湖北省京山市2026-2027学年九年级上学期期中数学自编模拟卷

2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期 数学期中自编模拟卷 考试时间：120 分钟　试卷满分：120 分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．3x²−2x=0     B．x²+y=1 C． +x=3     D．x³−x²=1 2．抛物线 y=−2(x+3)²+5 的顶点坐标是（ ） A．(3,5)     B．(−3,5) C．(3,−5)     D．(−3,−5) 3．方程 x²=4x 的解是（ ） A．x=4    B．x=0 C．x₁=0，x₂=4     D．x₁=0，x₂=−4 4．关于 x 的一元二次方程 x²−2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m<1     B．m≤1 C．m>1     D．m<−1 5．对于二次函数 y=(x−1)²+2，下列说法正确的是（ ） A．图象的开口向下     B．图象的对称轴是直线 x=−1 C．当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小     D．函数的最小值是 2 6．将抛物线 y=2x² 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A．y=2(x+1)²+3   B．y=2(x+1)²−3 C．y=2(x−1)²+3     D．y=2(x−1)²−3 7．已知点 A(1,y₁)，B(2,y₂)，C(−3,y₃) 都在反比例函数 y= 的图象上，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系是（ ） A．y₁<y₂<y₃   B．y₃<y₁<y₂ C．y₂<y₁<y₃     D．y₃<y₂<y₁ 8．近年来某市大力推进城市绿化建设，绿地面积从 2024 年的 500 公顷增加到 2026 年的 605 公顷。若这两年绿地面积的年平均增长率相同，则这个年平均增长率为（ ） A．5%     B．10% C．10.5%     D．21% 9．如图 ，点 A 是反比例函数 y = （x>0）图象上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 OA。若 △AOB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A．3     B．−3 C．6     D．−6 10．如图 ，二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−1,0)，与 y 轴交于点 C(0,−3)，对称轴为直线 x=1。下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小；④4a+2b+c<0。其中正确的有（ ） (第 9 题图) (第 10 题图) A．1 个     B．2 个 C．3 个     D．4 个 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．方程 x²−2x=0 的解是 ____________。 12．若点 (2,−3) 在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值为 ____________。 13．已知二次函数 y=x²−2x−3，当 y<0 时，自变量 x 的取值范围是 ____________。 14．已知 α，β 是一元二次方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 α²−2α+β 的值为 ____________。 15．如图 ，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B 在反比例函数 y= （x>0）的图象上，则矩形 OABC 的面积为 ____________。 (第 15 题图) 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分 6 分） 解下列方程： （1）x²−4x−5=0 （2）2x²−5x+1=0 17．（本题满分 6 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x²−(2k+1)x+k²+k=0。 （1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长为 5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求 k 的值及△ABC 的周长。 18．（本题满分 6 分） 已知二次函数 y=x²−2x−3。 （1）求该函数图象的顶点坐标及与 x 轴、y 轴的交点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（草图）； （3）当 −1≤x≤2 时，直接写出 y 的最大值和最小值。 （第 18 题作图区） 19．（本题满分 8 分） 如图 5，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= （x>0）的图象交于 A(2,3)，B(6,n) 两点。 （1）求 m，n 的值及一次函数的解析式； （2）求 △AOB 的面积； （3）直接写出不等式 kx+b< （x>0）的解集。 ( 第 19 题图) 20．（本题满分 8 分） 某水果店销售一种进价为每千克 20 元的苹果。经市场调查发现：当售价为每千克 30 元时，每天可售出 200 千克；售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 千克。若水果店希望每天销售这种苹果获利 2160 元，且尽可能让顾客得到实惠，那么售价应定为每千克多少元？ 21．（本题满分 8 分） 如图 ，某农户用一段长为 40 m 的篱笆围成一个一面靠墙（墙长 25 m）的矩形菜园 ABCD，与墙平行的边 BC 靠着墙（不需要篱笆），篱笆只围 AB、CD 和 AD 三条边。设 AB=x m。 （1）用含 x 的式子表示 BC 的长； （2）若菜园的面积为 192 m²，求 x 的值； （3）菜园的面积能否达到 210 m²？请说明理由。 (第 21 题图) 22．（本题满分 10 分） 某商场销售一款进价为每件 40 元的衬衫。经统计：当售价为每件 60 元时，月销售量为 300 件；售价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件；售价每降低 1 元，月销售量就增加 10 件。设每件售价为 x 元（40≤x≤90）。 （1）用含 x 的式子表示月销售量 w（件），并求月利润 y（元）与 x（元）之间的函数解析式； （2）每件售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少元？ （3）若商场希望月利润不低于 6000 元，求售价 x 的取值范围。 23．（本题满分 11 分） 如图 ，抛物线 y=−x²+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0)，B(5,0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）点 P 是抛物线对称轴上的一点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标及 PA+PC 的最小值； （3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN∥y 轴交 BC 于点 N，求线段 MN 长的最大值及此时点 M 的坐标； （4）在抛物线上是否存在点 Q，使 S△QBC=S△ABC？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 (第 23 题图) 24．（本题满分 12 分） 如图 ，在平面直角坐标系中，直线 y=−x+6 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，反比例函数 y= （x>0）的图象经过线段 AB 的中点 M。 （1）求点 M 的坐标及 k 的值； （2）点 P 是第一象限内反比例函数图象上的一点，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，交直线 AB 于点 Q。若 PQ=2QH，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在点 N，使 △BMN 是以 BM 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 (第 24 题图) 2026—2027 学年上学期九年级期中检测卷 第 一 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期 数学期中自编模拟卷参考答案与评分标准 考试范围：第二十三章 一元二次方程　第二十四章 二次函数　第二十五章 反比例函数 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D B C B C C 1．【答案】A 【解析】A 项只含一个未知数 x，且二次项系数 3≠0，符合一元二次方程的定义；B 项含两个未知数；C 项分母含未知数，不是整式方程；D 项未知数的最高次数是 3。故选 A。 2．【答案】B 【解析】y=a(x−h)²+k 的顶点为 (h,k)。把 y=−2(x+3)²+5 写成 y=−2[x−(−3)]²+5，得 h=−3，k=5，∴ 顶点为 (−3,5)。故选 B。 3．【答案】C 【解析】移项得 x²−4x=0，因式分解得 x(x−4)=0，∴ x₁=0，x₂=4。易错：两边直接约去 x 只能得 x=4，会丢掉 x=0 这个解。故选 C。 4．【答案】A 【解析】方程有两个不相等的实数根 ⇔ Δ>0，即 (−2)²−4×1×m>0，∴ 4−4m>0，∴ m<1。故选 A。 5．【答案】D 【解析】a=1>0，图象开口向上，A 错；由顶点式知对称轴是直线 x=1，B 错；开口向上时，在对称轴右侧（x>1）y 随 x 的增大而增大，C 错；顶点 (1,2) 是图象的最低点，函数最小值为 2，D 正确。故选 D。 6．【答案】B 【解析】平移遵循“左加右减、上加下减”：向左平移 1 个单位得 y=2(x+1)²，再向下平移 3 个单位得 y=2(x+1)²−3。故选 B。 7．【答案】C 【解析】k=6>0，图象位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。A(1,y₁)、B(2,y₂) 同在第一象限，且 1<2，∴ y₁=6>y₂=3>0；C(−3,y₃) 在第三象限，∴ y₃=−2<0。∴ y₂<y₁<y₃。故选 C。 8．【答案】B 【解析】设年平均增长率为 x，则 500(1+x)²=605，∴ (1+x)²=1.21，1+x=±1.1，∴ x₁=0.1=10%，x₂=−2.1（不合题意，舍去）。故选 B。 9．【答案】C 【解析】设 A(a,b)，则 ab=k，OB=a，AB=b，∴ S△AOB=ab=k=3，∴ k=6。又图象在第一象限，∴ k>0，符合。故选 C。【提示】过双曲线上任意一点向一条坐标轴作垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积恒为 ½|k|。 【图析】A(a,b) 在曲线上，ab=k；OB=a，AB=b，故 S△AOB=ab=k。 第 9 题解析图 10．【答案】C 【解析】图象开口向上 ∴ a>0；对称轴 x= − =1>0，∴ b=−2a<0，即 2a+b=0，②正确；c=−3<0，∴ abc=(+)·(−)·(−)>0，①错误；开口向上，当 x<1时 y 随 x 的增大而减小，③正确；由图象过 A(−1,0) 得 a−b+c=0，代入 b=−2a、c=−3 得 3a−3=0，∴ a=1，b=−2，∴ 4a+2b+c=4−4−3=−3<0，④正确。故②③④正确，共 3 个。故选 C。 【图析】由开口向上得 a>0，对称轴 x=1 得 b=−2a<0，交 y 轴于负半轴得 c=−3<0，再逐一判断各选项。 第 10 题解析图 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．【答案】x₁=0，x₂=2 【解析】因式分解得 x(x−2)=0， ∴ x₁=0，x₂=2。【易错】两边同除以 x 会漏掉 x=0。 12．【答案】−6 【解析】把 (2,−3) 代入得 −3=k/2， ∴ k=2×(−3)=−6。 13．【答案】−1<x<3 【解析】令 y=0 得 x²−2x−3=0，解得 x₁=−1，x₂=3。抛物线开口向上，图象在 x 轴下方的部分对应的横坐标满足 −1<x<3。 14．【答案】4 【解析】由根与系数的关系得 α+β=3；又 α 是方程的根， ∴ α²−3α−1=0，即 α²−3α=1。 ∴ α²−2α+β=(α²−3α)+(α+β)=1+3=4。【提示】把 α²−3α 整体代换为 1，是处理此类“降次求值”问题的通法。 15．【答案】12 【解析】设 B(a,b)(a>0,b>0)，则 b=，即 ab=12。又 OA=a，OC=b，∴ S矩形OABC=OA·OC=ab=12。【提示】过双曲线上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒为 |k|。 【图析】B(a,b) 为曲线上的点，矩形面积 S=OA·OC=ab=k，故 k=12。 第 15 题解析图 三、解答题（共 75 分） 评分说明：解答题按步骤给分，各步分值为该步满分；学生若采用其他等价解法，参照本标准相应步骤给分；因前一步错误导致后续步骤正确者，后续步骤酌情给分。 16．（本题满分 6 分）　参考答案：（1）x₁=5，x₂=−1；（2）x₁=(5+√17)/4，x₂=(5−√17)/4 （1）因式分解得 (x−5)(x+1)=0，　——（本步 2 分，累计 2 分） ∴ x₁=5，x₂=−1。　——（本步 1 分，累计 3 分） （2）a=2，b=−5，c=1，Δ=b²−4ac=25−8=17>0，　——（本步 1 分，累计 4 分） ∴ x= ，即 x1 = ，x2 = 。　——（本步 2 分，累计 6 分） 17．（本题满分 6 分）　参考答案：（1）见解析；（2）k=4 时周长为 14，k=5 时周长为 16 （1）Δ=[−(2k+1)]²−4×1×(k²+k)=4k²+4k+1−4k²−4k=1。　—— —— （本步 2 分，累计 2 分） ∵ Δ=1>0 恒成立，∴ 无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根。　——（本步 1 分，累计 3 分） （2）由求根公式得 x=[(2k+1)±1]/2， ∴ 方程的两根为 x1=k，x2=k+1，二者一定不相等，故它们不可能同时作等腰三角形的两腰，即题中的 5 必为腰长。　——（本步 1 分，累计 4 分） ∴ k=5 或 k+1=5（即 k=4）。当 k=4 时三边为 4，5，5，周长为 14；当 k=5 时三边为 5，5，6，周长为 16。两组三边均满足三角形三边关系。　————（本步 1 分，累计 5 分） 综上，k=4 时△ABC 的周长为 14； k=5 时△ABC 的周长为 16。　————（本步 1 分，累计 6 分） 18．（本题满分 6 分）　参考答案：（1）顶点 (1,−4)，与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，与 y 轴交于 (0,−3)；（2）图略；（3）最大值 0，最小值 −4 （1）∵ y=x²−2x−3=(x−1)²−4， ∴ 顶点坐标为 (1,−4)。　————（本步 2 分，累计 2 分） 令 y=0 得 x²−2x−3=0，解得 x₁=−1，x₂=3， ∴ 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)；令 x=0 得 y=−3， ∴ 与 y 轴交于 (0,−3)。　————（本步 2 分，累计 4 分） （2）列表取点 (−1,0)、(0,−3)、(1,−4)、(2,−3)、(3,0)，描点并用平滑曲线连线（草图略）。　————（本步 1 分，累计 5 分） （3）∵ 1 在 −1≤x≤2 内， ∴ 当 x=1 时 y 取最小值 −4； 又 x=−1 时 y=0，x=2 时 y=−3， ∴ 最大值是 0。　————（本步 1 分，累计 6 分） 【图析】五个关键点连线即得草图；在 −1≤x≤2 内，最低点为顶点 (1,−4)，最高点为左端点 (−1,0)。 第 18 题解析图 19．（本题满分 8 分）　参考答案：（1）m=6，n=1，y=−½x+4；（2）8；（3）0<x<2 或 x>6 （1）∵ A(2,3) 在 y= 的图象上， ∴ m=2×3=6， ∴ y= ； ∵ B(6,n) 在其图象上， ∴ n=1，即 B(6,1)。　————（本步 2 分，累计 2 分） 把 A(2,3)，B(6,1) 代入 y=kx+b 得 2k+b=3，6k+b=1，解得 k=− ，b=4， ∴ y=− x+4。　————（本步 2 分，累计 4 分） （2）设直线 AB 与 x 轴交于点 C，令 y=0 得 −½x+4=0， ∴ x=8，即 C(8,0)，OC=8。　————（本步 1 分，累计 5 分） S△AOB=S△AOC−S△BOC=×8×3−×8×1=12−4=8。　————（本步 2 分，累计 7 分） （3）观察图象，当 0<x<2 或 x>6 时双曲线在直线的上方， ∴ 不等式的解集为 0<x<2 或 x>6。　————（本步 1 分，累计 8 分） 【图析】延长 BA 交 x 轴于 C(8,0)，把 △AOB 分割为 △AOC 与 △BOC 之差，用"底在同轴上"的三角形面积公式。 第 19 题解析图 20．（本题满分 8 分）　参考答案：每千克 32 元 设每千克售价上涨 x 元，则实际售价为 (30+x) 元，每天售出 (200−10x) 千克，　————（本步 2 分，累计 2 分） 每千克利润为 (30+x−20)=(10+x) 元， ∴ 依题意得 (10+x)(200−10x)=2160。　————（本步 2 分，累计 4 分） 整理得 x²−10x+16=0，解得 x1=2，x2=8。　————（本步 2 分，累计 6 分） ∵ 要尽可能让顾客得到实惠，售价应取较低者， ∴ 取 x=2，此时售价为 30+2=32（元）。　————（本步 1 分，累计 7 分） 答：售价应定为每千克 32 元。　————（本步 1 分，累计 8 分） 21．（本题满分 8 分）　参考答案：（1）BC=(40−2x) m；（2）x=8 或 x=12；（3）不能，理由见解析 （1）篱笆围成 AB、CD、AD 三段，其中 ABCD 为矩形，AB=CD=x， ∴ BC=AD=40−2x（m）。　————（本步 2 分，累计 2 分） （2）依题意得 x(40−2x)=192，整理得 x²−20x+96=0，解得 x1=8，x2=12。　————（本步 2 分，累计 4 分） ∵ 与墙相对的边 BC 的长不能超过墙长 25 m，即 40−2x≤25， ∴ x≥7.5；又 x>0 且 40−2x>0， ∴ 7.5≤x<20。故 x=8 与 x=12 都符合题意。　————（本步 2 分，累计 6 分） （3）若 x(40−2x)=210，整理得 x²−20x+105=0，Δ=(−20)²−4×1×105=400−420=−20<0， ∴ 该方程无实数根，　——（本步 1 分，累计 7 分） ∴ 菜园的面积不能达到 210 m²。　————（本步 1 分，累计 8 分） 【图析】BC 靠墙不设篱笆，篱笆为 AB+CD+AD=40，故 BC=AD=40−2x；BC 不得超过墙长 25 m。 第 21 题解析图 22．（本题满分 10 分）　参考答案：（1）w=900−10x，y=−10x²+1300x−36000（40≤x≤90）；（2）售价 65 元时月利润最大，为 6250 元；（3）60≤x≤70 （1）售价由 60 元变为 x 元，相差 (x−60) 元，∴ w=300−10(x−60)=900−10x（件）。　————（本步 2 分，累计 2 分） 每件的利润为 (x−40) 元，∴ y=(x−40)(900−10x)=−10x²+1300x−36000（40≤x≤90）。　————（本步 2 分，累计 4 分） （2）配方得 y=−10(x²−130x)−36000=−10(x−65)²+42250−36000=−10(x−65)²+6250。　————（本步 2 分，累计 6 分） ∵ −10<0， ∴ 当 x=65 时 y 取得最大值 6250，且 65 在 40≤x≤90 内。　————（本步 1 分，累计 7 分） ∴ 每件售价定为 65 元时月利润最大，最大月利润为 6250 元。　————（本步 1 分，累计 8 分） （3）由 y≥6000 得 −10(x−65)²+6250≥6000，移项得 −10(x−65)²≥−250， ∴ (x−65)²≤25， ∴ |x−65|≤5，即 60≤x≤70。　————（本步 1 分，累计 9 分） 又 60≤x≤70 在 40≤x≤90 内， ∴ 售价的取值范围是 60≤x≤70（即 60 元至 70 元）。　————（本步 1 分，累计 10 分） 23．（本题满分 11 分）　参考答案：（1）y=−x²+4x+5，C(0,5)；（2）P(2,3)，最小值为 ；（3）MN 的最大值为 ，此时 M( , )；（4）存在，Q(2,9)、(3,8)、(6,−7) 或 (−1,0) （1）把 A(−1,0)，B(5,0) 代入得 −1−b+c=0，−25+5b+c=0，解得 b=4，c=5， ∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+4x+5；令 x=0 得 y=5， ∴ C(0,5)。　————（本步 1 分，累计 1 分） （2）对称轴为直线 x=2。点 A 关于对称轴的对称点为 B(5,0)， ∴ PA+PC=PB+PC≥BC，当点 P 在线段 BC 上时取等号，此时 PA+PC 最小。　————（本步 1 分，累计 2 分） 设直线 BC 的解析式为 y=px+q，代入 B(5,0)、C(0,5) 得 y=−x+5；令 x=2 得 y=3， ∴ P(2,3)，此时 PA+PC 的最小值即为 BC 的长。　————（本步 1 分，累计 3 分） （3）设 M(t,−t²+4t+5)(0<t<5)，则 N(t,−t+5)，且 M 在 N 的上方。　————（本步 1 分，累计 4 分） ∴ MN=(−t²+4t+5)−(−t+5)=−t²+5t=−(t− )²+ ， ∴ 当 t= （在 0<t<5 内）时 MN 取最大值 。　————（本步 1 分，累计 5 分） 此时 M 的纵坐标为 −( )²+4× +5= ， ∴ M( , )。　————（本步 1 分，累计 6 分） （4）S△ABC=×AB×|yC|=×[5−(−1)]×5=15，∴ S△QBC=S△ABC=15。　————（本步 1 分，累计 7 分） 设 Q(x,y)。直线 BC 可写为 x+y−5=0，点 Q 到 BC 的距离 d= ，又 BC=，∴××=15，得 |x+y−5|=6。　————（本步 1 分，累计 8 分） 把 y=−x²+4x+5 代入得 x+y−5=−x²+5x，∴ |−x²+5x|=6。　————（本步 1 分，累计 9 分） ① 由 −x²+5x=6 得 x²−5x+6=0，解得 x=2 或 x=3；② 由 −x²+5x=−6 得 x²−5x−6=0，解得 x=6 或 x=−1。　——（本步 1 分，累计 10 分） 对应 y 值：x=2 时 y=9；x=3 时 y=8；x=6 时 y=−7；x=−1 时 y=0。 ∴ 存在符合条件的点 Q，坐标为 (2,9)、(3,8)、(6,−7) 或 (−1,0)。　————（本步 1 分，累计 11 分） 【图析】P 在对称轴 x=2 上，由对称性 PA=PB，故 PA+PC 最小即 PB+PC 最小，P 落在线段 BC 上；MN 为竖直截线；四个方格点 Q₁(2,9)、Q₂(3,8)、Q₃(6,−7)、Q₄(−1,0) 与直线 BC 的"竖直距离"均为 6。 第 23 题解析图 24．（本题满分 12 分）　参考答案：（1）M(3,3)，k=9；（2）P(3−, 9+3)、(3+, 9−3) 或 (3+3, 3−3)；（3）存在，N(6,0) 或 N(0,0) （1）令 y=0 得 x=6，∴ A(6,0)；令 x=0 得 y=6， ∴ B(0,6)， ∴ AB 的中点 M(3,3)。　————（本步 1 分，累计 1 分） ∵ 点 M 在 y= 的图象上， ∴ k=3×3=9，即 y= （x>0）。　————（本步 1 分，累计 2 分） （2）设 P(a , ) (a>0)，则 H(a,0)，Q(a,−a+6)，其中 QH=|−a+6|。　————（本步 1 分，累计 3 分） ∵ PQ= −(−a+6)=>0， ∴ a≠3。　————（本步 1 分，累计 4 分） ① 当 0<a<6 时，QH=6−a。由 PQ=2QH 得 + a−6=2(6−a)，两边同乘 a 得 a²−6a+3=0，解得 a=3±（两根均在 0<a<6 内）。　————（本步 2 分，累计 6 分） ② 当 a>6 时，QH=a−6。由 PQ=2QH 得 +a−6=2(a−6)，两边同乘 a 得 a²−6a−9=0，解得 a=3+3（a=3−3<0 舍去），且 3+3>6 符合 a>6，此时 = = 3−3。　————（本步 1 分，累计 7 分） 综上，点 P 的坐标为 (3−, 9+3)、(3+, 9−3) 或 (3+3, 3−3)。　————（本步 1 分，累计 8 分） （3）∵ B(0,6)，M(3,3)，∴ BM==3。设 N(n,0)。　————（本步 1 分，累计 9 分） ① 若 MN=MB，则 (n−3)²+3²=18，∴ (n−3)²=9，∴ n=6 或 n=0，即 N(6,0) 或 N(0,0)，两种情形下 B、M、N 三点均不共线，均成立。　——（本步 1 分，累计 10 分） ② 若 BN=MB，则 n²+6²=18，即 n²=−18，无实数根，故此情形不存在。　————（本步 1 分，累计 11 分） ∴ 存在符合条件的点 N，坐标为 N(6,0) 或 N(0,0)。　————（本步 1 分，累计 12 分） 【图析】P 在双曲线上、Q 在直线上且横坐标相同，竖直线段 PQ 与 QH 的比决定 a 的方程；a<6 与 a>6 两种情形分别对应 P₂、P₃（另一解 P₁ 在图外上方）。 第 24 题解析图 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期 数学期中自编模拟卷命题意图说明 命题范围：第二十三章 一元二次方程　第二十四章 二次函数　第二十五章 反比例函数 全卷 24 题　满分 120 分　考试时间 120 分钟 一、总体设计思想 本卷以《义务教育数学课程标准（2022 年版）》"四基""四能"为纲，以人教版九年级上册第二十五、二十六、二十七三章为范围，重点考查"数与代数"领域中方程、函数两条主线的核心内容。命题遵循三条原则： ● 结构稳定，指向明确。沿用湖北省中考数学的成熟结构——10 道选择（30 分）、5 道填空（15 分）、9 道解答（75 分），与日常教学中的单元卷、期中卷一致，学生无需适应新卷型即可暴露真实水平。 ● 三章联动，突出函数主线。一元二次方程是二次函数的"代数根"，反比例函数与一次函数的交点问题又回归方程，三章在本卷中不是并列罗列，而是通过第 19、23、24 题等交汇题串成一条"方程—函数—图象—应用"的链条。 ● 重通法，控技巧。全卷不设置需要特殊技巧或竞赛背景的偏题怪题，所有解法均来自教材例题与习题的通性通法：公式法、配方法、待定系数法、根的判别式、根与系数的关系、数形结合与分类讨论。 二、内容与能力双向细目表 题号 考查内容 能力层级 难度 分值 题型 1 一元二次方程的概念 理解 易 3 选择 2 二次函数顶点式与顶点坐标 掌握 易 3 选择 3 解一元二次方程（因式分解） 掌握 易 3 选择 4 根的判别式与参数范围 掌握 易 3 选择 5 二次函数的性质（开口、对称轴、增减性） 掌握 中 3 选择 6 二次函数图象的平移 掌握 中 3 选择 7 反比例函数的增减性与比较大小 掌握 中 3 选择 8 一元二次方程的应用（平均增长率） 运用 中 3 选择 9 反比例函数中 k 的几何意义 掌握 中 3 选择 10 二次函数图象与系数关系、多结论判断 综合 较难 3 选择 11 解一元二次方程（提公因式） 掌握 易 3 填空 12 反比例函数解析式的确定 掌握 易 3 填空 13 二次函数与不等式（y<0 的 x 范围） 掌握 中 3 填空 14 根与系数的关系及代数式求值 综合 较难 3 填空 15 反比例函数与矩形结合求 k 综合 较难 3 填空 16 解一元二次方程（因式分解、公式法） 掌握 易 6 解答 17 判别式证明＋等腰三角形分类讨论 综合 中 6 解答 18 二次函数图象与性质、画草图、区间最值 掌握 中 6 解答 19 一次函数与反比例函数交点、面积、不等式 综合 中 8 解答 20 一元二次方程的应用（涨价型利润） 运用 中 8 解答 21 一元二次方程的应用（几何图形面积） 运用 中 8 解答 22 二次函数的应用（分段利润最值） 运用 较难 10 解答 23 抛物线综合：解析式、最短路径、线段最值、等面积 综合 较难 11 解答 24 反比例函数综合：中点、动点、等腰三角形存在性 综合 较难 12 解答 （注：难度"易"指得分率预期 0.80 以上，"中"指 0.55—0.80，"较难"指 0.35—0.55。） 三、内容结构与难度分布 （一）三章分值比例 章节 对应题号 分值 占比 第二十五章　一元二次方程 1、3、4、8、11、16、17、20、21 43 35.8% 第二十六章　二次函数 2、5、6、10、13、18、22、23 42 35.0% 第二十七章　反比例函数 7、9、12、15、24 24 20.0% 跨章交汇（一次函数与反比例、方程与函数） 14、19 11 9.2% 三章分值大体均衡：一元二次方程 43 分、二次函数 42 分、反比例函数 24 分，交汇题 11 分。一元二次方程与二次函数并列为主体，反比例函数因课时较少而占比略低，同时通过第 19、24 题与一次函数、几何图形组合，避免其被边缘化。 （二）难度结构 难度 题号 分值 占比 容易题 1、2、3、4、11、12、16 24 20.0% 中等题 5、6、7、8、9、13、17、18、19、20、21 54 45.0% 较难题 10、14、15、22、23、24 42 35.0% 易∶中∶较难 = 24∶54∶42，即 2∶4.5∶3.5。这一配比中"较难题"占比偏高，原因是第 22、23、24 三题均为多问递进结构，其（1）（2）问属中等难度，学生按问作答可得大部分分数，实际整题难度并不等同于题目的标称难度。按分步给分规则折算，全卷预期难度系数约 0.65，既保证基础题不失分，又能在高分段形成有效区分。 四、逐题命题意图 一、选择题 1．考查一元二次方程的定义。四个选项分别放置"未知数在分母""含两个未知数""最高次为三次""化简后二次项系数不为零"四种典型干扰，其中 D 选项需先整理为 −3x²+4x−1=0 才能判断，意在纠正学生"看到 x² 就认方程"的表面化认知。 2．考查顶点式 y=a(x−h)²+k 的顶点识别。设置 (−3,5)、(3,5)、(−3,−5)、(3,−5) 四个易混点，针对学生把括号内符号与 h 的符号搞反这一高频错误。 3．考查因式分解法解方程，同时检测"方程两边同除以 x"这一常见失根错误。选项 A（x=4）正是漏根答案，选项 D（x=0）是另一个单根答案。 4．考查根的判别式与参数范围的转化。学生需由 Δ=4−4m>0 得出 m<1，并注意题目问的是"m 的取值范围"而非方程本身，考查建立不等式的能力。 5．以顶点式给出二次函数，四项分别考查开口方向、对称轴、最小值和增减性，覆盖面广而单点浅，属于"多结论逐一判断"的典型学业水平考试题。 6．考查图象平移规律"左加右减、上加下减"。此处先左移 1 再下移 3，易错点在于平移对象是 x 与整体函数值，而非系数 a。 7．考查反比例函数 y=k/x 在 k>0 时"每个象限内 y 随 x 增大而减小"的限定条件。C 点横坐标为负，位于第三象限，须单独判断，是本章最易出错的比较大小题型。 8．以城市绿化为背景考查平均增长率模型 500(1+x)²=605。数据设定使 1+x=1.1，得到整洁的 10% 增长率，避免计算干扰，聚焦建模与求解。 9．考查反比例函数中 k 的几何意义：过图象上一点作坐标轴垂线，与原点构成的三角形面积为 |k|/2。属本章核心结论的直接应用。 10．综合判断题。由 A(−1,0)、C(0,−3) 与对称轴 x=1 反求 a、b、c，再判断 abc、b²−4ac、2a+b、a+b+c 等组合式的符号。四个结论层层递进，需要学生具备"由图读信息、由信息算系数、由系数判结论"的完整推理链，是全卷选择题的区分点。 二、填空题 11．考查提公因式法解方程，是最基础的方法起点，用于保底得分。 12．考查用待定系数法求反比例函数解析式，代入即得 k=−6，题目同时检验学生对 k=xy 这一形式关系的理解。 13．考查二次函数与一元二次不等式的联系。需先求与 x 轴交点 −1 和 3，再结合开口向上的图象确定 −1<x<3，体现数形结合。 14．考查根与系数的关系及代数式恒等变形。由 α²−3α−1=0 得 α²=3α+1，代入原式化为 3α+1−2α+β=α+β+1=3+1=4。这是本卷填空题中思维含量最高的一题，考查"降次"这一核心变形技巧。 15．矩形与反比例函数的组合。利用矩形对边相等与顶点在曲线上，建立关于 k 的方程求解，考查坐标法与方程思想的融合。 三、解答题 16．基本运算题，两小题分别对应因式分解法与公式法，完整覆盖一元二次方程的两种主要解法。设置为 6 分，属"应得必得"的基础分。 17．第（1）问用判别式证明方程恒有两个不等实根，考查配方与符号判断；第（2）问把方程的根与等腰三角形三边关系结合，需要分类讨论"5 是腰还是底"，并检验三角形不等式。此题是"代数结论用于几何情境"的典型，也是本卷考查分类讨论思想的第一个落点。 18．函数研究的标准流程题：求顶点与交点（代数）→ 画草图（几何直观）→ 求区间最值（性质应用）。第（3）问限定 −1≤x≤2，须比较端点值与顶点值，考查学生对"最值不一定在顶点取得"的理解，是二次函数最值教学的重点与易错点。 19．一次函数与反比例函数的交汇综合。第（1）问用待定系数法；第（2）问求 △AOB 面积，可用"割补"或"铅垂高"两种方法，鼓励多解；第（3）问由图象直接写出不等式解集，考查数形结合与图象语言到符号语言的转换。三问由算到用，层次分明。 20．涨价型销售利润问题。设涨价 x 元，列出 (10+x)(200−10x)=2160，解得 x=2 或 x=8，再依据"让顾客得实惠"取较小售价 32 元。此题特意设置"两个数学解、一个实际解"的情形，考查学生根据实际意义取舍的能力，避免"解完即止"的机械作答。 21．几何图形面积与方程的结合。篱笆总长 40 m 只围三边，需先表示 BC=40−2x，再列 x(40−2x)=192；同时墙长 25 m 构成隐含约束 BC≤25，用于检验取舍。此题考查"用字母表示线段—建立方程—用实际条件检验"的完整建模过程。 22．本卷原创题之一。商场衬衫销售，售价可涨可降，利润函数在 40≤x≤60 与 60<x≤90 上分别对应不同的销售量表达式，构成一个分段二次函数，需求出两段各自的最大值再比较。与常规"单向涨价"题相比，此题逼迫学生先判断区间、再分段求最值、最后横向比较，考查函数思想的完整性与严谨性，是全卷应用题的制高点。 23．抛物线综合题，四问呈明显梯度：（1）待定系数法求解析式，属送分；（2）对称轴上求 PA+PC 最小的点，考查"轴对称—两点之间线段最短"的转化，需先识别 A 关于对称轴的对称点为 B；（3）竖直截线段 MN 的最大值，考查用同一参数 t 表示两点纵坐标之差并配方求最值；（4）等面积条件下求抛物线上点 Q，需把面积条件转化为点到直线 BC 的距离，再归结为绝对值方程 |−x²+5x|=6，最终得四个解。四问分别对应"算—转—建—归"四种能力，是全卷区分度最高的一题之一。 24．本卷原创题之一。直线 y=−x+6 与反比例函数交于其中点 M，（1）求 M 与 k，考查中点坐标公式与待定系数法；（2）动点 P 满足 PQ=2QH，需按 0<a<6 与 a>6 两种情形去绝对值，分别得到 a=3±√6 与 a=3+3√2，共三个解，且需讨论 a=3 时 PQ=0 的退化情形；（3）以 BM 为腰的等腰三角形，需分 MN=MB 与 BN=MB 两类，并验证三点不共线。此题把"去绝对值""分类讨论""存在性验证"三重难点叠加，意在甄别具备完整逻辑链的高水平学生。 五、本卷的几点特色 ● 原创题两处，控制比例。第 22 题（涨降双向的分段利润）与第 24 题（反比例函数中的动点与存在性）为自编原创题，其余题目均为教材例题、习题的改编或常规题型。原创题合计 22 分，占比 18.3%，既保证试卷的信度（大部分题目有成熟参照），又保留一定的陌生感。 ● 实际情境真实可用。第 8 题城市绿化、第 20 题水果店销售、第 21 题篱笆围菜园、第 22 题商场衬衫，四个情境均取自真实生活，数据可算、答案可验，避免"为应用而应用"的虚假情境。 ● 交汇题串起三章。第 14 题（方程与代数式变形）、第 19 题（一次函数与反比例函数）、第 23 题（方程与二次函数）、第 24 题（反比例函数与几何）四道题打破章节壁垒，引导学生建立"方程是函数的特例、函数是方程的图象"的整体认识。 ● 解法开放，鼓励多解。第 19（2）求三角形面积可用割补法或铅垂高法；第 18（3）求区间最值可用图象观察或代数比较；第 23（4）求点 Q 可用距离公式或面积公式。评分标准中对不同解法均给出对应分值。 ● 设置"陷阱"考查严谨性。第 3 题漏根、第 7 题跨象限、第 18（3）最值不在顶点、第 20 题两解取一、第 21 题墙长约束、第 24（2）退化情形——六处"坑"均指向学生真实易错点，而非人为刁难，考后可作为讲评的重点素材。 六、使用建议 本卷可作为期中检测、单元整合训练或考前模拟使用。建议按 120 分钟闭卷施测，批改后依据答案卷末的"考点—薄弱点诊断表"统计各题得分率： ○ 若第 1—4、11—12、16 题得分率低于 0.85，说明基础运算与概念尚未过关，应回归教材例题重做； ○ 若第 5、6、7、13 题失分集中，说明函数性质的理解停留在记忆层面，需加强图象与解析式的对应训练； ○ 若第 10、14、15 题失分，说明综合推理与代数变形能力薄弱，建议专项训练"多结论判断"与"降次求值"； ○ 若第 20、21、22 题失分，说明建模能力不足，应重点补"设未知数—列方程—检验取舍"的完整流程； ○ 若第 23、24 题仅得部分分，属正常现象，可引导学生按"问"拿分，先保证（1）（2）问全对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $