精品解析：甘肃天水市逸夫实验中学2026—2027学年度第一学期八年级期中数学试题

天水市逸夫实验中学2026—2027学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简含根式的选项，再判断各数是否为无理数． 【详解】解：∵ ，，均为有理数， ∴ B、D选项不符合题意． ∵ 是有理数， ∴ C选项不符合题意． ∵ 是无理数， ∴ A选项符合题意． 2. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 3. 25的算术平方根表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确算术平方根不带的表示形式及非负性，直接判断对应选项． 【详解】解：25的算术平方根表示为． 4. 如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 5. 下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（　　） A. （x+1）（x+1） B. （a+2b）（a﹣2b） C. （﹣a+b）（a﹣b） D. （﹣m﹣n）（m+n） 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是：右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、(x+1)(x+1)两项符号都同，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意； B、(a+2b)(a﹣2b)符合平方差公式的特点，能运用平方差公式，故本选项符合题意； C、(﹣a+b)(a﹣b)没有相同项，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意； D、(﹣m﹣n)(m+n)没有相同项，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有． 6. 小明同学做了四道题，情况如下：①；②；③；④．若每做对一道题得0.5分，则小明可得（ ） A. 0.5分 B. 1分 C. 1.5分 D. 2分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，单项式乘多项式的运算法则进行求解即可． 【详解】因为，，，， 所以小明做对了①③④，按照每做对一道题得0.5分，小明可得1.5分． 故选：C． 7. 下列语言叙述是命题的是（ ） A. 《给阿嬷的情书》是一部电影． B. 你喜欢吃天水麻辣烫吗？ C. 赶紧去学习！ D. 画一条端点为的射线． 【答案】A 【解析】 【分析】判断语句是否为命题的关键是看其是否对事情作出判断． 【详解】解：A选项对作品性质作出了判断，是命题． B、C、D均未对事情作出判断，不是命题． 8. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】 【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 9. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】标记格点，证明得到，利用平角定义可得答案． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴． 10. 观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 比较大小：_______2．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】解：， 在和中，， ， 判断的依据是． 故答案为：． 14. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 15. ，，是的三边，若，则的形状是________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用以及等腰三角形的判定；解题的关键是通过对等式进行因式分解，得出三角形两边的关系． 先对等式分组，前两项用平方差公式因式分解，后两项提取公因式，再整体提取公因式得到；结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可知，进而推出，由此判断三角形形状． 【详解】解：对左边进行因式分解， 得， 即， ∴ 因为，，是的三边，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”， 所以，即， 因此，要使成立，必须满足，即． 所以是等腰三角形， 故答案为：等腰． 16. 如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 三、计算或因式分解（共20分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 四、解答题（共76分） 19. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. 开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色，图①是小华制作的风筝，图②是风，筝骨架的示意图，其中． （1）求证：； （2）小华发现AD平分，你觉得她的发现正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. （1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【答案】（1）5cm；（2）面积，边长不是整数， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长； （2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数． 【详解】解：（1）边长(cm)； （2）大的正方形的面积； 边长，边长不是整数， ， ． 答：这个边长的值在4和5之间． 【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．解题的关键是掌握现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 22. 已知、均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为． （1）将整式化为最简形式； （2）求整式； （3）求的正确结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据整式乘法混合运算法则，进行计算即可； （2）根据，，求出整式B即可； （3）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 23. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【答案】 甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下： 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等 ∴乙同学方案不可行 ∴只有甲同学的方案可行． 【解析】 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】略 24. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及互余定义、直角三角形两锐角互余、垂直定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 25. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中：①；②；③；④，是完全平方式的有__________．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则的值等于__________（为常数） （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1）②④ （2） （3）有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征，逐个判断多项式是否符合． （2）先确定完全平方式的两个平方项，再推导中间项系数，需考虑正负两种情况． （3）用配方法将代数式变形为含完全平方式的形式，结合平方的非负性确定最值． 【小问1详解】 解：完全平方式的结构为． ①的常数项为负，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式． ②，符合完全平方式的结构，是完全平方式． ③的常数项为负，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式． ④，符合完全平方式的结构，是完全平方式． 【小问2详解】 解：∵，且该式是完全平方式， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 26. 综合探究 【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，求的度数． 【答案】（1） （2）解：，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； ∴ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即可得出结果； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ∴ ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市逸夫实验中学2026—2027学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 3. 25的算术平方根表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（　　） A. （x+1）（x+1） B. （a+2b）（a﹣2b） C. （﹣a+b）（a﹣b） D. （﹣m﹣n）（m+n） 6. 小明同学做了四道题，情况如下：①；②；③；④．若每做对一道题得0.5分，则小明可得（ ） A. 0.5分 B. 1分 C. 1.5分 D. 2分 7. 下列语言叙述是命题的是（ ） A. 《给阿嬷的情书》是一部电影． B. 你喜欢吃天水麻辣烫吗？ C. 赶紧去学习！ D. 画一条端点为的射线． 8. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A.   B.   C.   D.   9. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 10. 观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 比较大小：_______2．（填“”，“”或“”） 12. 已知，，则______． 13. 如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 14. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 15. ，，是的三边，若，则的形状是________三角形． 16. 如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、计算或因式分解（共20分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 四、解答题（共76分） 19. 先化简，再求值 ，其中． 20. 开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色，图①是小华制作的风筝，图②是风，筝骨架的示意图，其中． （1）求证：； （2）小华发现AD平分，你觉得她的发现正确吗？请说明理由． 21. （1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 22. 已知、均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为． （1）将整式化为最简形式； （2）求整式； （3）求的正确结果． 23. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 24. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 25. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中：①；②；③；④，是完全平方式的有__________．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则的值等于__________（为常数） （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 26. 综合探究 【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $