精品解析：北京市第十一中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年第一学期期中练习初二年级 数学学科试题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 2. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm, 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D. 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 6. 如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给图可得，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，即可得． 【详解】解：根据所给图可得，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量， 即可根据画一个完全一样的一个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定． 7. 如图，在中，，，是的角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质；由三角形外角的性质得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得 ， ， 故选：B． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】①以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形． 【详解】如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若有意义，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂有意义的条件，根据进行解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是熟知其运算法则． 根据单项式乘单项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若，，则＝_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，再证明垂直平分，得到，，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，， ， 点D是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 15. 已知的计算结果中不含x的一次项，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定代数式通过整式乘法展开、合并同类项，根据不含x的一次项时该项系数为0的条件列方程，求解a的值． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含x的一次项 ∴一次项的系数为0，即 解得． 16. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共68分：17题8分、18—20题5分、21—24题6分、25—27题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简乘方项，再按同底数幂乘法规则计算； （2）分别计算同底数幂乘法、积的乘方项，再合并同类项； （3）将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果； （4）按多项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项． 【小问1详解】 解：   【小问2详解】 解：   【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解：   18. 如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴． ∵是高，， ∴， ∴，． 19. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用“”证明，根据全等三角形的性质，即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：如下图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明结论． 【详解】证明略 21. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点； ③画射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 平分， _____________． ， _____________．（_____________）（填推理的依据）． ． （_____________）（填推理的依据）． 【答案】（1） （2）；；等边对等角；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）首先根据角平分线的定义易得，再根据“等边对等角”可得，进而可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ． ， ．（等边对等角） ． （内错角相等，两直线平行）． 22. 如图，已知．请用尺规作图（保留作图痕迹，标出相应字母，不写作法）： （1）在边上作一点D，使得； （2）在上作一点E，使得与关于直线对称； （3）在上作一点F，使得． 【答案】（1） 如图，点D即为所求作的点； （2） 如图，点E即为所求作的点． （3） 如图，点F即为所求作的点． 【解析】 【分析】考查尺规作图（作等线段、垂直平分线）、垂直平分线性质．解题关键是利用垂直平分线性质定位点，易错点为作垂直平分线时圆规半径不当或画弧失误． （1）以A为圆心、为半径画弧交于D，可得； （2）连接，作的垂直平分线交于E，利用垂直平分线实现与对称； （3）作的垂直平分线交于F，借助垂直平分线性质使即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 【答案】；； 若选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 若选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据定理及图形补全已知求证； 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：已知：如图，在中，，． 求证：． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小，请标出P点，并写出P点的坐标________． （3）若存在点D使得与全等（点B不与点D重合），直接写出点D的坐标． 【答案】（1） 解：，，， 关于y轴对称的点为，，， （2） 解：过点作关于轴的对称点，连接与轴交于点，如图所示， ． 故答案是． （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中得格点作图，结合关于坐标轴对称点的特征及全等三角形的判定作图是解题的关键． （1）分别作出三个点关于轴的对称点，连接即可； （2）先做出点关于轴的对称点，连接与轴交于点，即可得解； （3）在坐标系中找出点，使得，，或，或，即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，当，时，， ； 当，时，， ； 当，时，， ； 综上所述，点的坐标为或或． 25. 请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得________，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①_______，②_______． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①_______； ②_______． （3）任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 【答案】（1）； （2）①；② （3）竖式如图所示： ，商式为 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可； 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：①如图所示： ； ②如图所示： ； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴，即， ∴此时． 26. 【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 【答案】 （1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）3.4 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 27. 在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”． 在平面直角坐标系中， （1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________； （2）已知点． ①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由； ②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点的坐标是；②． 【解析】 【分析】（1）由“垂等点”的定义，通过三角形全等即可解决问题； （2）①由可得，，即可求出点的坐标； ②当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，可求出点的坐标，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由题意得：，， ， ， ，， ， ， ， 点是点和点的“垂等点”， 同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①点的坐标是，理由如下： 在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点， ，， ， ， ， ∴， ，， 点，，， 点的坐标是； ②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4， 当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2． 的取值范围是． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是理解“垂等点”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中练习初二年级 数学学科试题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是的角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若有意义，则的取值范围______． 10. 计算______． 11. 若，，则＝_____． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  13. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为__________． 14. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 15. 已知的计算结果中不含x的一次项，则_______． 16. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 三、解答题（共68分：17题8分、18—20题5分、21—24题6分、25—27题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数． 19. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 21. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点； ③画射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 平分， _____________． ， _____________．（_____________）（填推理的依据）． ． （_____________）（填推理的依据）． 22. 如图，已知．请用尺规作图（保留作图痕迹，标出相应字母，不写作法）： （1）在边上作一点D，使得； （2）在上作一点E，使得与关于直线对称； （3）在上作一点F，使得． 23. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小，请标出P点，并写出P点的坐标________． （3）若存在点D使得与全等（点B不与点D重合），直接写出点D的坐标． 25. 请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得________，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①_______，②_______． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①_______； ②_______． （3）任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 26. 【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 27. 在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”． 在平面直角坐标系中， （1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________； （2）已知点． ①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由； ②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $