精品解析：湖北鄂州市2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026年秋季学期期中质量监测试题 九年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足3个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：、不是等式，不属于方程，该选项不符合题意； 、是只含一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程，属于一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不属于一元二次方程，该选项不符合题意； 、未明确，当时不是二次方程，该选项不符合题意． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 3. 年“十一”假期期间，月日至日，湖北省共接待省外流动用户达万人次，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将“万”转换为普通数字，再根据科学记数法的标准形式（要求，为整数），确定、，对应选出正确选项即可． 【详解】解：万． 4. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】把点的坐标代入函数解析式，求出对应的值，进行比较大小，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 5. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待求方程变形为与已知方程结构一致的形式，换元后利用一元二次方程根的定义求解． 【详解】解：对变形，得， 设，则方程化为， ∵ 关于的一元二次方程有一根为， ∴ 方程有一个根为， ∴ ， 解得． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可直接对照抛物线顶点式（）的顶点坐标为的规则，找出给定解析式中对应的、值，即可确定顶点坐标选出正确选项． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为．   故选：． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 9. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设常数项为，根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再结合选项即可求解． 【详解】解：设常数项为， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴印刷不清楚的常数项“■”可能是． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称轴公式及图象过点坐标得出 之间的数量关系，结合抛物线开口方向判断系数符号；根据二次函数图象性质比较函数值大小；利用函数图象与直线交点位置判断方程根的范围，逐一进行判断即可． 【详解】解： 抛物线开口向下， ， 对称轴为直线 ， ，即 ， ，故②正确； 图象过点 ， ， 将 代入得 ； 对于①，当 时，， 抛物线与 轴交点为 和 ， 当 时 ，即 ， ，故①错误； 对于③，， ， ，即 ，故③正确； 对于④， 对称轴为 ，开口向下， 离对称轴越近函数值越大， ，，， ， ，故④错误； 对于⑤，抛物线解析式可写为 ，方程 的根即为抛物线与直线 交点的横坐标， ，抛物线开口向下，与 轴交点为 ， 直线 在 轴下方， 交点在 轴交点外侧， ，⑤正确． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 写出一个开口向上，且经过点的函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵开口向上要求二次项系数大于0，函数需要经过点，即当时，函数值， ∴ 可构造形式最简单的二次函数，取二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为1，得到解析式． 13. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享，经过两轮分享后，共人掌握此技巧．若每轮平均一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给________人． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮平均一人分享的人数为未知数，根据两轮分享后总掌握技巧的人数建立方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人分享给人， ∵第一轮分享后，掌握技巧的总人数为， ∴第二轮分享后，掌握技巧的总人数为， 根据题意列方程得， 解得，， ∵分享的人数不能为负数， ∴舍去， 即每轮平均一人分享给人． 14. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点、点，连接．若轴，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 15. 在校园手工节中，小华用边长为的正方形彩纸制作拼贴画．如图，他先沿对角线把彩纸剪成两个三角形，再把沿方向平移，得到．若平移后与的重叠部分面积为，则平移距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点H，交于点G，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，通过证明是等腰直角三角形，设，列出关于平行四边形面积的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，设交于点H，交于点G， 由平移的性质知，， 四边形是平行四边形，． 将边长为的正方形沿对角线剪开， 和均是等腰直角三角形，． ． 是等腰直角三角形． 设，则阴影部分的底长为，高，根据题意可列方程： ， 解得：，即． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， ． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程实数根的情况，并说明理由； （2）若矩形相邻两边的边长恰好是这个方程的两个实数根，且对角线的长为，求的值． 【答案】（1）解：该方程总有两个实数根． 理由：在一元二次方程中， ，，， ． 对任意实数，，即． 该方程总有两个实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）由根的判别式为完全平方式，恒为非负，判断一元二次方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，结合矩形邻边和对角线满足勾股定理的性质，将转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于k的一元二次方程，解得k的值后，结合矩形边长必须为正数的隐含条件，排除不符合取值范围的解，得到最终k的取值． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得，． ，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ． ． 整理得， 解得，． 当时，，不符合矩形的边长必须为正数的条件，舍去； 当时，,，符合矩形的边长必须为正数的条件； ． 18. 与的位置如图所示，点在边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等角的补角相等得出，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：略 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，则，进而得到点C的横坐标为，代入求解即可； （2）将点C坐标代入中求解k值即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，，则， ∴， ∵， ∴，则 ∵轴于点， ∴点C的横坐标为， 将代入中，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得． 20. 为振兴乡镇特色产业，助力农民增收，某镇镇长助农直播带货，在线销售本地特产翠冠梨．已知翠冠梨每箱成本价为元，直播售价定为每箱元，直播首日一共卖出箱． （1）每箱翠冠梨的利润为________元，第一天获得的销售总利润为________元； （2）随着直播间人气上涨，翠冠梨日销量保持相同的日平均增长率持续增长，若第三天的销售利润达到元，求销量的日平均增长率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）根据题意列式计算即可； （）设销量的日平均增长率为，根据题意列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：每箱翠冠梨的利润为元，第一天获得的销售总利润为元； 【小问2详解】 解：设销量的日平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：销量的日平均增长率为． 21. 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 （1）【初步应用】如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则________； （2）【巩固应用】由图⑥方程配方可得______________________； （3）【综合应用】如图⑦，用面积为的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗（写出方程）？若该方程的两根满足，请求出的值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4 【解析】 【分析】（1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据大正方形面积的两种方法，可列出方程，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，得到关于a的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴（如图⑥）， ∴； 【小问2详解】 解： ∴， ∴（如图⑥）， 即， 【小问3详解】 解：由图⑦可得：， 整理得：， ∵为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 22. 鄂州有一处名胜古迹庾亮楼，也称庾楼．它位于鄂城区古楼街北段，民间常以“古楼”或“鼓楼”来称呼它，是著名的古武昌十景之一．如图，庾亮楼的基座犹如一堵城墙跨街而立，圆拱门截面呈抛物线形，如图，以所在的直线为轴，中点为原点，垂直于轴且过点的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线的顶点距地面米，底部宽为米． （1）求出此抛物线解析式； （2）为方便居民出行，现计划在截面上关于轴对称的，两点处装灯，已知，两点距地面垂直距离为米，求，两点的水平距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意，此抛物线的顶点坐标为，点B坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的x值即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，此抛物线的顶点坐标为，点B坐标为， 设此抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，由得， 解得：，， ∵关于轴对称的，两点距地面垂直距离为米， ∴，两点的水平距离为米． 23. 在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究． （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接． 根据以上操作，当点在上时，写出图中________； （2）【类比应用】 小丽将矩形卡纸换成边长为的正方形彩纸，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，________； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当时，请求出的长． 【答案】（1）30 （2）①； ②，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，即可求解； （2）①连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，，再证明，可设，则，再由勾股定理求出x的值，即可求解； ②证明，即可求解； （3）设，则，然后分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵四边形为正方形，且边长为， ∴，， 由折叠的性质得：，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②略 【小问3详解】 解：设，则， 根据题意得：， 由（2）得：， 当点Q在点F的下方时，如图， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，点为抛物线的顶点．直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出点的坐标，判断点是否在直线上，若不在，直接写出点到的距离； （3）将抛物线向下平移个单位长度，记作抛物线；直线向下平移个单位长度，记作直线． ①若抛物线与直线交于，两点，且，求的值； ②设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当时直接写出的最大值． 【答案】（1） （2），M不在直线l上，点M到直线l的距离为 （3）①；②8 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式进行配方化为顶点式，进而可得点M坐标，将点M坐标代入可判断点M不在直线l上；如图，过M作轴交直线l于H，过M作轴交直线l于K，过M作于L，则，求得，，然后利用坐标与图形性质和勾股定理，结合三角形的面积公式求解即可； （3）先得到抛物线的解析式为，直线的解析式为， ①联立方程组并整理得，设抛物线和直线的两个交点坐标为，，根据根与系数关系和两点距离坐标公式，结合已知得到关于t的方程，解方程即可求解； ②先求得点D、E坐标，分当点D在点E下方时，当点D在点E上方时，当点D和E重合时三种情况，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：，则顶点坐标为， 在中，当时，， ∴点M不在直线l上； 如图，过M作轴交直线l于H，过M作轴交直线l于K，过M作于L，则， 在中，当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∴， 由得， 解得，即点到的距离为； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为，直线的解析式为， ①由题意，得 整理，得 设抛物线和直线的两个交点坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得，（负值，舍去）, ∴满足条件的； ②将代入抛物线和直线的解析式中，可得，， 当点D在点E上方时，， ∵，， ∴当时，最大，最大值为8； 当点D在点E下方时，， ∵，，且， ∴当时，最大，最大值为； 当点D和E重合时，， 综上，当时，的最大值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中质量监测试题 九年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 3. 年“十一”假期期间，月日至日，湖北省共接待省外流动用户达万人次，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 写出一个开口向上，且经过点的函数解析式________． 13. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享，经过两轮分享后，共人掌握此技巧．若每轮平均一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给________人． 14. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点、点，连接．若轴，则的面积是________． 15. 在校园手工节中，小华用边长为的正方形彩纸制作拼贴画．如图，他先沿对角线把彩纸剪成两个三角形，再把沿方向平移，得到．若平移后与的重叠部分面积为，则平移距离为________． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程实数根的情况，并说明理由； （2）若矩形相邻两边的边长恰好是这个方程的两个实数根，且对角线的长为，求的值． 18. 与的位置如图所示，点在边上，，，．求证：． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求的值． 20. 为振兴乡镇特色产业，助力农民增收，某镇镇长助农直播带货，在线销售本地特产翠冠梨．已知翠冠梨每箱成本价为元，直播售价定为每箱元，直播首日一共卖出箱． （1）每箱翠冠梨的利润为________元，第一天获得的销售总利润为________元； （2）随着直播间人气上涨，翠冠梨日销量保持相同的日平均增长率持续增长，若第三天的销售利润达到元，求销量的日平均增长率． 21. 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 （1）【初步应用】如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则________； （2）【巩固应用】由图⑥方程配方可得______________________； （3）【综合应用】如图⑦，用面积为的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗（写出方程）？若该方程的两根满足，请求出的值． 22. 鄂州有一处名胜古迹庾亮楼，也称庾楼．它位于鄂城区古楼街北段，民间常以“古楼”或“鼓楼”来称呼它，是著名的古武昌十景之一．如图，庾亮楼的基座犹如一堵城墙跨街而立，圆拱门截面呈抛物线形，如图，以所在的直线为轴，中点为原点，垂直于轴且过点的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线的顶点距地面米，底部宽为米． （1）求出此抛物线解析式； （2）为方便居民出行，现计划在截面上关于轴对称的，两点处装灯，已知，两点距地面垂直距离为米，求，两点的水平距离． 23. 在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究． （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接． 根据以上操作，当点在上时，写出图中________； （2）【类比应用】 小丽将矩形卡纸换成边长为的正方形彩纸，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，________； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当时，请求出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，点为抛物线的顶点．直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出点的坐标，判断点是否在直线上，若不在，直接写出点到的距离； （3）将抛物线向下平移个单位长度，记作抛物线；直线向下平移个单位长度，记作直线． ①若抛物线与直线交于，两点，且，求的值； ②设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当时直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $