山东省实验中学2027届高三上学期第二次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2027届高三第二次诊断性考试 数学答案及评分标准2026.11 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 题号 2 3 4 5 6 8 答案 D A B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-2; 13（-1.1)； 14.33. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)【详解】(1)设等比数列{a,}的公比为4，由等比数列项的性质得 g2=g=4=48=8,解得g=2, 426 因此4，=42d”-2=6×2”-2=3×21(0m∈N) 3分 可得4=3×22=12，故b3=12. b+b=(b+d)+(6-4d)=2b+5d=27 设等差数列{b}的公差为d, b=b+2d=12 解得b=6,d=3, 因此b,=6+3(n-1)=3n+3(n∈N) 7分 ②)等比数列a}的前n项和3，-32-少=3×2-3；… 9分 2-1 数学试题参考答案第1页共6页 等差数列}的前n项和7=+b）_6+3+》-2+n.… 9 2 11分 2 2 2 故Rn=(3×2”-3)+ 7+9n=3×2+3n2+9n-3.… .9 2 13分 2 16.（15分)【详解】（1)因为c=2 bcos4,由正弦定理得2 Rsin C=2-2 Rsin Bcos A 即sinC=2 sin B.cos A,所以sin(A+B)-2 sin BcosA 化简得sindcos B eos Asin B=0,即Sin(A-B)=0… 4分 又因为0<A,B<元，于是A-B∈(-π，π) 所以A-B=0,所以cos(A-B)=1. 6分 BC CD (2)在△BCD利用正弦定理可得，sin(C+可sin0' 由(1)知BC=2CD,所以sin(C+θ)=2sin0,即sin Ccos+cosCsin0=2sin6, 于是tanB=smC 2-c0s令y=28x(0., 10分 因为sinx>0,2-cosx>0,所以J0, 则2y=sinx+ycos-=√厂+1sim(x+o),其中0<9<且ano=. 由m(x+)=”≤1，得5 V2+1 ， ……13分 当，及时，9=6，即smx+工， 3 (6 因为xe0D,所以名于是卡即P 3 气C三时，an8有最大值二，此时0二刀 3 3 故日的最大值为汇， 15分 6 17.(15分)【详解】(1)设事件A表示“第i道题甲得1分”（i=1,2..,6). 甲得1分包含两种互斥情况：甲抢到答题权且答对，或乙抢到答题权且答错. 数学试题参考答案第2页共6页 …… 3分 (2)设事件B,表示“第i道题乙得1分”(i=1,2,,6),则A与B,为对立事件， 于是P(B,)=1-P(4)=3 前3道题总分为3分， 事件印比乙多1分”对应前两局二人打平，第三局甲胜， 1=2x4x=8 -X- 7分 9327 (3)由比赛规则，X的可能取值为2,4,6. X=2：前2题甲连胜2分，或乙连胜2分，直接拉开2分差距结束比赛. x==[r4Pa-(+6- 9分 X=4：前2题两人得分相等，第3、4题一人连胜2分拉开差距结束比赛。 前2概得分相等的概率为C子；：，在此装醇上题分胜负的概率为三， 339 故P(X=4=4x3_20 11分 9981 X=6：前4题始终未拉开2分差距（前2题平、第3-4题也平)，比赛打满6题结束. 4.416 P(X=6)=二×= 9981 或P(X=6)=1-P(X=2)-Px=4)=1-5_20-16 0。。0。。。。0 13分 98181 因此X的分布列为： 2 4 6 16 P 81 81 5 201690+80+96266 E(X)=2×二+4× -+6× 15分 81 81 81 81 数学试题参考答案第3页共6页 18.(17分)【详解】(1)f(x)=(x2+2x)e1=x(x+2)e+ 设切点(t,e1),则切线斜率为k=f(t)=t(t+2)e1, 切线方程为y-te1=t(t+2)e1(x-t), 2分 切线过原点，代入切线方程，化简得t(t+1)e=0 因为e+1>0,所以1(t+1)=0,解得t=0或t=-1. 故所求切线方程为1'=0和x+y=0. 。。e0.0.000。。。88en。ee 4分 (2)8()的定义域为(-山+)，g(x)=k- x+1 当k≤0时，g'(x)<0在(=1，+c)恒成立， ∴g(x)在(-1，+∽)单调递减，故g(x)无极值。 ”。。。。 6分 当k>0时，由g()=k-1=0得x=12飞 x+1 当xe0 1-k 时，g'(x)<0,则g(x)单调递减； 时，g(x)>0,则g(x)单调递增， g(x)在x=1-处取得极小值1+1nk,g(x)无极大值. 9分 综上，当k≤0时，g(x)无极值； 当k>0时，g(x)有极小值1+lnk,无极大值. 10分 (3)若t是F(x)的零点，则必有 「f(t)=0∫f()≥0 g)≥0或g(0=0 .F(x)的零点必为f(x)或g(x)的零点， 数学试题参考答案第4页共6页 因为f(x)=xe+1有且仅有一个零点x=0, 所以∀x>-1且x≠0，f(x)>0. 。。。。◆…。。。。0小 11分 ①当k≤0时，由(2)知g(x)在(-1，+∞)单调递减，至多只有一个零点， 此时F(x)至多只有两个零点，不合题意，舍去； 12分 ②当>0时，由2)知z国在01） 单调，在(+)单调， 所以g()=8 1+Ink. D当1+k20即无2e时，8)至多只有-个零点x=1广， 此时F(x)至多只有两个零点，不合题意，舍去： 13分 ()当1+hk<0即0<k<e时，8k 1-k =1+lnk<0,g(0)=k>0, ylim g(x)=+o lim g(.r)=+oo Y- x→0∞ 由点有在性定理阳头0片.产 使得g(x)=g(62)=0. 「f0)=0「g(x)=0 g(x)=0 所以 g(0)>0’fx)>0’fx2)>0 .当0<k<二时，F(x)有三个零点0，x,x2,满足题意. 综上，实数k的取值范围为 17分 19.(17分)【详解】(1)a4=3×3=9,4张卡片总放法共4！=24种， 故全错位的概率为P=4=9=3 3分 4！248 数学试题参共答案第5页共6页 (2)考虑编号为n的卡片，它可放入除第n个盒子外的任意一个盒子，共n-1种选择. 不妨设它放入第k个盒子（k=1,2,…,n-1),此时分两类： ①若编号为飞的卡片恰好放入第n个盒子：剩余n-2张卡片构成n-2个元素的全错位 ，共42种放法； ②若编号为k的卡片不放入第n个盒子：可将第n个盒子视为第k张卡片的“新位置”， 剩余n-1张卡片构成n-1个元素的全错位，共a,-种放法， 由计数原理得：a=(1-)(a,-1+an-2)(n≥3)， 000t0。·90000.000.0.0.0.0。。。 7分 令6=号代入递推武得：m6,=(n-)0a-06+-26小， a=n-返+a,么-8=6：4， 9分 由聚莱法，结合6=0,6=分得：。，-41- ,1n≥2， n! 再由紧加法得：6，=上-1，散a.-n2 12分 k (3)当n=1时，42=1为奇数，结论成立； 13分 假设当n=k时，ak为奇数，则当n-k+1时，种2=(2k+1(1+). 由(2)递推得a2x1=2·(a42x+a2x-1)},因为2k为偶数，所以421为偶数； 结合归纳假设4为奇数，得a2+1+4:为奇数； 又2k+1为奇数，奇数乘奇数仍为奇数，所以4+2为奇数. 综上，对任意正整数n,n恒为奇数 17分 数学试题参考答案第6页共6页 机密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2027届高三第二次诊断性考试 数学试题2026.11 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某登山景区共有6条不同的登山路径，若游客从任意一条路径上山，从其余的路径下山，则不同的上下山方式共有 A．12种 B．20种 C．24种 D．30种 2．定义一种运算：．设集合，，则 A． B． C． D． 3．已知复数，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知单位向量，满足，则与的夹角为 A． B． C． D． 5．设函数（A，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和存在最大值，，，且当时，取得最大值．若使得成立的n的最大值为m，则 A．14 B．15 C．16 D．17 7．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，若，则 A．2027 B．2028 C．4054 D．4055 8．已知a，b，c均为正实数，，则的最小值为 A．2 B．2.5 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于回归分析，下列结论中正确的是 A．若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 B．残差图中，残差点比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄，表示模型拟合效果越好 C．若回归直线的斜率估计值为，且样本点的中心为，则回归直线方程为 D．以模型去拟合一组数据时，令，得到线性回归方程为，则，的值分别是和 10．如图所示，在边长为6的等边三角形中，，点P在以为直径的半圆上（含A，D两点），若，则 A． B． C．的取值范围是 D．的最大值为 11．设集合，，从A到B的函数：，其中，则 A．函数的值域为 B．是方程的解 C．曲线是轴对称图形 D．是函数的极小值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角为锐角，且，则________． 13．若函数在R上不单调，则实数a的取值范围为________． 14．已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数m的所有可能取值的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等比数列满足，，；等差数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．求数列的前n项和． 16．（15分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的值； （2）设边上的中点为D，记，求的最大值． 17．（15分） 甲、乙两人参加科普知识抢答赛，每道题两人抢到答题权的概率均为；抢到答题权者答对则自己得1分，答错则对方得1分．已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且各题答题结果相互独立．比赛规定：当其中一人得分领先另一人2分，或答满6道题时，比赛立即结束． （1）求答完第1道题后甲得1分的概率； （2）求答完前3道题后，甲的得分恰好比乙多1分的概率； （3）设比赛结束时两人的答题总个数为X，求X的分布列和数学期望． 18．（17分） 已知函数，函数． （1）求曲线过原点的切线方程； （2）讨论函数的极值； （3）定义表示p，q中的最小值．已知函数，若函数在上恰有三个零点，求实数k的取值范围． 19．（17分） 将编号为1，2，…，n的n张卡片随机放入编号为1，2，…，n的n个盒子中，每个盒子恰好放一张．若卡片编号与所在盒子的编号相同，则称该位置为匹配位；不存在匹配位的放法称为全错位放法，记n张卡片的全错位放法总数为，例如，． （1）当时，求，并求此时随机放置卡片恰好为全错位的概率； （2）求证：对任意整数，有，并求数列的通项公式； （3）证明：对任意正整数n，恒为奇数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $