精品解析：安徽合肥市第一中学2027届高三年级上学期11月阶段检测数学试卷

合肥一中2027届高三第一学期11月阶段检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 4. 已知数列是正项等比数列，且，则（ ） A. 64 B. 256 C. 512 D. 1024 5. 已知定义在上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，（），则（ ） A. B. C. D. （） 10. 已知集合，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，经过棱的中点作该正方体的截面，且，与棱和棱的交点分别为，截面将正方体分为两个多面体，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的正弦值为 B. 截面为五边形 C. 截面的面积为 D. 多面体内均不可放入体积为的球 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线与直线平行，则________． 13. 若，则___________． 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 17. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 19. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2027届高三第一学期11月阶段检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由交集的定义计算可得. 【详解】由，得，所以由交集的定义得. 故选：A. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得： ， 而  故. 3. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 4. 已知数列是正项等比数列，且，则（ ） A. 64 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，解得公比即可求得. 【详解】设数列的公比为，所以， 所以，由，得， 即，因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以. 5. 已知定义在上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 6. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】由抛物线，焦点坐标为， 由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设， 因为弦过抛物线焦点，所以设直线的方程为， 联立方程：，消去得：， 则， 且，故， 将中的换为，得， 所以可得， 当且仅当时，“”成立， 则的最小值为16. 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，（），则（ ） A. B. C. D. （） 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 10. 已知集合，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系列式判断A，应用数量积公式计算判断B，应用公共弦判断C，两圆联立计算判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下，设． 对于A项，两圆相交，有，即，A项错误； 对于B项，，， ，B项正确； 对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为， 根据点在该直线上，可得，C项正确； 对于D项，线段与线段互相平分，于是， 则两式相加得， 由C项及圆的方程得，即，D项正确． 11. 已知正方体的棱长为2，经过棱的中点作该正方体的截面，且，与棱和棱的交点分别为，截面将正方体分为两个多面体，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的正弦值为 B. 截面为五边形 C. 截面的面积为 D. 多面体内均不可放入体积为的球 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明分别为的中点，取中点，连接，，可求得直线与所成角的正切值为，判断A；分别取，，的中点，连接，利用空间向量可得截面为正六边形，判断B；求得截面面积,判断C；根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体，设多面体内能放入最大球的球心为，，利用空间向量求得最大球的半径，可判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 设， 所以， ， 因为，且， 所以， 得，故点为的中点；同理可得：点为的中点； 取中点，连接，则， 则直线与所成角即为直线与所成角． 在中，，，则， 所以， 即直线与所成角的正切值为，所以A选项正确； 分别取，，的中点，连接， 因为点为的中点，所以，所以， 又因为，所以， 又因为且，所以，所以；同理可得， 所以正六边形即为截面，所以B选项不正确； 又正方体的棱长为， 所以正六边形的边长为， 所以其面积为，所以C选项正确； 对于D选项，根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体， 不妨设多面体内能放入最大球的球心为，则， 球与截面相切于正方体的中心，且球也与以为顶点的三个面均相切， 利用对称性得：球心在直线上， 设球的半径为，设，又， 则，解得，，所以， 设体积为的球的半径为，由，得：， 由，知：多面体内不可放入体积为的球，所以D选项正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线与直线平行，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据与已知直线平行得到斜率相等，从而列出方程解出参数. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【详解】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 【答案】（1）在,上单调递减，在上单调递增; （2）当时，的零点个数为2；当时的零点个数为0； 当或时，的零点个数为1，理由如下： 由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【小问1详解】 由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; 【小问2详解】 略 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 【答案】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【小问1详解】 翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. 【小问2详解】 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 18. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 【答案】（1） （2） 7 （3） 由题意可知，可得 ， 因为，且. 所以 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式计算即可； （2）由题意可知，，利用等比数列的求和公式计算，进而可得出结果； （3），将转化为按单点概率分组的线性形式并化简，最后减去得到目标结论. 【小问1详解】 设事件为：“向区域中发射3个粒子，恰有2个落在中”. 则事件的概率为 【小问2详解】 由题意可知，. 则， ， 若，则，所以，解得：， 所以的最小值为7. 【小问3详解】 略 19. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 联立得， ，，， 所以， 因为在曲线C上，所以， ， 因为，所以； 设中点为E，要证，只需证，即证， 又由，以及（2）得， 所以， ， 即， ， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）先求出焦点坐标，再代入标准方程即可求出； （2）设及，，再写出直线和直线的方程并两式相乘，化简即可求出； （3）联立得到，再求出，设中点为E，进而求得，最后利用即可求出. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 由对称性不妨设，，所以． 【小问2详解】 设及，，又，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 两式相乘得，又因为点，在双曲线上， 所以，代入化简得，所以曲线C的方程为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $