精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

合肥八中2027届高三10月阶段检测 数学 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 10. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 14. 中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的4个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面4个球规格相同的5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 17. 已知函数． （1）当时，证明：在上存在唯一零点； （2）证明： 在上恒成立的充要条件是． 18. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． （1）求的方程； （2）若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． （1）当时，求； （2）若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2027届高三10月阶段检测 数学 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 4. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，当时，， 所以取最小值时，. 5. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 7. 已知是定义在上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对数运算，将转化为自变量在内的函数值即可求解. 【详解】因为的周期为4，所以， 又是定义在上的偶函数， 所以， 其中，即， 所以. 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的关系，求出三个角的范围，根据边的关系和正弦定理，用三角函数表示出边长，换元法构造函数，求出函数的最小值，判断结果. 【详解】因为，，所以，，且. 由正弦定理得，所以. 因为，所以，所以. 因为， ，， 所以 . 令，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以a的最小值为， 故选：A. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质求出​，再结合​求出公差，进而逐一分析选项. 【详解】设等差数列的公差为, 由，所以，故A正确； 由​，得，即， 又，所以，解得，故B错误； 由等差数列前项和公式得，故C错误； 对于，因为，所以​， 所以，故D正确. 10. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求出、后，利用勾股定理逆定理判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：由侧面是全等的直角三角形，且是公共的斜边， 则，则， 故，故为等腰三角形，故A正确； 对于选项B： 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以，同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为， 其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的四则运算求导赋值求出，再代入即可得解. 【详解】由题意可得， 所以，解得， 所以， 所以. 13. 袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 【答案】##0.3 【解析】 【详解】摸出的3个小球有三种情况：依次为红红红、蓝红蓝、红蓝蓝， 则概率为. 14. 中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的4个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面4个球规格相同的5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为【解析】 【小问1详解】 两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种， 其中，满足的情形有： 时，， 时，， 时，， 时，，共7种情况， 则 【小问2详解】 可能的取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 17. 已知函数． （1）当时，证明：在上存在唯一零点； （2）证明： 在上恒成立的充要条件是． 【答案】（1）当时，， ∵， ∴在R上单调递减， 又∵ ， ∴在R上有唯一零点 ． （2）必要性：因为 时， ， 所以，即，所以， 充分性：当时，， 令，则， ， ①当时，， 当且仅当时， ， 所以在上单调递增， 故，所以 ， ②当时，记，则， 因为，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在 上存在、，使，，且，， 所以当或时， ；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，而，，所以， 所以 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）先利用导数判断函数的单调性，再结合特殊点的函数值，根据零点存在定理推导零点的唯一性。 （2）先由时推出的范围，再分和两种情况，通过求导分析 单调性，证明时，，即充分性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． （1）求的方程； （2）若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：设，， 联立，消去得， 则，，则， 由（ⅰ）知，， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）利用上的点到的最大距离为，最短距离为，结合焦点坐标计算即可得； （2）（ⅰ）设，则可表示出直线与，从而可得，，再借助向量数量积公式计算即可得；（ⅱ）设，，联立直线与椭圆方程，消去可得与横坐标有关韦达定理，则可表示出，结合（ⅰ）中所得，，计算可得，即可得证. 【小问1详解】 上的点到的最大距离为，最短距离为，又，则， 则，解得，故， 故的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，则，又、， 则，， 分别令，可得，， 又，则，， 故； （ⅱ）略 19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． （1）当时，求； （2）若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】（1） （2） （i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 【解析】 【分析】（1）将函数化简，再根据正弦函数的零点求解； （2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【小问1详解】 当时，， 令，则，解得， 因为为的从小到大的第（）个零点，所以； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $