为》无，B(2,4), y= :点4A(-4,-2)、B(2,4)在一次函数y=-ax+b的图象上， 4a+b=-2 a=-1 -2a+b=4,解得：b=2,一次函数解析式为：y=x+2: 【小问2详解】 当x=0时，y=x+2=2,C(0,2),0C=2. 5e×0cx-)82,.4-2).5m2x2+4到=6 24.【答案】(1)证明：连接BF,如图， 矩形ABCD,.AD=BC,∠BAD=∠ABC=90° :点F为AE的中点，在Rt△ABE中， BF=TAE=AF 2 ∴.∠FAB=∠FBA,.∠BAD-∠FAB=∠ABC-∠FBA,∴.∠FAD=∠FBC, AD=BC ∠FAD=∠FBC AF=BF △FAD2△FBC(SAS)..CF=DF, (2)6、4v5、2V33、8V5 【小问1详解】见答案 【小问2详解】 BF=1AE 解：根据(1)中的证明可知：在Rt△ABE中， ,线段BF的长为整数，∴线段AE的长也为整数， :矩形ABCD,.BC=AD=15, :点E不与端点B、C重合，.BE<BC,∴0<BE<15, 在Rt△ABE中，AB=8,AE为整数， 假设BE=15,则有：AE=VAB2+BE2=V⑧2+15=17,8<AE<17, BF=TAE 2 ,.4<BF<8.5, ,线段BF的长为整数，∴.BF的长度可以为5、6、7、8， ∴.AE的长度可以为10、12、14、16， 根据BE=VAE2-AB2=VAE2-64,可知BE可以为：6、45、2V33、8V5 25.【答案】(1)A型挂面单价为20元，B型挂面单价为30元： (2)购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元. 【小问1详解】 解：设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元， 2x+2y=100 x=20 由题意，得： 3x+2y=120, 解得y=30 .A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元： 【小问2详解】 解：设购买B型挂面a袋，总费用为P元，则购买A型挂面(40-0)袋， 20(40-a)+30a≤950 根据题意得： (a≥10 ,解得：10≤a≤15 总费用为：w=(40-a)×20+30a=10a+800 .10>0,∴.w随a的增大而增大， “当a=10时，w有最小值，最小值为10×10+800=900 ,.购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元. 26.【答案】(1)证明：如图所示，连接OB、OD D B 设⊙0的半径为R,则OC=OB=OD=R,∴BD=V2OC=V2R, 在△0DB中，0B+0D=2R,BD=(5R=2R,六0B+0D=BD, △ODB是直角三角形，且∠BOD=90°， ~在00丰，图月角∠BCD与周心角∠B0D同对BD.∠BCDB0D=45 2 (2)证明：如图所示，由(1)可得：∠BCD=45°， E M B 在△BCE中，∠AEC=∠BCD+∠ABC=45°+∠ABC, OB=OC,∴LOCB=∠OBC, 在△OBC中，∠B0C=180°-2L0CB. :圆周角∠BDC与圆心角∠BOC同对弧BC,∴.2∠BDC=∠BOC, ∴.2∠BDC=180°-2∠OCB.∴.∠OCB=90°-∠BDC, 在△BCD中，∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°， .∠BDC=180°-45°-∠DBC=135°-∠DBC.·∠OCB=90°-(135°-∠DBC)=∠DBC-45° :∠0CB+∠AEC=3∠ABC,(∠DBC-45)+(45+∠ABC)=3∠ABC,∠DBC=2LABC, :射线BA在∠DBC内部，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC, ∴2LABC=∠ABD+∠ABC,.∠ABC=∠ABD,即AB平分∠DBC, 在△DEM中，∠DEM=∠AEC=45°+∠ABC. 在△BDM中，∠DME=∠MDB+∠MBD=∠ODB+∠ABD. :OB=OD且∠BOD=90°， ∴△OBD是等腰直角三角形，∠ODB=45°，∠DME=45°+∠ABD, :∠ABC=∠ABD.∴.∠DME=∠DEM,.DE=DM. V10 (3)2 【小问1详解】略 【小问2详解】略 【小问3详解】 解：如图所示，连接OA交CD于点H,设⊙O的半径为R,由(2)可设∠ABD=∠ABC=Q, ∴.∠AOC=∠AOD=2, 由(2)可得：∠B0D=90°，∠A0B=2a+90°， 过点A作AK⊥BK交B0的延长线于点K,.∠AOK=180°-∠AOB=90°-2C, 在Rt△AOK中，∠OAK=2a,.AK=OA×cos2a=Rcos2a,OK=OA×sin2a=Rsin2a, 在Rt△AKB中，AB=AK2+BK2=AK2+(OB+OK, :AB2=(Rcos2a)+(R+Rsin2a)'=R2 cos22a+R2+2R2sin2a+R2 sin22a .'.AB2 R2 cos2 2a+R2+2R2 sin 2a+R2 sin2 2a R2 (cos22a+sin2 2a)+R2+2R2sin 2a .在Rt△AOK中， cos 2a=4K A0. sin2a=KO A0. ∴.cos22a+sin22a AK A02 40=1 ,:AB2=2R2+2R2 sin 2a, .∠AOC=∠AOD=2C,OC=OD. ∴由等腰三角形“三线合一”可得：OH⊥CD,CD=2CH, 在Rt△COH中，CH=OC×sin2a=Rsin2a,.CD=2CH=2Rsin2a, 将CD代入AB的式子中，得：AB2=2R+R×CD, 将B=9.CD=12v10 12W10 92=2R2+R 5代入得： 5 整理得：10R2+12V10R-405=0. 设R=V10x,原方程可化为：20x2+24x-81=0, x27 3 33V10 .(2x-3)10x+27)=0,解得：2或10（舍去）， x= .R=V10×三 22, 1210=2x310 4 ×sin2a sin 2a= CD=2Rsin 2a,5 2 ,解得： 5 在Rt△AOK中， sin2a=KO 4 A0 5. 六设0=4级，40=5kK=A00=头，ccs2a=然- A05 过点A作AT⊥OD于点T,连接AD, :∠AOD=2C,在Rt△AOT中， 47=0423a30号6g00r-04co2a 3W103910 255 2510, ∴Dr=0D-07=3i09103Ni0 210 5, 450-18=32 在Rt△ATD中， BD=2R=2x30=35 在Rt△OBD中， 2 :∠ADE=∠ABD=C,∠DAE=∠DAE, AD DE3 DE △ADE∽△ABD,“ABBD,935,解得：DE=V0, .DM-DE=10 OM-OD-DM-310- 2 2 1 1 y= x2+x-10 27.【答案】(1)8 41 (2)d=t+10 (3)2V37 【小问1详解】 解：：抛物线与y轴交于点C,令x=0,则y=-10,.C(0,-10),即0C=10, 0A=1 :tan∠AC0=L,“oc,解得：0A=10,A(-10,0) -0.0入携线报标武0百0a+20-03条，a 1 y=x2+x-10 抛物线的解析式为84 【小问2详解】 ::点P位于抛物线第三象限上，设(8+-10 x2+2x-10=0 1 令y=0,则84 ,解得：x=-10,=8.B(8,0) 0=8k+b 12+1t-10 k=84 2+2-10=t+b 。1 t-8 设直线BP的解析式为y=ax+b,8 4 解得：(b=-t-10 1+ 1 t-10 y=8T4 -x-t-10 ∴直线BP的解析式 t-8 :点D为直线BP与y轴交点，且OD=d, .令x=0,则y=-t-10,∴D(0,-t-10),0D=d=-1-10l=1+10 即d与t之间的函数关系式为d=t+l0, 【小问3详解】 解：如图，过点D作DQICE且DQ=CE 过点B作DB L BO交CE的平行线DO于点O,连接QE, M 四边形DCEO是平行四边形，.CD=QE,CD/OE,∴QE⊥OB, '∠OCE+∠0BD=45°，设∠OBD=a,则∠OCE=45°-a, ∠0CE=∠D0E=45°-a,.∠0EC=90°-L0CE=45°+a, ∴.∠EFB=∠DFC=∠OEC-∠OBD=45°， DQIICE,∠BDQ=∠DFC=45°..∠DQB=90°-∠BDQ=45° ∴.DB=BQ.∠EQB=∠DQB-∠DQE=∠OBD=a ∠DOB=∠BEQ=90° DB=BO 在△ODB和△EBQ中， ∠OBD=∠EQB .△ODB≌△EBO(ASA),OB=QE=8,OD=BE, 由(2)知，OD=1+10,则CD=0C-OD=10-(t+10)=-t CD=QE=0B=-t=8,解得：1=-8,0D=BE=1+10=2,即D(0,-2), 0=8k+b k24 设直线BD的解析式为y=x+么，-2=B ,解得：6=-2， 1 、y=三x-2 x-2=x+x-10 1 ∴.直线BD的解析式为4 ,联立抛物线解析式，得：4 8” 4 解得：=8，x2=-8,P(8,-4) 过点M作MGy轴交y轴于点G,作MH⊥CA交CA延长线于点H,过点A作MA⊥AN交MC于点 N,过点N作NK⊥AC于点K,设CM与x轴的交点为点R, :∠AOM=2LACM,设∠ACM=B,则∠AOM=2B, :A0=OC=10,∠A0C=90°，.∠0AC=∠0CA=45°， .∠OCM=∠ACO-∠ACM=45°-B. '∠OAC+∠ACM=∠AOM+∠OMC=∠CRO,∴.∠OMC=∠OAC+∠ACM-∠AOM=45°-B :.∠OCM=∠OMC,即△OCM是等腰三角形， ..OM=OC=10...AO=OM=10. a∠OAM=∠OMA=0。=90°-B:∠4MC=∠AM0-∠OMC=45 2 :∠MAN=90°，∴.∠AWM=45°，.AM=AN, :∠HAM+∠NAK=∠HAM+∠HMA=90°，∴.∠NAK=∠HMA, ∠H=∠AKN=90° ∠HIMA=∠NAK 在△MA和△KAN中，(AM=AW △HMA≌△KAN(AAS),.HM=AK,HA=KN, 在Rt△AOC中，AC=VOA+OC2=10W2, SAm=60.号MAC=MJ10w2=60 2 ,解得：HM=62, :HM=AK=62,CK=AC-AK=42, NK⊥AC,HM⊥AC,HMIINK, KN CK :∠NCK=∠MCH,△KCW△HCM,HMAC+AH, n-4v2 设HA=KN=n,“6N210N2+n,解得：n=2V2, :AH NK=22,:.AM=AN=AK2+KN2=45. ..MN=AM2+AN2=410,CN=CK2+NK2=210,..CM=MN+CN=6V10. 过点o作OJ⊥CM交CM于点J, w=C-cCM-3i而.aw=oc-C-而 5-CM0CGMGM 2 2 G0=NOM2-GM=8,即M(-6,8),PM=V-8+6)+(-4-8}=237 德强中学2026-2027学年度上学期九年级数学期中测试1104 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．下列标志中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 3．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．反比例函数（其中），当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．如果将抛物线向下平移1个单位，再向右平移2个单位，那么所得的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 6．关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ） A．开口向下 B．对称轴 C．顶点坐标是 D．与轴没有交点 7．如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．如图，点E是平行四边形的边上一点，射线交延长线于点F，则下列比例式错误的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是__________． 12．二次函数的对称轴为直线，则__________． 13．定义一种新运算：，例如．则的值为__________． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点M，的面积为4，则__________． 15．一个扇形的面积是，弧长为，则此扇形的圆心角度数为__________． 16．一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有__________个五角星． 17．某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是__________． 18．已知抛物线与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是__________． 19．正方形中，，点E在直线上，且，连、交于O，则__________． 20．如图，在矩形中，交于点E，点F在的延长线上，连接，，则下列结论：①；②；③若，，则；④若，，M为边上一点，则的最小值为．其中正确的结论序号有__________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21．先化简，再求值：，其中． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点C在格点上； （2）连接，在上找一点D，连接，使，并直接写出的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 24．在矩形中，点E是上的一个动点（点E不与端点B、C重合），点F为的中点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 25．挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 26．如图，内接于，连接，． （1）求证：； （2）如图2，A为弧上一点，连接交于点E，连接交于点M，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 27．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，E为上一点，连接交于点F，，，M为第二象限内一点，连接、、，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $