21.3 二次函数与一元二次方程课时作业 2026-2027学年沪科版数学 九年级上册

沪科版数学 九年级上册 · 第21章 二次函数与反比例函数

21.3 二次函数与一元二次方程  课时作业

班级：____________    姓名：____________    学号：________    用时：________

第一部分  学习目标

1．理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。

2．会用判别式 b²－4ac 判断抛物线与x轴交点的个数。

3．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

4．能根据图象确定函数值大于0、小于0时自变量的取值范围；会求抛物线与直线的交点坐标。

第二部分  知识点梳理

知识点一：抛物线与x轴的交点

二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的实数根。

求抛物线与x轴的交点：令y＝0，解方程 ax²＋bx＋c＝0；求抛物线与y轴的交点：令x＝0，得交点(0，c)。

知识点二：交点个数与判别式

 

若抛物线与x轴有两个交点(x₁，0)，(x₂，0)，则两交点间的距离为|x₁－x₂|，对称轴为直线 x＝。此时二次函数也可写成交点式 y＝a(x－x₁)(x－x₂)。

知识点三：用图象法求一元二次方程的近似根

步骤：（1）画出二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象；（2）找出图象与x轴交点的大致位置，确定根所在的范围；（3）在该范围内取值列表计算，函数值由负变正（或由正变负）的两个相邻自变量之间就有一个根，逐步缩小范围得到近似值。

知识点四：由图象确定函数值的正负

设抛物线 y＝ax²＋bx＋c（a＞0）与x轴交于(x₁，0)，(x₂，0)（x₁＜x₂），则：

当 x＜x₁ 或 x＞x₂ 时，y＞0（图象在x轴上方）；当 x₁＜x＜x₂ 时，y＜0（图象在x轴下方）。a＜0 时情况相反。

口诀：“上方y正，下方y负”，看图象在x轴的哪一侧。

知识点五：抛物线与直线的交点

求抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与直线 y＝kx＋m 的交点，就是解由两个表达式组成的方程组，即解方程 ax²＋bx＋c＝kx＋m。该方程的判别式决定交点个数。

易错警示

⚠ 易错点1：当二次项系数含参数时，要注意“二次函数”的前提 a≠0。例如“抛物线 y＝kx²－2x－1 与x轴有两个交点”，除了Δ＞0外还需 k≠0。

⚠ 易错点2：“与x轴有交点”包括一个交点和两个交点两种情况，对应 Δ≥0，而不是 Δ＞0。

⚠ 易错点3：由图象写取值范围时，要看清是“＞0”还是“≥0”，端点是否包含。

第三部分  典型例题精讲

例1　求交点坐标

求抛物线 y＝x²－2x－8 与x轴、y轴的交点坐标。

【分析】令y＝0求与x轴交点，令x＝0求与y轴交点。

【解答】

令y＝0，得 x²－2x－8＝0，即(x－4)(x＋2)＝0，解得 x₁＝4，x₂＝－2，所以与x轴的交点为(4，0)，(－2，0)。

令x＝0，得y＝－8，所以与y轴的交点为(0，－8)。

例2　由交点个数求参数

已知抛物线 y＝x²－4x＋m 与x轴只有一个公共点，求m的值及这个公共点的坐标。

【分析】只有一个公共点 ⇔ b²－4ac＝0。

【解答】

由题意，b²－4ac＝(－4)²－4m＝0，解得 m＝4。

此时 y＝x²－4x＋4＝(x－2)²，公共点坐标为(2，0)。

例3　图象法求近似根

利用二次函数的图象求方程 x²－2x－1＝0 的近似根（精确到0.1）。

【分析】先由图象确定根的大致范围，再列表逼近。

【解答】

画出 y＝x²－2x－1 的图象（如图），它与x轴的交点一个在－1与0之间，另一个在2与3之间。

 

由表可知，当x由－0.5变到－0.4时，y由正变负，且x＝－0.4时y更接近0，所以一个根约为－0.4；同理另一个根约为2.4。

所以方程的近似根为 x₁≈－0.4，x₂≈2.4。

【点评】用公式法可求得精确根为 1±，与近似根一致。

例4　由图象确定取值范围

如图是二次函数 y＝－x²＋2x＋3 的图象，根据图象回答：当x取何值时，y＞0？y＜0？y＝0？