精品解析：安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

合肥七中2025-2026学年度第一学期高三第二次质量检测 数学试卷 命题人：彭晓芹 毕春霞 王世朋 审题人：彭晓芹 毕春霞 王世朋 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符号题目要求的. 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 5. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 8. 设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 3或5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符号题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 10. 已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则， C. 若，则： D. ， 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 13. 关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______． 14. 已知函数，，的定义域均为，，且的图象关于点中心对称，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 16. 设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 17. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 19. 已知 （1）当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值； （2）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥七中2025-2026学年度第一学期高三第二次质量检测 数学试卷 命题人：彭晓芹 毕春霞 王世朋 审题人：彭晓芹 毕春霞 王世朋 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符号题目要求的. 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定的规定， 由命题，， 可得，. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误. 【详解】，当时，有，A选项错误； ，有，所以，B选项正确； 当，满足，，， 有，C选项错误； 满足，，，有，D选项错误. 故选：B. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解. 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得. 则. 故选：C. 4. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 5. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导得，从而有在上单调递减，，根据单调性解不等式即可． 【详解】解：令，则， ∵， ∴， ∴在上单调递减， ∵， ∴，解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用，考查利用单调性解不等式，本题的关键是构造函数，属于难题． 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求得、，结合差角正弦公式求，注意的范围，即可得. 【详解】因为且，则，所以， 又，所以，又， 所以，而 当时，， 因为，则，所以不符合，舍去； 当时，符合， 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； （3）常见的角的变换：， ， 等. 7. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可 【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，即，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，即， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 因为当时，函数在上单调递增， 所以当时，，函数在上单调递增，故B错误； 对于C：因为函数图象关于直线对称，所以， 又函数是偶函数，所以，即，， 所以，所以关于对称，故C正确； 对于D：， 又时，，所以，故D正确； 故选：B 8. 设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，分类讨论利用图象求解即可. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 因为，所以方程有两个不相等的实根， 设方程的两个实根为，则， 所以与异号，不妨设，则，， 当时，，所以， 所以， 所以由图可知，的图象与无交点，的图象与有3 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根， 当时，，所以，所以。 所以由图可知，的图象与有2个不同的交点，的图象与有1 个交点， 所以原方程有3个不同的根， 当时，，则由图可知，的图象与有1个的交点，的图象与有2个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根， 综上，原方程有3个不同的根. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符号题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D. 【详解】A，由终边上的点，知，对； B，由锐角，则也是锐角，错； C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则， 所以扇形面积为，对； D，由题设，则， 又，则，结合，可得， 所以，对. 故选：ACD 10. 已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则， C. 若，则： D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求导得，令，可解出的值，再令，可得的值；对于B：利用导数得到在上的单调性，再利用单调性定义可判断；对于C：含参讨论单调性，结合零点存在定理讨论的零点个数可判断；对于D：取，得，利用先证明：，再利用这个不等式放缩求和，可得到答案. 【详解】对于A：由，得，则，则，故A正确； 对于B：由，得，则在上恒成立， 则在上单调递增，因为，所以，则，故B正确； 对于C：由，得. 由，可得在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以当时，，当时，. 又在上单调递增，则当时，至多1个零点，则最多2个零点，故C不正确； 对于D：取，由，得在上恒成立， 则在上单调递增. 因为，所以当时，.取，则， 即，则，从而，故D正确. 故选：ABD 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由所给条件两边同除以，变形可得，构造函数，利用函数单调性可得判断B，代入可判断A，得出，利用函数单调性可得出判断C，由的单调性及即可求出的范围判断D. 【详解】因为， 所以，即，所以. 设，则， 所以函数在上单调递增，所以，即，即，故B正确； 因为，所以，故A错误； 因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故C错误； 因为，所以，易知函数在上单调递减， 所以，所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 13. 关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质把原方程转化为，再将方程转化为一元二次函数在有两个零点的问题，结合二次函数图象可得，求解即可. 【详解】由题意可得， 原方程可化为：， 即，令， 如要函数在有两个零点，则需：，解得，， 故答案为：. 14. 已知函数，，的定义域均为，，且的图象关于点中心对称，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用中心对称求出，推出关于轴对称，进而结合题意并利用赋值法求出是周期为的周期函数，再利用赋值法求出，最后求解即可. 【详解】因为的图象关于点中心对称， 所以，则， 令，而， 得到，即， 令，则，即， 可得，则， 即关于轴对称，可得， 由题意得，， 对于，可得， 对于，可得， 两式相加可得， 由已知得，则， 可得，两式相减得， 故，即， 则是周期为的周期函数， 对于，令，可得， 由已知得，，则，解得， 对于，令，可得， 由已知得，解得， 对于，令，可得，解得， 对于，令，可得，解得， 则， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得； （2）利用条件先求出和，再由展开求得和，最后由两角差的正弦公式求得的值，结合角的范围即得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 即，即， 由题意，，则， 故，， 因 ，则， 由， 因为锐角，故，则得. 16. 设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为.· 【解析】 【分析】（1）对函数，两次求导，结合新定义求解； （2）求导，得零点，再列表得到函数的单调性求解． 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以， 又因为函数的对称中心为， 所以， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 由，得或，· 当变化时，，的变化情况如下表所示： 1 2 0 0 2 因此，的极大值为，极小值为. 17. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解含有对数的方程，结合求参数值即可； （2）依题意将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，结合指对数函数、二次函数性质求其在给定区间上的值域，再由包含关系列不等式求解即得. 【小问1详解】 令，解得或， 解得，，则，所以； 【小问2详解】 当时，， 因，则，， 又函数在上单调递减，则， 由任意的，都存在，使得， 则在上的值域是在上值域的子集， 故，即. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）极大值极小值. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，进而得到函数的单调性； （2）由（1）知若要有两个极值点，这两个极值点一定为.解法一：由两个极值点都在区间内，得到条件，解不等式即得答案，再利用（1）求出极值；解法二：由，得，对分类讨论，可得答案，再利用（1）求出极值. 【小问1详解】 ， 当时，在上恒大于0，在上恒小于0，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒大于0，在上单调递增； 当时，在上恒大于0，在上恒小于0， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解法一：函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，则， 解得，则的取值范围. 的极大值，的极小值. 解法二：因为， ①当时，则解得； ②当时，在内不存在两个极值点，所以不符合； ③当时，，则无解. 则函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，的取值范围. 的极大值的极小值. 19. 已知 （1）当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值； （2）当时，求证：. 【答案】（1）或. （2）当时，， 先证，令， 在上，在上， 则是唯一的极小值点，，所以，故. 记，且， ， 在上单调递增，又， 在区间上，； 在区间上，. 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）先设这两个函数的切点分别为，，利用导数法求出用表示的两个函数的切线方程，又这两个切线是公切线，则对应项的系数相等，得到的方程组，求出的值，再代回用表示的切线方程，从而得到值. （2）将代入所求不等式得到，构造函数，求，再通过证明得到进行放缩，得到，从而得到在上单调递增，又，最后分在和两种情况得到证明. 【小问1详解】 当时，，则， 设的切线的切点为， 则在处的切线方程为：，即， 设的切线的切点为， 则在处的切线方程为：，即， 由题意，这两条切线是公切线，则这两条切线是同一条直线， ∴，即， ∴，即或， 当时，切线方程为，则； 当时， ，则. 综上可得：或. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $