精品解析：北京市广渠门中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 本试卷共2页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 有两根长度分别为和的木棒，要钉成一个三角形，则第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设第三根木棒长为， 由三角形三边关系得，即， 选项A、B、C中的长度均不大于4，不符合要求， 选项D中满足，符合要求． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，运算正确，故选项符合题意． 4. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抓住因式分解结果为几个整式乘积的特征进行判断． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解； B、，等式右侧为和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，等式右侧为差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、是几个整式的乘积形式，是因式分解． 5. 如图，用尺规作图：“过点作”，则下列选项中没有用到的作图依据是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 全等三角形对应边相等 C. 边边边 D. 全等三角形对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】分析作图痕迹可知，该作法实质是利用构造全等三角形以复制角，进而利用平行线判定定理得出结论． 【详解】解：由作图痕迹可知，作图过程构造了 ，，， （依据：边边边，选项C使用）， （依据：全等三角形对应角相等，选项 D 使用），  与  处于内错角位置， （依据：内错角相等，两直线平行，选项 A 使用）， 作图过程中直接通过圆规截取保证边相等，未使用“全等三角形对应边相等”进行推导． 6. 如图，根据计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．结合正方形以及长方形的面积公式，分别用两种方法表示出大正方形的面积，即可得到结论． 【详解】解：从整体计算正方形的面积： 从局部计算正方形的面积： ∴ 故选：A． 7. 点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ， 故①正确． ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点N，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴． 故③错误． 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______． 【答案】16cm或14cm 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为4cm时，解答出即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为6cm时，等腰三角形的三边分别为6，6，4，符合三角形三边关系， 周长＝6+6+4＝16（cm）； ②当腰长为4时，等腰三角形的三边分别为4，4，6，符合三角形三边关系， 周长＝4+4+6＝14（cm）． 故答案为：16cm或14cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，注意本题要分两种情况解答． 10. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断底数是否为非零数，再依据零指数幂的运算法则计算． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于的数的次幂都等于， ∵， ∴， ∴． 11. 已知，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】将等式右侧的幂转化为以3为底数的幂，通过幂的乘方运算化简，再根据同底数幂相等则指数相等的规则求解n的值． 【详解】解：∵， ∴， 根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，可得， 已知，代入化简结果得， ∵同底数幂相等时，对应的指数相等， ∴． 12. 如图，与相交于点，．要使，则需添加的一个条件可以是_______________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】已知，对顶角，已有两组角对应相等，根据全等三角形判定方法，添加任意一组对应边相等即可． 【详解】解：已知， ∵与是对顶角， ∴， 此时具备了两组角对应相等 若添加（或或） 在和中 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 13. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若将多项式因式分解，得，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将因式分解得到的两个一次因式相乘展开，对比原多项式的对应项系数，建立关于的方程求解． 【详解】解：展开两个一次因式的乘积 ， ∵ 展开后的多项式与原多项式相等， ∴ 对应同次项的系数相等， 由一次项系数关系得：， 解得， 由常数项关系得：， 解得． ∴ 的值为 15. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先从确定密码规则是化简后按的指数依次拼接数字，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简得到，最后把指数 20、2、6 依次拼接得到密码 2026． 【详解】解：观察已知式子可知，括号内化简后，按的指数依次排列组成密码． 规律：结果依次是的指数、的指数、的指数拼接而成． 验证： ，符合该规律． 化简密码式子： 的指数为，的指数为，的指数为． 按顺序拼接，得到密码：． 16. 志愿服务站点有，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A B C D 已知每名志愿者一天至少要参加一个服务时段的服务，任意时刻志愿服务站点最多允许2名志愿者同时服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为__________小时，最长为__________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】先计算每名志愿者各服务时段的时长，最短累计时间需每人选择自身最短服务时段，同时保证任意时刻服务人数不超过2；最长累计时间需尽量保留所有服务时段，仅在人数超员的重叠时段去掉时长最短的部分，保证总损失最小． 【详解】解：首先计算各服务时段的时长： A的时段1：，时长， A的时段2：，时长， B的时段1：，时长， B的时段2：，时长， C的时段1：，时长 C的时段2：，时长， D的时段1：，时长， D的时段2：，时长， 计算最短累计时间： ∵ 要累计时间最短，需每人选择自身时长最短的服务时段 ∴ A选时段2（），B选时段2（），C选时段1（），D选时段1（）， 检查各时刻服务人数： ：仅D，1人，合规， ：D、C，2人，合规， ：仅D，1人，合规， ：仅A，1人，合规， ：仅B，1人，合规， 总最短时长为， 计算最长累计时间： 所有时段总时长为， 逐段检查重叠时段的人数： ：同时存在，共3人，超过2人限制， ∵ 需去掉时长最短的时段以最小化总损失， ∴ 去掉（），此时该时段剩余，2人，合规， ：同时存在，共3人，超过2人限制， ∵ 需去掉时长最短的时段以最小化总损失， ∴ 去掉（），此时该时段剩余，2人，合规， 其余时段人数均不超过2人，无需调整， 总最长时长为． 三、解答题（本题共68分，17至18题8分，19至23题5分，24题6分，25至27题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平方差公式，将看作公式里的第一项，看作公式里的第二项，展开后分别计算平方得到． （2）先利用积的乘方计算得到，再用同底数幂相乘法则计算得到，最后合并同类项求出结果． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】展开中括号内的乘方与乘法运算，合并同类项后完成整式除法化简，再代入给定的、值计算结果． 【详解】解： ， 当，时 原式． 20. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线的定义可得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 即 【解析】 【分析】因为，所以，又因为，，即可证明，所以，即． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，难度较小，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 22. 如图，四边形中，．平分，交于点． （1）用直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹； （2）作于点，若点恰是的中点，求证：平分； （3）在（2）的前提下，当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）所作图形如下： （2）证明：由题意可得如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵点恰是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）根据角平分线的性质定理可得，则有，然后根据角平分线的判定定理可进行求证； （3）由（2）可分别求证，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点，，的坐标分别为，，，． （1）__________°； （2）若要满足，则__________（填“>”，“<”或“=”），如果点恰好为整点，直接写出点的坐标（写出两个即可）． 【答案】（1） （2），点的坐标为，（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用格点构造，推出，进而即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，若要满足，则，利用格点构造线段的垂直平分线，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，选取格点D，E，构造和， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：若要满足，则， 如图，利用格点得到的中点，则， 又， 是的垂直平分线， ，，， ， 又为整点， 即为满足条件的点， 同理，直线上的整点均为满足条件的点， 结合图形可知，点的坐标可以为，． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放． （1）图2中的阴影部分为正方形，其边长等于__________； （2）观察图2，写出代数式，和的等量关系：_______________； （3）若，都是有理数，且，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）由等积法可进行求解； （3）根据（2）中的结论进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图2可知：阴影部分的边长为； 【小问2详解】 解：图2阴影部分的面积为，也可以根据正方形的面积公式得， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（2）中的结论可得：， ∵，， ∴， ∴． 25. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 2 1 （1）完成上表； （2）观察表格可以发现：若时，，而当时，__________，此时和的数量关系是__________，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，求代数式的表达式．（用含的代数式表示）： ②已知代数式参照代数式取值延后，则__________，__________． 【答案】（1）， （2），相等 ①代数式的表达式为； ②， 【解析】 【分析】（1）将代入，将代入，计算即可得出结果； （2）将代入，计算即可得出结果； ①由题意可得当时，，令，，代入计算即可得出结果； ②由题意可得，再将和利用完全平方公式进行部分因式分解，据此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：当时，，此时和的数量关系是相等，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①当时，， ∵代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2， ∴当时，， 令， ∴， ∴， ∴代数式的表达式为； ②∵代数式参照代数式取值延后， ∴， ∴，， ∴， ∴． 26. 在中，，，点，在直线上，且，过点作交直线于点，直线交直线于点，连结． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则__________（用含有的式子表示）； ②在线段上取一点，使得，连接，证明：； ③用等式表示线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，请你直接写出此时线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①； ②证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角的和差关系可直接进行求解； ②由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求证； ③由②可得，然后根据可得结论； （2）作B点关于的对称点，连接，由对称性可知，，，然后可得，则有，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴； ②略 ③由②中的图与结论可知：， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：；理由如下： 作B点关于的对称点，连接，如图， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，，，…，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，，则称为这个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则． 如图，正方形的边在轴上，交轴于点，已知为的中点，点的坐标为． （1）__________，__________； （2）点为轴上一动点，过点作直线轴，直线与直线，直线的交点记为，． ①当时，请你画出相应的示意图，并求出此时满足条件的的值； ②请直接写出的所有可能的取值． 【答案】（1）3，5 （2）①8；②5，6，8 【解析】 【分析】（1）先得出点，点的坐标，再根据的定义求解； （2）①利用待定系数法求出直线的解析式，进而表示出点的坐标，同理得出点的坐标，最后根据的定义求解； ②分以下几种情况：，，，，，，，分别画出示意图，再根据的定义求解． 【小问1详解】 解：正方形的边在轴上，交轴于点，为的中点，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ，； 【小问2详解】 解：① 由题意知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 同理可得， 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有5个不同的值，分别为：，，0，，4，纵坐标有3个不同的值，分别为：0，b，8， ； ②当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有5个不同的值，分别为：，，0，，4，纵坐标有3个不同的值，分别为：0，b，8， ； 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有3个不同的值，分别为：，0，4，纵坐标有2个不同的值，分别为：0，8， ； 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有5个不同的值，分别为：，，0，，4，纵坐标有3个不同的值，分别为：0，b，8， ； 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有3个不同的值，分别为：，0，4，纵坐标有3个不同的值，分别为：0，4，8， ； 当时，由①知，； 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有3个不同的值，分别为：，0，4，纵坐标有2个不同的值，分别为：0，8， ； 当时，如图： 此时，，，，，，，， 横坐标有5个不同的值，分别为：，，0，，4，纵坐标有3个不同的值，分别为：0，b，8， ； 综上可得，所有可能的取值为：5，6，8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 本试卷共2页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两根长度分别为和的木棒，要钉成一个三角形，则第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用尺规作图：“过点作”，则下列选项中没有用到的作图依据是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 全等三角形对应边相等 C. 边边边 D. 全等三角形对应角相等 6. 如图，根据计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 7. 点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______． 10. 计算__________． 11. 已知，则的值为__________． 12. 如图，与相交于点，．要使，则需添加的一个条件可以是_______________． 13. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 14. 若将多项式因式分解，得，则的值为__________． 15. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是__________． 16. 志愿服务站点有，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A B C D 已知每名志愿者一天至少要参加一个服务时段的服务，任意时刻志愿服务站点最多允许2名志愿者同时服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为__________小时，最长为__________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 三、解答题（本题共68分，17至18题8分，19至23题5分，24题6分，25至27题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值，其中，． 20. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 21. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 22. 如图，四边形中，．平分，交于点． （1）用直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹； （2）作于点，若点恰是的中点，求证：平分； （3）在（2）的前提下，当，时，直接写出线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点，，的坐标分别为，，，． （1）__________°； （2）若要满足，则__________（填“>”，“<”或“=”），如果点恰好为整点，直接写出点的坐标（写出两个即可）． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放． （1）图2中的阴影部分为正方形，其边长等于__________； （2）观察图2，写出代数式，和的等量关系：_______________； （3）若，都是有理数，且，，求的值． 25. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 2 1 （1）完成上表； （2）观察表格可以发现：若时，，而当时，__________，此时和的数量关系是__________，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，求代数式的表达式．（用含的代数式表示）： ②已知代数式参照代数式取值延后，则__________，__________． 26. 在中，，，点，在直线上，且，过点作交直线于点，直线交直线于点，连结． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则__________（用含有的式子表示）； ②在线段上取一点，使得，连接，证明：； ③用等式表示线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，请你直接写出此时线段，，之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，，，…，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，，则称为这个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则． 如图，正方形的边在轴上，交轴于点，已知为的中点，点的坐标为． （1）__________，__________； （2）点为轴上一动点，过点作直线轴，直线与直线，直线的交点记为，． ①当时，请你画出相应的示意图，并求出此时满足条件的的值； ②请直接写出的所有可能的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $