21.3 二次函数与一元二次方程 分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册

21.3 二次函数与一元二次方程课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—4、7、11—13 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—6、11—16 题，第 17—22 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据表中二次函数 （）的 与 的几组对应值，可以判断关于 的方程 （）的其中一个解 的取值范围是（　　） 6.17 6.18 6.19 6.20 A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 与点 不重合），则（　　） A． B． C．，且 D．，且 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则代数式 的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与 轴没有交点 D．抛物线与 轴的交点坐标为 5．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（　　） A． B． C． 或 D． 6．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线 （）过点 ，当 时，自变量 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 7．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线 的顶点在 轴上，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 8．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴正半轴的交点为 ，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．方程 有且只有一个实数根 D．抛物线 的图象的最低点坐标为 9．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 ， 两点，在 的抛物线上有一点 ，其纵坐标为 ，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 10．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数 （，， 是常数，）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表： 且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论： ① ；② 和 是关于 的方程 的两个根；③ ． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数 （ 是常数）的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）函数 与 的图象如图所示，则不等式 的解集是＿＿＿＿＿＿． 13．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若抛物线 与 轴只有一个交点，且过点 ，． （1）该抛物线的对称轴是直线 ______（用含 的代数式表示）； （2） 的值为______． 14．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 15．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ． （1）若 ，则 ______； （2）若 ，，则 的值为______． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知 ， 是抛物线 上的两个不同点， 为坐标原点． （1）若 ， 两点都在直线 上，则线段 的长为______； （2）若抛物线关于 轴对称，直线 的解析式为 ，则 的值为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 ． （1）通过配方法求该函数图象的对称轴、顶点坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 的图象的顶点是 ，且经过点 ． （1）求该二次函数的解析式； （2）当 时，请直接写出自变量 的取值范围． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 ． （1）求证：无论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点； （2）若直线 经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数 （，， 均为常数）过点 ． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数 的最大值为 ，求该二次函数图象与 轴的交点坐标． 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 的图象如图所示， （1）求其函数解析式； （2）根据图象，直接写出方程 的解和不等式 的解集． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 （，， 为常数且 ）． （1）当 时， ①若该函数图象的对称轴为直线 ，且图象经过点 ，求函数的最小值； ②若该函数图象与 轴只有一个交点，求证：； （2）已知该函数图象经过 ，（）．若 ，且抛物线的对称轴在直线 ， 之间（不包含这两条直线），求 的取值范围． 23．（7 分）（2026·安徽·中考真题）已知抛物线 （）． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点 ，（）都在抛物线上． （ⅰ）求 的值； （ⅱ）设 为正整数，线段 上横坐标为整数的点的个数为 ，请比较 与 的大小，并说明理由． 24．（7 分）（2026·安徽安庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），点 在此抛物线上，且横坐标为 ． （1）求抛物线的顶点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，求 的取值范围； （3）当 时，若抛物线在点 和点 之间的部分（包含 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是 ，求 的值； （4）连接 ，以 为对角线构造矩形 ，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时， 的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3 二次函数与一元二次方程课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—4、7、11—13 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—6、11—16 题，第 17—22 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据表中二次函数 （）的 与 的几组对应值，可以判断关于 的方程 （）的其中一个解 的取值范围是（　　） 6.17 6.18 6.19 6.20 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由表格可知，当 时 ，当 时 ，故当 时 可在 与 之间取值，所以方程 的一个解 的取值范围是 ． 2．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 与点 不重合），则（　　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】B 【解析】当 时得方程 ．∵抛物线与 轴有两个不重合的交点，∴该方程有两个不相等的实数根，∴，解得 ． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则代数式 的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【解析】把 代入 ，得 ，∴，∴． 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与 轴没有交点 D．抛物线与 轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】由 得 ，∴抛物线开口向下，A 错误；顶点坐标为 ，B 错误；抛物线开口向下，最高点的纵坐标为 ，图象全部在 轴下方，与 轴没有交点，C 正确；当 时 ，与 轴的交点坐标为 ，D 错误． 5．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解析】由图可知，当 或 时，抛物线 位于直线 的下方，因此不等式 的解集是 或 ． 6．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线 （）过点 ，当 时，自变量 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】抛物线 的对称轴为直线 ，由过点 及对称性可得与 轴的另一个交点为 ．∵，∴抛物线开口向上，∴当 或 时，图象在 轴上方，即 ． 7．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线 的顶点在 轴上，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】∵抛物线的顶点在 轴上，∴抛物线与 轴仅有一个交点，∴，即 ，解得 或 ． 8．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴正半轴的交点为 ，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．方程 有且只有一个实数根 D．抛物线 的图象的最低点坐标为 【答案】D 【解析】A、由图知抛物线开口向上，故 ；由对称轴 得 ；图象与 轴交于负半轴，故 ．所以 ，A 错误．B、由对称性可得抛物线与 轴的另一个交点为 ，代入得 ，又 ，故 ，所以 ，B 错误．C、由 得 ，方程 的判别式 ，故有两个不相等的实数根，C 错误．D、抛物线开口向上，最低点即为顶点，其横坐标为 ；当 时 ，故最低点坐标为 ，D 正确． 9．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 ， 两点，在 的抛物线上有一点 ，其纵坐标为 ，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【解析】∵抛物线与 轴交于 ，，∴对称轴为直线 ，∴，解得 ，∴．∵抛物线开口向下，且 包含顶点横坐标 ，∴当 时 取得最大值 ；当 时 ，当 时 ，故最小值为 ．由 得 且 ，∴． 10．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数 （，， 是常数，）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表： 且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论： ① ；② 和 是关于 的方程 的两个根；③ ． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由表格可知，当 和 时 ，∴抛物线的对称轴为直线 ，且 ；由对称轴公式得 ，∴．∵当 时 ，∴，将 ， 代入得 ，解得 ．①∵，，，∴，①正确；②∵当 时 ，且对称轴为 ，∴点 关于对称轴的对称点为 ，即 时 ，∴ 和 是方程 的两个根，②正确；③当 时 ，当 时 ，∴，∵，∴，即 ，③错误．综上，正确的结论有 个． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数 （ 是常数）的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】∵二次函数的图象与 轴有两个不同的交点，∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得 ． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）函数 与 的图象如图所示，则不等式 的解集是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 或 【解析】∵，∴，即 ．由图象可知，抛物线在直线 上方时 或 ，∴不等式 的解集是 或 ． 13．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若抛物线 与 轴只有一个交点，且过点 ，． （1）该抛物线的对称轴是直线 ______（用含 的代数式表示）； （2） 的值为______． 【答案】； 【解析】（1）由题意得，二次函数 的对称轴是直线 ．（2）∵抛物线过点 、，∴对称轴是直线 ；又抛物线与 轴只有一个交点，∴顶点为 ，∴设抛物线解析式为 ，把 代入得 ． 14．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】∵，二次项系数为 ，∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．∵，∴当 时 取得最大值 ；当 时 ，当 时 ，∵，∴当 时 的最小值为 ，∴． 15．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ． （1）若 ，则 ______； （2）若 ，，则 的值为______． 【答案】； 【解析】（1）∵， 是方程 的两根，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，，∴，∴． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知 ， 是抛物线 上的两个不同点， 为坐标原点． （1）若 ， 两点都在直线 上，则线段 的长为______； （2）若抛物线关于 轴对称，直线 的解析式为 ，则 的值为______． 【答案】； 【解析】（1）∵， 同时在抛物线 和直线 上，∴，整理得 ，解得 ，．∵， 的纵坐标相同，∴．（2）∵抛物线关于 轴对称，∴，即 ，∴抛物线的解析式为 ．∵， 是直线 与抛物线的交点，∴，整理得 ，由根与系数的关系得 ，．∵， 在直线 上，∴，．∵，∴，∴． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 ． （1）通过配方法求该函数图象的对称轴、顶点坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围． 【答案】(1) 对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；(2) 图象见解析；(3) ． 【解析】（1）∵，∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． （2）列表： 取 ，，，，，， 时，对应的 值为 ，，，，，，；描点、连线，图象如图． （3）由图象可知，当 时，． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 的图象的顶点是 ，且经过点 ． （1）求该二次函数的解析式； （2）当 时，请直接写出自变量 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】（1）设二次函数的顶点式为 ，将点 代入得 ，解得 ，∴，∴二次函数的解析式是 ． （2）令 ，解得 ，，∴图象与 轴的交点为 和 ．∵，∴图象开口向下，∴当 时 ． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 ． （1）求证：无论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点； （2）若直线 经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式． 【答案】(1) 证明见解析；(2) ． 【解析】（1）证明：令 ，得方程 ，∴，∴无论 为何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，∴此抛物线与 轴总有两个不同的交点． （2）∵，∴顶点坐标为 ．∵，∴顶点即为抛物线的最低点，∵直线 经过该点，∴，解得 ，∴抛物线的解析式为 ． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数 （，， 均为常数）过点 ． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数 的最大值为 ，求该二次函数图象与 轴的交点坐标． 【答案】(1) 直线 ；(2) ． 【解析】（1）将点 代入 ，得 ，整理得 ，即 ，∴对称轴为直线 ． （2）将 代入得 ．∵，∴函数有最大值，∵最大值为 ，∴该二次函数图象的顶点坐标为 ，将其代入得 ，解得 ，∴二次函数的解析式为 ．当 时 ，∴该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ． 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 的图象如图所示， （1）求其函数解析式； （2）根据图象，直接写出方程 的解和不等式 的解集． 【答案】(1) ；(2) ，；． 【解析】（1）由图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，设抛物线的顶点式为 ，将 代入得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ，化为一般式得 ． （2）∵抛物线的对称轴为 ，与直线 的一个交点为 ，由对称性可得另一个交点为 ，∴方程 的解为 ，；由图象可知，当 时，抛物线的图象位于直线 的上方，∴不等式 的解集是 ． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 （，， 为常数且 ）． （1）当 时， ①若该函数图象的对称轴为直线 ，且图象经过点 ，求函数的最小值； ②若该函数图象与 轴只有一个交点，求证：； （2）已知该函数图象经过 ，（）．若 ，且抛物线的对称轴在直线 ， 之间（不包含这两条直线），求 的取值范围． 【答案】(1) ① 函数的最小值为 ；② 证明见解析；(2) ． 【解析】（1）①∵二次函数 的 ，对称轴 ，∴，∴，∴，∵图象过点 ，∴，解得 ，∴．∵，∴当 时，函数取得最小值 ． ②证明：当 时，二次函数为 ．∵函数图象与 轴只有一个交点，∴，即 ，∴．∵，∴，即 ． （2）∵图象经过 ，，∴，，∴， 是方程 的两个不相等的实数根，∴．∵，∴，∴．∵抛物线的对称轴 在直线 与 之间，∴，解得 ． 23．（7 分）（2026·安徽·中考真题）已知抛物线 （）． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点 ，（）都在抛物线上． （ⅰ）求 的值； （ⅱ）设 为正整数，线段 上横坐标为整数的点的个数为 ，请比较 与 的大小，并说明理由． 【答案】(1) ；(2)（ⅰ）；（ⅱ）当 时 ，当 时 ． 【解析】（1）令 ，得 或 ，∴抛物线与 轴的两个交点为 ，，∴抛物线的对称轴为直线 ．把 代入得 ，即抛物线顶点的纵坐标为 ． （2）（ⅰ）令 ，得 ，即 ．∵，∴，∴． （ⅱ）由（ⅰ）得 ．∵，线段 上横坐标为整数的点必有 ．令 ，解得 ，也就是说，当 时 恒成立，故只需讨论 的情形： 当 时，，，整数点只有 ，∴，，∴； 当 时，，，整数点有 ，，，∴，，∴； 当 时，，，整数点有 ，∴，，∴； 当 时，，，整数点有 ，∴，，∴； 当 时，，，整数点有 ，∴，，∴； 综上所述，当 时 ；当 时 ． 24．（7 分）（2026·安徽安庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），点 在此抛物线上，且横坐标为 ． （1）求抛物线的顶点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，求 的取值范围； （3）当 时，若抛物线在点 和点 之间的部分（包含 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是 ，求 的值； （4）连接 ，以 为对角线构造矩形 ，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时， 的取值范围是______． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 ；(4) 且 ． 【解析】（1）∵，∴抛物线的顶点 的坐标为 ． （2）∵，∴当 时 ，解得 ，，∴，．∵点 在 轴下方的抛物线上，横坐标为 ，∴． （3）当 时，最高点的纵坐标为 ，最低点的纵坐标为 ，∴，解得 ；当 时，最高点的纵坐标为 ，最低点的纵坐标为 ，∴，即 ，解得 ，（舍去）．综上所述， 的值为 或 ． （4）当 时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标 随 的增大而减小，符合题意；当 时，同样符合题意；当 时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标 随 的增大而增大，不符合题意．又∵ 时点 与点 、 重合，不能构成矩形，∴ 的取值范围是 且 ． 学科网（北京）股份有限公司 $