21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数21.3，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，覆盖从概念理解到实际建模的知识路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（交点坐标、对称轴）|单选1求与x轴交点、填空11求对称轴，夯实概念理解| |中档|综合运算（平移、性质应用）|单选3平移后交点问题、填空13函数不等式解集，强化推理能力| |提高|实际应用（建模与综合）|解答22机器人运动轨迹建模、23函数与几何综合题，发展应用意识|

第21章二次函数（21.3） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 3．将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线恰好与轴仅有一个交点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 4．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 5．如图表，已知二次函数的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（　　） x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．方程有两个相等实数根 C．当时， D．抛物线与y轴交于负半轴 6．若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则b满足的条件是（    ） A． B． C． D． 7．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 9．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 10．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 11．二次函数的图象的对称轴为_______________． 12．若抛物线与轴无交点，则的取值范围是________． 13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 三、解答题 15．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 16．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 17．已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． (3)当时，y的取值范围为_______． 18．如果抛物线与x轴有两个不同的公共点． (1)求k的取值范围； (2)如果k的值为2，当时，求函数的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 20．已知抛物线经过点，． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)当时，求x的取值范围． 21．已知二次函数（a为常数且）． (1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式； (2)若该函数图象上有两点，，其中，若，，求证：． 22．马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 23．如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数的图像交于A，C两点． (1)求b的值； (2)求点C坐标并求出的面积； (3)根据图像，直接写出当时x的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第21章二次函数21.3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C B B A D C 1．A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 2．D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 3．C 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，再由平移后的抛物线恰好与轴仅有一个交点，可得平移后的抛物线的顶点在x轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线恰好与轴仅有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故选：C 4．D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向以及与y轴的交点可以对A进行判断；观察图象，根据对称轴的位置，可对B C D进行判断． 【详解】解：A、抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 故A正确，本选项不符合题意； B、观察图象，当时，y随x的增大而增大．故B正确，本选项不符合题意； C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意； D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，充分利用二次函数图象的对称性得出是解题关键． 结合图表可以得出当或2时，，可以求出此函数的对称轴是直线，顶点坐标为，借助两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质． 【详解】解：∵由图表可以得出当或2时，， ∴此函数的对称轴是直线，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为：， 再将点代入得：， 解得：， ∴， ∵ ∴抛物线开口向下，故A错误； ∵顶点坐标为， ∴抛物线与x轴有两个交点 ∴方程有两个不相等实数根，故B错误； ∵当时，，故C正确； ∵抛物线经过点 ∴与y轴交点坐标为，与y轴交于正半轴，故D错误； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，解题的关键是：熟练掌握二次函数根的判别式． 要想求出图象与的交点，需要令时，即一元二次方程有两个不相等的解，即可解决此题． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：， 在四个选项中只有，B符合条件， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 8．A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 9．D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 10．C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 11．2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 12． 【分析】本题考查由抛物线与轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 抛物线与轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴无交点， 一元二次方程无实数根， 则 解不等式得， 故答案为：． 13． 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 14．或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 15．(1) (2) 证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）略 16．点A的坐标为，点B的坐标为． 【分析】本题考查求二次函数图象与x轴的交点，令，解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则，解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 17．(1)画出函数图象，如图： (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （2）解：由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据二次函数的增减性求出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）抛物线与x轴有两个不同的公共点， ∴， 解得， 即k的取值范围是； （2）∵k的值为2， ∴， ∴该函数顶点坐标为， ∵， ∴当时取得最大值3，当时取得最小值， 即当时，函数的取值范围是． 19．(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数解析式的确定，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可； 【详解】（1）解：把点和点坐标代入得： 根据题意得， 解得． ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得，， 由二次函数图象可得， ∴当或时，； 21．(1) (2) 证明：∵，是上有两点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由题意得，，则可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入中得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， （2）略 22．(1)； (2)不会； (3)． 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 23．(1) (2)；6 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可； （2）联立两函数解析式求出点C坐标，再根据求出对应的面积即可； （3）利用函数图像找到二次函数图象在一次函数图像上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， 把点A的坐标代入中得， 解得； （2）解：由（1）得，，， ∴； 联立， 解得或， ∴， ∴； （3）解：由函数图像可得，当时，x的取值范围为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $