第4章 平面直角坐标系 单元复习讲义2026—2027学年苏科版数学八年级上册

第4章 平面直角坐标系 思维导图 4.1 点的位置与坐标表示 1. 平面直角坐标系的基本概念 · 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 · 水平数轴称为x轴（横轴），向右为正方向； · 竖直数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向； · 两轴交点为原点（O），坐标为(0,0)。 · 坐标平面的划分：x轴和y轴将平面分为四个象限，象限内点的坐标符号特征如下： | 第一象限 | (+,+) | 横、纵坐标均为正 | | 第二象限 | (-,+) | 横坐标负，纵坐标正 | | 第三象限 | (-,-) | 横、纵坐标均为负 | | 第四象限 | (+,-) | 横坐标正，纵坐标负 | · 坐标轴上的点： · x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为(x,0)； · y轴上的点：横坐标为0，坐标形式为(0,y)； · 坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点与坐标的对应关系 · 一一对应：平面内任意一点，都有唯一的一对有序实数对（即坐标）与之对应；反之，任意一对有序实数对，都对应平面内唯一的一个点。 · 坐标的确定： 已知点P，过P向x轴作垂线，垂足对应的数为横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数为纵坐标，坐标记为P(x,y)（横坐标在前，纵坐标在后）。 3. 点的坐标的几何意义 · 点P(x,y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x| · 例：点(3,-4)到x轴距离为|-4|=4，到y轴距离为|3|=3。 4.2 图形变换与坐标变化 1. 对称变换与坐标变化 对称类型 坐标变化规律（原坐标(x,y)） 举例（原点点(2,3)） 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标取相反数 对称点为(2,-3) 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标取相反数 对称点为(-2,3) 关于原点对称 横、纵坐标均取相反数 对称点为(-2,-3) 2. 平移变换与坐标变化 · 左右平移（沿x轴方向）： · 向右平移a（a>0）个单位：横坐标加a，纵坐标不变，即(x+a,y)； · 向左平移a（a>0）个单位：横坐标减a，纵坐标不变，即(x-a,y)。 · 上下平移（沿y轴方向）： · 向上平移b（b>0）个单位：纵坐标加b，横坐标不变，即(x,y+b)； · 向下平移b（b>0）个单位：纵坐标减b，横坐标不变，即(x,y-b)。 · 例：点(1,2)先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，最终坐标为(1+3,2-5)=(4,-3)。 3. 图形变换的本质 · 图形的平移、对称变换，本质是图形上所有点的坐标按相同规律变化；反之，根据坐标变化规律，可判断图形的变换方式。 · 例：若一个三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，则该三角形向左平移2个单位。 核心要点总结 1. 平面直角坐标系的核心是有序数对与点的一一对应，需牢记象限及坐标轴上的坐标符号特征； 2. 对称、平移变换的坐标规律是重点，可结合“关于谁对称谁不变，另一个变号”“右加左减、上加下减”的口诀记忆； 3. 图形变换与坐标变化的关系是“整体坐标同步变化”，可通过点的坐标变化推导图形的运动方式。 【类型一】判断点所在的象限 1．点在（     ） A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点在第三象限，那么点在第_____象限，点在第_____象限，点在第______象限． 【类型二】写出坐标系中点的坐标 1．如图，若无人机某次投送的中心位置在图中阴影部分内，则中心位置的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，，则点A的坐标是（     ）． A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点A的坐标为_______． 【类型三】点在坐标系中的平移 1．将点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 【类型四】线段在坐标系中的平移 1．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 3．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是_____． 【类型五】三角形在坐标系中的平移 1．如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 3．三角形在平移时，点经过平移后对应点为，而此时x轴上的点A经过平移，其对应点恰好在y轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【类型六】坐标系中的轴对称 1．点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，对角线，交于点，已知，，将长方形沿轴翻折（即关于轴对称），则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 【类型七】有序数对表示位置与路线 1．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 2．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 3．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【类型一】已知点所在象限求参 1．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 2．点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为____________． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在一、三象限的角平分线上，求点的坐标； (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【类型二】求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，若点在轴上，且距离原点个单位长度，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，第四象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则______． 3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点到轴的距离是，求的值； (3)若点在第一、三象限的角平分线上，求点的坐标． 【类型三】与坐标轴平行求解 1．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，已知线段与轴平行，且，若点A的坐标为，则点的坐标是__________． 3．已知点，求下列情形下点的坐标． (1)已知点且线段与轴平行； (2)点到轴的距离为． 【类型四】中点坐标公式 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 3．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 【类型五】坐标系中的作图 1．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作图：画出关于轴对称的． (2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________． (3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得三角形，点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 【类型六】建立平面直角坐标系求解 1．为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置用坐标可以表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中． i）表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ii）为了尽可能保护古树，管理部门在以古树B，C，E所成的三角形内种植绿植，那么种植的面积是多少？ 2．张明同学在做家庭暑期旅游攻略时，绘制了临夏州六个旅游景点的示意图． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得东公馆、红园的位置分别表示为，． (2)根据（）中建立的平面直角坐标系，写出松鸣岩和炳灵寺石窟的坐标． (3)已知刘家峡水库坐标为，和政古动物化石博物馆的坐标为，请在所建的平面直角坐标系中标出，的位置． 3．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m． 【类型一】坐标系中的将军饮马 1．如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，点D为边的中点，点P为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，线段在轴上运动（点在点的上方），且，连接、，则的最小值是________． 【类型二】坐标系中的三点共线 1．已知点、，点在轴上，则最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【类型三】坐标系中的规律 1．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B．C．D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【类型四】坐标系中的全等三角形 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 2．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【类型五】坐标系中的等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为、、，且，点P从B出发，沿射线匀速运动， (1)A、C两点的坐标分别是________，________； (2)是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为 (1)作出关于x轴对称的图形（点A与点、点B与点是对应点），并直接写出的坐标． (2)点D为第一象限内的点，且点D的横坐标、纵坐标均为整数，连接，是以为腰的等腰三角形，直接写出D的坐标． 3．如图①在平面直角坐标系中，O为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点，如图②．    (1)点的坐标为________； (2)若点是轴上一点，的面积等于，请求出点的坐标； (3)若点为轴上一点，为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【类型六】坐标系中的等腰直角三角形 1．在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； (2)若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． (3)若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 2．平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 【类型七】坐标系中的直角三角形 1．在网格中，小正方形的边长为个单位长度． (1)如图，点在格点上，将点向右平移个单位，再向下平移个单位长度得到点，在图中网格中标出点，则线段的长度为______； (2)如图，点，点的坐标分别为，；点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是______． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点P从原点开始沿着x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段为一边，在其下方作等边三角形．当点P在原点O处时，记Q的位置为B． (1)①求点B的坐标；②当时，求的度数； (2)求证：当点P在x轴负半轴运动时（P不与O重合），始终等于； (3)是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在四边形中，，，，点是射线上一动点，点沿过点的直线翻折得到点．    (1)直线过点 ①如图2，若点运动到点，连接交于点，求长； ②连接和，当点在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由； (2)如图3，若点落在边上，直线l与折线的交点为，当点从点移动到点A的过程中，点的移动路径长为______． 【类型八】坐标系中的动点求t 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是的整数部分，的平方根是． (1)求，的值，并写出点、点的坐标； (2)坐标轴上，两个动点同时出发，点从出发沿轴负方向，以每秒4个单位长度的速度匀速运动；点从原点出发沿轴正方向，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当运动到点时全程停止．已知线段中点坐标为，设运动时间为秒．是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知，点在第二象限，轴平分；点是线段上动点，连接交于点．在运动过程中，探究、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为，，，且． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点M在x轴上运动，且三角形的面积是三角形面积的，求点M的坐标； (3)如图2，把线段向上平移3个单位得到线段，连接，．动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点E停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．在点P运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型九】坐标系中的新定义 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点． (1)已知点， ①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________； ②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 3．对于平面直角坐标系中的两点，，，给出如下定义：如果，那么称点是点的阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点是点的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点是点的________阶“生长点”； (2)已知点是点的2阶“生长点”，是点的阶“生长点”． ①当时，求证：； ②“若，在轴上是否存在点，使得”，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型十】坐标系中的角度与等角 1．在平面直角坐标系中，已知点（其中），作满足，，且C在第一象限． (1)如图1，若，直接写出C点的坐标； (2)如图2，点G在x轴负半轴上，连接，分别交y轴，边于F、E两点，若，求证：； (3)如图3，向边上方作等边，连接，若，求B点坐标． 2．已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 3．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【类型十一】坐标系中的定值与比值 1．在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中，满足．将平移到，点的对应点在第三象限，延长交轴于点． (1)写出点、的坐标； (2)若三角形的面积等于13，求的值； (3)作的平分线，过点作轴交于点，在线段上确定一点，使．若在直线上存在一动点，使得，试探究的值． 3．定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平面直角坐标系 思维导图 4.1 点的位置与坐标表示 1. 平面直角坐标系的基本概念 · 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 · 水平数轴称为x轴（横轴），向右为正方向； · 竖直数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向； · 两轴交点为原点（O），坐标为(0,0)。 · 坐标平面的划分：x轴和y轴将平面分为四个象限，象限内点的坐标符号特征如下： | 第一象限 | (+,+) | 横、纵坐标均为正 | | 第二象限 | (-,+) | 横坐标负，纵坐标正 | | 第三象限 | (-,-) | 横、纵坐标均为负 | | 第四象限 | (+,-) | 横坐标正，纵坐标负 | · 坐标轴上的点： · x轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为(x,0)； · y轴上的点：横坐标为0，坐标形式为(0,y)； · 坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点与坐标的对应关系 · 一一对应：平面内任意一点，都有唯一的一对有序实数对（即坐标）与之对应；反之，任意一对有序实数对，都对应平面内唯一的一个点。 · 坐标的确定： 已知点P，过P向x轴作垂线，垂足对应的数为横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数为纵坐标，坐标记为P(x,y)（横坐标在前，纵坐标在后）。 3. 点的坐标的几何意义 · 点P(x,y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x| · 例：点(3,-4)到x轴距离为|-4|=4，到y轴距离为|3|=3。 4.2 图形变换与坐标变化 1. 对称变换与坐标变化 对称类型 坐标变化规律（原坐标(x,y)） 举例（原点点(2,3)） 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标取相反数 对称点为(2,-3) 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标取相反数 对称点为(-2,3) 关于原点对称 横、纵坐标均取相反数 对称点为(-2,-3) 2. 平移变换与坐标变化 · 左右平移（沿x轴方向）： · 向右平移a（a>0）个单位：横坐标加a，纵坐标不变，即(x+a,y)； · 向左平移a（a>0）个单位：横坐标减a，纵坐标不变，即(x-a,y)。 · 上下平移（沿y轴方向）： · 向上平移b（b>0）个单位：纵坐标加b，横坐标不变，即(x,y+b)； · 向下平移b（b>0）个单位：纵坐标减b，横坐标不变，即(x,y-b)。 · 例：点(1,2)先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，最终坐标为(1+3,2-5)=(4,-3)。 3. 图形变换的本质 · 图形的平移、对称变换，本质是图形上所有点的坐标按相同规律变化；反之，根据坐标变化规律，可判断图形的变换方式。 · 例：若一个三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，则该三角形向左平移2个单位。 核心要点总结 1. 平面直角坐标系的核心是有序数对与点的一一对应，需牢记象限及坐标轴上的坐标符号特征； 2. 对称、平移变换的坐标规律是重点，可结合“关于谁对称谁不变，另一个变号”“右加左减、上加下减”的口诀记忆； 3. 图形变换与坐标变化的关系是“整体坐标同步变化”，可通过点的坐标变化推导图形的运动方式。 【类型一】判断点所在的象限 1．点在（     ） A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【详解】解：∵点的横坐标为． ∴点在轴上． 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵ ，． ∴ ． ∴ 点在第一象限． 3．已知点在第三象限，那么点在第_____象限，点在第_____象限，点在第______象限． 【答案】 二 四 一 【分析】根据点在第三象限得到，，推出，，再根据各象限内点的坐标符号特征判断三个点的位置． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴，， ∴点在第二象限，点在第四象限，点在第一象限． 【类型二】写出坐标系中点的坐标 1．如图，若无人机某次投送的中心位置在图中阴影部分内，则中心位置的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图中阴影部分的位置得出中心位置在第四象限，根据坐标系中各象限的点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：∵图中阴影部分在第四象限， ∴中心位置的横坐标为正，纵坐标为负， ∵在第四象限，在第一象限，在第三象限，在第二象限， ∴在四个选项中，只有A选项符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，，则点A的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴垂线，过点作该垂线的垂线，构造“一线三垂直”全等三角形模型，利用全等三角形对应边相等求出点相对于点的位移，进而得出坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴． 点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点A的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴点A的坐标为． 【类型三】点在坐标系中的平移 1．将点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标为，纵坐标为，即． 2．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图和题意可知： 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， ， ∴点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， 当点移动到时，向上移动秒，得到， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， ， ∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动秒，得到， ∴当点移动到时，用时秒，再向下移动秒，得到， 即第秒时质点所在位置的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【类型四】线段在坐标系中的平移 1．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先确定平移方式，然后求解即可 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移时横坐标减3，纵坐标加4. ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为. 2．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】根据线段平移时，所有点平移方式一致，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，可直接根据坐标变化判断平移方式． 【详解】解：∵线段的端点，的横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 3．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的平移，根据给定的点的坐标，确定平移方式，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点，点，线段平移后得到线段，点，点， ∴点向右平移个单位，得到，点向下平移1个单位得到， 即将线段先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到线段， ∴， ∴； 故答案为：． 【类型五】三角形在坐标系中的平移 1．如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：A.由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到选项正确； B.将先向上平移2格，再向右平移3格得到，选项正确； C.将先向左平移3格，再向下平移2格可得到，故选项错误； D.将先向左平移3格，再向下平移2格得到，选项正确； 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 【答案】(1)4；下；2； (2) (3)2 【分析】根据题图直接判断即可； （2）由平移的性质：上加下减，左减右加解答即可； （3）利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）根据题图可知，三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形； （2）由平移的性质：上加下减，左减右加可知， 三角形内有一点， 则三角形内部的对应点的坐标是， 则点的坐标是， （3）解：． 3．三角形在平移时，点经过平移后对应点为，而此时x轴上的点A经过平移，其对应点恰好在y轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，根据对应点确定平移规则，再根据x轴上的点的纵坐标为0，轴上的点的横坐标为0，结合平移规则，进行求解即可． 【详解】解：∵点经过平移后对应点为， ∴平移规律为：先向右平移5个单位长度，在向下平移3个单位长度， ∵A在x轴上， ∴A的纵坐标为0， ∴A′的纵坐标为， ∴， 故选：B． 【类型六】坐标系中的轴对称 1．点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点关于轴对称的点的坐标. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标特点得： 点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，对角线，交于点，已知，，将长方形沿轴翻折（即关于轴对称），则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，则点的坐标为，即，然后求出关于轴对称的对应点的坐标． 【详解】解：因为在长方形中，，， 所以，，点为中点， 所以点的坐标为，即， 所以点关于轴对称的对应点的坐标为． 3．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 【答案】1 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，得到和的值，再计算． 【详解】解：点与点关于轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 ， ． 【类型七】有序数对表示位置与路线 1．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据已知点的坐标确定平面直角坐标系中其他点的坐标，解题的关键在于根据“帅”和“士”的坐标确定坐标系的方向和单位长度，进而得出“相”的坐标． 【详解】解：已知“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示， 所以“相”的位置用坐标表示为． 故选：D． 2．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】确定准确位置需要两个独立的定位条件，据此判断各选项． 【详解】解：A、西安市高新区是区域范围，无法确定准确位置，该选项不符合题意； B、仅给出方向，缺少距离，无法确定准确位置，该选项不符合题意； C、科技路沿线为直线，包含无数个点，无法确定准确位置，该选项不符合题意； D、东经与北纬可确定唯一准确位置，该选项符合题意． 3．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 【类型一】已知点所在象限求参 1．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线轴， ∴， ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴． 2．点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为____________． 【答案】或 【分析】轴上的点横坐标为，先求出的值得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为，分左右两种情况计算的横坐标． 【详解】解：∵点在轴上． ∴，解得． 把代入纵坐标表达式，得． ∴点的坐标为． ∵轴． ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即点的纵坐标为． 设点的横坐标为． ∵． ∴，解得或． ∴点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在一、三象限的角平分线上，求点的坐标； (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出的值，即可求出点的坐标； （2）根据在一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等，列出方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）根据点在过点且与轴平行的直线上，两点的横坐标相等，列出方程求出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：若点在轴上时，则点的纵坐标为0， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：若点在一、三象限的角平分线上，则点的横纵坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：若点在过点且与轴平行的直线上时，则两点的横坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【类型二】求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，若点在轴上，且距离原点个单位长度，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标是， 又∵点距离原点个单位长度， ∴点的纵坐标的绝对值为， ∴点的纵坐标为或， ∴点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，第四象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则______． 【答案】 【分析】根据点在第四象限得到纵坐标为负，求出的取值范围，再根据点到坐标轴的距离相等列方程求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴， 解得或， ∵， ∴． 3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点到轴的距离是，求的值； (3)若点在第一、三象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3) 点的坐标为 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为可得，解方程求出的值； （2）根据点到轴的距离是，可得，解方程即可求出的值； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，可得关于的方程，解方程即可求出的值，再根据的值求出点的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：点到轴的距离是， ， 或， 或； （3）解：点在第一、三象限的角平分线上， ， ∴， ， 点的坐标为． 【类型三】与坐标轴平行求解 1．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2，继而求解． 【详解】解：∵过作y轴的平行线，即直线为直线x=2， ∴点A（4，3），关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2， 对称点坐标是（0，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线对称点的坐标性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，进行解题． 2．平面直角坐标系中，已知线段与轴平行，且，若点A的坐标为，则点的坐标是__________． 【答案】或/或 【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标． 【详解】解：∵轴，点A的坐标为， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， ∴点B纵坐标为1， 又∵，可能右移，横坐标为；可能左移，横坐标为， ∴B点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想． 3．已知点，求下列情形下点的坐标． (1)已知点且线段与轴平行； (2)点到轴的距离为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由平行可得，求出并写出坐标即可； （2）根据题意可得，求出并写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵线段与轴平行， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：点到轴的距离为， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 【类型四】中点坐标公式 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为． 2．嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 【答案】或 【分析】先根据中点公式表示出点的坐标，再根据题意得出点的横坐标为，纵坐标为，分别计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段的中点的坐标为， ∵点位于轴上，且到轴的距离是， ∴，， 当时， 解得， ∴； 当时， 解得， ∴； 综上所述，或． 3．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据已知条件代入点的坐标计算即可． （2）设点，根据已知点坐标和中点的坐标列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的中点的坐标为， 即； （2）解：设点， 根据题意可得：， 解得， ∴点的坐标为． 【类型五】坐标系中的作图 1．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作图：画出关于轴对称的． (2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________． (3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)2，3；3，0；1， (3)如图，点P为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可直接得出点，，的坐标； （3）连接与轴交点即为点； 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，各点坐标为，，． （3）解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则， ∴当点在上时的值最小． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 【答案】(1)，， (2) (3)10 【分析】（1）根据直角坐标系直接写出A，B，C三点的坐标即可； （2）根据点A，点D，点E的坐标画出即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可知：，，． （2）略 （3）解：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得三角形，点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，，； (2)如图，即为所求； (3)． 【分析】直接利用点平移变化规律得出答案； 直接利用各对应点位置进而得出答案； 利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：∵经过平移后得到对应点为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点，，的对应点分别为，，； （2）解：图略； （3）解：三角形的面积为 ． 【类型六】建立平面直角坐标系求解 1．为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置用坐标可以表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中． i）表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ii）为了尽可能保护古树，管理部门在以古树B，C，E所成的三角形内种植绿植，那么种植的面积是多少？ 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图， (2)i），古树的位置如图所示． ii） 【分析】（1）将点向左平移2格，再向下平移1格的格点即为点，以为原点建立直角坐标系即可； （2）i）根据图可得古树C的位置的坐标，标出古树的位置即可； ii）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：i）由图可得，表示古树C的位置的坐标为， 在网格中标出古树的位置略． ii）， ∴种植的面积是． 2．张明同学在做家庭暑期旅游攻略时，绘制了临夏州六个旅游景点的示意图． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得东公馆、红园的位置分别表示为，． (2)根据（）中建立的平面直角坐标系，写出松鸣岩和炳灵寺石窟的坐标． (3)已知刘家峡水库坐标为，和政古动物化石博物馆的坐标为，请在所建的平面直角坐标系中标出，的位置． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如下图所示； (2)松鸣岩，炳灵寺石窟； (3) 点，点的位置如下图所示． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是根据网格中点的坐标建立坐标系． 根据纵坐标为的点在轴上，横坐标为的点在纵坐标上，建立平面直角坐标系； 根据松鸣岩和炳灵寺石窟在平面直角坐标系中的位置和网格写出坐标即可； 根据点、的坐标在平面直角坐标系标出点、即可． 【详解】（1）解：东馆公路的纵坐标为， 东馆公路所在的水平线是轴， 红园的横坐标为， 红园所在的竖直方向的线是轴． （2）解：由图可知，松鸣岩的坐标为，炳灵寺石窟的坐标为； （3）略 3．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m． 【答案】(1) 建立的平面直角坐标系如图所示： (2)； (3) 办公楼和教学楼的位置如图所示： (4)240 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的位置，熟练掌握实际问题中用坐标表示位置是解题的关键． （1）根据旗杆和实验室的坐标，即可建立平面直角坐标系； （2）根据用坐标表示平面直角坐标系中的点，即得答案； （3）根据办公室和教学楼的坐标，即可在图中找出它们的位置； （4）由图可知，宿舍楼到教学楼相距8个单位，即可列式计算，求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：食堂的坐标为，图书馆的坐标为； 故答案为：；； （3）略 （4）解：， 宿舍楼到教学楼的实际距离为． 故答案为：240． 【类型一】坐标系中的将军饮马 1．如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 2．如图所示，在中，，点D为边的中点，点P为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，作点D关于的对称点E，连接，则，，然后利用等边三角形的判定和性质及勾股定理解三角形即可，作出相应辅助线是解题关键． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点E，连接，则，， ∴， ∴当B、P、E在同一直线上时，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∵D为边上的中点， ， ， ， ， ， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，线段在轴上运动（点在点的上方），且，连接、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题为将军饮马变式，轴上有定长动线段，先平移线段，把转化为，再作点关于轴的对称点，将转化为，依据两点之间线段最短，的最小值等于线段的长，最后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：如图：将线段向下平移1个单位长度，得到线段，作点关于轴的对称点，过点作轴交轴于点，连接，， 则，， ∴， ∵， 当点，C，E三点共线时，有最小值是，即的最小值是， ∵点、的坐标分别为、， ∴点、的坐标分别为、， ∵轴，且点在轴上， ∴点的坐标为，， ∴在中，，， ∴， ∴的最小值是． 【类型二】坐标系中的三点共线 1．已知点、，点在轴上，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，即，在x轴上另取一点N，即根据对称的性质有，即，当A、N、三点共线时取等号，即M点满足取最大值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图， 即根据对称的性质有， ∴， 在x轴上另取一点N，如图， 即根据对称的性质有， ∴，当A、N、三点共线时取等号， 即M点满足取最大值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，找到M点是解答本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 3．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，， ∴， ∵AC=BC， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 【类型三】坐标系中的规律 1．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察点的坐标变化，发现纵坐标每5次循环一次，横坐标每5次增加3，根据是的倍数确定点的坐标即可求解． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为 ，横坐标每次循环增加3， ∵ ， 与的纵坐标相同，即为，横坐标为 ， ∴点的坐标是． 2．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】观察，，，…，可得（为偶数），由此规律即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，…， ∵，，，…， ∴观察可得，（为偶数）， ∴点的坐标为，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，设， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得，点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 此时点与点重合，即每6个点一个循环． ∵， ∴与点重合， 故． 【类型四】坐标系中的全等三角形 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 【答案】(1) (2) 点D如图所示， (3)或 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解； （2）按要求画出点D，再由图写出点D的坐标； （3）根据题意，可知点E到的距离等于，在y轴上到的距离等于的点有两个，先画出点E，再由图写出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点C与点A关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点C的坐标是； （2）解：∵，，， ∴； 由图可得，点D的坐标是； （3）解：∵在y轴上存在一点E，使得， ∴点E到的距离等于， 如图，在y轴上到的距离等于的点有两个，点E的坐标是或，即或． 2．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 3．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 【类型五】坐标系中的等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为、、，且，点P从B出发，沿射线匀速运动， (1)A、C两点的坐标分别是________，________； (2)是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为或或 【分析】（1）利用算术平方根非负性，偶次幂非负性求出，即可； （2）分①当时，②当时，③当时三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：点P从B出发，沿射线匀速运动， ∴设，且． ，， ，， ∴，， ①如图，当时，如图： 由可得， 解得， 点坐标为； ②如图，当时，如图： 点坐标为； ③如图，当时，如图： ， 点坐标为， 综上可得，为等腰三角形时，P点坐标为或或． 2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为 (1)作出关于x轴对称的图形（点A与点、点B与点是对应点），并直接写出的坐标． (2)点D为第一象限内的点，且点D的横坐标、纵坐标均为整数，连接，是以为腰的等腰三角形，直接写出D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，然后顺次连接即可作出，再直接写出的坐标即可； （2）先根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，再结合图形确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：是等腰三角形，则． 3．如图①在平面直角坐标系中，O为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点，如图②．    (1)点的坐标为________； (2)若点是轴上一点，的面积等于，请求出点的坐标； (3)若点为轴上一点，为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，勾股定理，两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （2）先求出的面积，再求出的面积，据此根据三角形面积公式求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出的长，再分这三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点， ∴点D的坐标为，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴的面积为21， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时，则点E的坐标为或； 当时， ∵， ∴点O为的中点， ∴点E的坐标为，即； 当时，设， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 【类型六】坐标系中的等腰直角三角形 1．在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； (2)若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． (3)若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 【答案】(1)， (2)射线与轴所夹锐角的度数为或； (3)点A在轴的负半轴上或直线上． 【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）分两种情况：当点A靠近y轴在第二象限时，当点A靠近x轴在第二象限时，作出相应图形，然后利用各角之间的关系及轴对称的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时；分别利用等腰直角三角形的性质及轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：点关于y轴的对称点为， 所以一次反射点为， 关于直线l的对称点为， 所以二次反射点为； （2）解：如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：    点，关于直线l对称，点A、关于y轴对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线与轴所夹锐角的度数为； 同理当点A靠近x轴在第二象限时， 射线与轴所夹锐角的度数为， 综上可得：射线与轴所夹锐角的度数为或； （3）解：设点，则，， ∵是等腰直角三角形， ∴分三种情况： ①当时， ，即, 且，即， 解得：，即上的点均满足，如图所示：    ②当时，不存在； ③当时，，且，即， 解得,即在x轴的负半轴上，如图所示：    综上所述，点A在轴的负半轴上或直线上． 2．平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 证明：如图3，作，交x轴于点N，则， ，， ， 点A、C关于y轴对称， 点，y轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ； ，，且， ， ， ， ， ， ， ； (3)或或 【分析】（1）由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）过点D作轴于点L，先证明为等腰直角三角形，再证明，则，，再按点F与点C重合，且，且三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 解得，， ，； （2）略 （3）解：如图4， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点D作轴于点L，则， ，， ， ，， ， ，， 如图5，若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ， ， ∵， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或或． 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)存在，点B的坐标为或或或或或 【分析】对于本题，需要重点掌握“一线三等角”全等三角形的构造，属于中考常考题型． （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：在平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件， ∴ ∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于线段中点对称的点也满足条件； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或或或或． 【类型七】坐标系中的直角三角形 1．在网格中，小正方形的边长为个单位长度． (1)如图，点在格点上，将点向右平移个单位，再向下平移个单位长度得到点，在图中网格中标出点，则线段的长度为______； (2)如图，点，点的坐标分别为，；点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是______． 【答案】(1) 解：如图中，点即为所求: (2)或 【分析】本题考查作图：平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质作出图形，利用勾股定理求出； （2）根据直角三角形的判定作出点可得结论． 【详解】（1）． （2）解：如图中，点，即为所求，或； 当 时，，，而， ∴， ∴， 同理当时，. 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点P从原点开始沿着x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段为一边，在其下方作等边三角形．当点P在原点O处时，记Q的位置为B． (1)①求点B的坐标；②当时，求的度数； (2)求证：当点P在x轴负半轴运动时（P不与O重合），始终等于； (3)是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)存在；点P的坐标为或 【分析】（1）①过点B作轴，根据为等边三角形求出点B的坐标即可； ②根据勾股定理求出，得出，根据等腰三角形的性质求出； （2）根据等边三角形的性质得出，，，证明，得出即可； （3）根据，得出，，说明点Q在过点B垂直于的直线上，求出，得出当为直角三角形时，只能或，然后分两种情况，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：①过点B作轴于点C，如图所示：    ∵，为等边三角形， ∴，， ∴， 故． ②∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：存在； 根据解析（2）可得：， ∴，， ∴点Q在过点B垂直于的直线上， ∵在等边中，， ∴， ∴当为直角三角形时，只能或， 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．如图1，在四边形中，，，，点是射线上一动点，点沿过点的直线翻折得到点．    (1)直线过点 ①如图2，若点运动到点，连接交于点，求长； ②连接和，当点在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由； (2)如图3，若点落在边上，直线l与折线的交点为，当点从点移动到点A的过程中，点的移动路径长为______． 【答案】(1)①；②存在，或或30 (2) 【分析】（1）①由，得，由翻折得，则，所以，根据勾股定理求得； ②三分种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得； （2）当点与点重合时，则垂直平分，此时；当时，则，所以，则，可求得此时点移动的距离为7；当点与点A重合时，连接、，则，所以，求得，可求得点又移动了个单位长度，进而求得点从点移动到点A的过程中，点的移动路径长为，即可解决． 【详解】（1）解：①， ， ， ， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， 解得， 的长是； ②的长为3或或30， 理由：如图1，，连接，   点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上，   ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上，   ， 点在的延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． （2）如图4，点与点重合，   垂直平分， 垂直平分， ， ， ， ，， ； 如图5，连接、，，   ，， ， 垂直平分， ， ， ， 当点从图的位置移动到图的位置时，点移动的距离为7； 如图6，点与点A重合，连接、， 垂直平分， 垂直平分， ， ， ， 解得， ， 当点从图的位置移动到图的位置时，点移动的距离为， ， 当点从点移动到点A的过程中，点的移动路径长为， 故答案为：．    【点睛】此题考查了矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大． 【类型八】坐标系中的动点求t 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是的整数部分，的平方根是． (1)求，的值，并写出点、点的坐标； (2)坐标轴上，两个动点同时出发，点从出发沿轴负方向，以每秒4个单位长度的速度匀速运动；点从原点出发沿轴正方向，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当运动到点时全程停止．已知线段中点坐标为，设运动时间为秒．是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知，点在第二象限，轴平分；点是线段上动点，连接交于点．在运动过程中，探究、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)存在，或 (3)解：，证明如下： 过点作， ， ，， ， ， 轴平分， ， ， ， ， ，， ， ． 【分析】（1）根据算术平方根的估算方法及平方根的定义求出，的值，即可求出点、点的坐标； （2）当运动时间为时，，，根据列方程求解即可； （3）过点作，根据题意得到，根据角平分线的定义求出，可知，即，得到，，即． 【详解】（1）解：， ， 的平方根是， ， 解得， ，； （2）解：当运动时间为时，，． ， ， 解得或， ∴当或时，与的面积相等； （3）略． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，，8，4 (2)当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）先求出，根据平移的性质得到，，进而根据点E的坐标为作答即可； （2）由题意可知动点P运动的路程为，分两种情况求出t的取值范围，即可求出点P的坐标； （3）由题意可知，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∵将线段向右平移得到线段， ∴，， ∵点E的坐标为， ∴点D的坐标是，，， ∴， ∴点C的坐标是； （2）解：∵动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发， ∴动点P运动的路程为， 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； （3）解：存在， 如图， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为，，，且． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点M在x轴上运动，且三角形的面积是三角形面积的，求点M的坐标； (3)如图2，把线段向上平移3个单位得到线段，连接，．动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点E停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．在点P运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为(或 (3)存在，当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为 【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性可得得出a和b的值，即可求出坐标； （2）根据和的面积关系，可得的长，然后分类讨论从而得出点M的坐标； （3）分动点P分段、段两段运动．P在上时：以为底，用点C到竖直线的水平距离作高，列面积方程求t与P坐标．P在上时：以为底，用点C到水平线的垂直距离作高，再列面积方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； ∴， （2）解； ∵点M在x轴上运动，且三角形的面积是三角形面积的， ∴． 当点M在点B的左侧时，点M的横坐标为， ∴； 当点M在点B的右侧时，点M的横坐标为， ∴． 综上所述，点M的坐标为或． （3）解：当点P在线段上运动时，，， ∵为垂直于轴的线段，点到的水平距离为，此距离为以为底时的高， ∴， 解得， 此时点P的坐标为． 当点P在线段上运动时，， ∵为平行于轴的线段，点到的垂直距离为，此距离为以为底时的高 ∴， 解得， ∵点P从A到D用时秒，从到用时秒，总运动时间为秒．秒，在范围内， ∴点P的坐标为． 综上所述，当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为． 【类型九】坐标系中的新定义 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点． (1)已知点， ①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________； ②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案； （3）先根据新定义确定在轴上，结合等腰直角三角形，构造“一线三垂直”模型，证明两个直角三角形全等，把相等线段转化为含，的等式，利用绝对值进行分类讨论求解，最后结合图形取舍符号，得到点坐标． 【详解】（1）解：①∵， ∴点关于x轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标； ②∵点的坐标是，其中， ∴点关于x轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴； （2）由题意，与关于轴对称， ∴， 直线，设点关于直线的对称点为， ∵对称轴平行于轴， ∴对称点横坐标不变，即，且， 解得 ，因此可得的坐标为 ，， 是等腰直角三角形，， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， 在和中： ，， 由得：，， ∵，，， ，，， ， ； ① 当时，解得， 此时，即， 由，得， ； ② 当时，解得， 此时，即， 由，结合图形位置， ，得， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、新定义 “双反射点”、等腰直角三角形以及一线三垂直全等模型，解题关键是准确理解双反射点的变换规则，依托等腰直角三角形构造全等，将几何条件转化为线段等量关系进行求解． 2．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 综上，为点的“等距点”的是点E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 3．对于平面直角坐标系中的两点，，，给出如下定义：如果，那么称点是点的阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点是点的2阶“生长点”．如图，已知点，，． (1)点是点的________阶“生长点”； (2)已知点是点的2阶“生长点”，是点的阶“生长点”． ①当时，求证：； ②“若，在轴上是否存在点，使得”，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明：点是点的2阶“生长点”， ， ； 是点的阶“生长点”， ， ， ， ， ； ②或 【分析】（1）根据阶“生长点”的定义求解即可； （2）①根据阶“生长点”的定义求出，，再结合即可得证；②求出点的坐标，连接，令与轴的交点为，利用等面积法，求出，再设，根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， 由，得：， 即点是点的阶“生长点” （2）①略 ②解：， ， ， ， 如图，连接，令与轴的交点为， ， ， ， ， 设，则， ，且 ， ， 或， 解得：或， 或， 综上可知，存在点使得，的坐标为或． 【类型十】坐标系中的角度与等角 1．在平面直角坐标系中，已知点（其中），作满足，，且C在第一象限． (1)如图1，若，直接写出C点的坐标； (2)如图2，点G在x轴负半轴上，连接，分别交y轴，边于F、E两点，若，求证：； (3)如图3，向边上方作等边，连接，若，求B点坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； (3) 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明求解即可； （2）先由等边对等角结合互余关系证明，则，即可等量代换证明； （3）过点作轴于点，在轴正半轴取点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明，求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 过点作轴于点，则 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：过点作轴于点，在轴正半轴取点，使得，连接 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵等边 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵轴， ∴ 同（1）可得， ∴． 2．已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)h (2)①；②1 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【详解】（1）解：∵m、n满足， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴、 ∴， ∵点是y轴正半轴上的动点， ∴的面积； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 3．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 【类型十一】坐标系中的定值与比值 1．在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)结论①为定值，定值为1 【分析】（1）利用非负数的性质求得，，即可得到、的坐标； （2）根据题意求得点的坐标为，作于点，利用割补法求得，设点的坐标为，根据题意得到，据此求解即可； （3）利用三角形的内角和定理和外角性质求得是的平分线，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴设点的坐标为， ∵点到两坐标轴的距离之和为9， ∴，解得， ∴点的坐标为， 作于点， ∵，， ∴ ， ∵点是直线上一点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴是的平分线， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴结论①为定值，定值为1． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中，满足．将平移到，点的对应点在第三象限，延长交轴于点． (1)写出点、的坐标； (2)若三角形的面积等于13，求的值； (3)作的平分线，过点作轴交于点，在线段上确定一点，使．若在直线上存在一动点，使得，试探究的值． 【答案】(1)， (2)的值为 (3)的值为2或10 【分析】（1）根据算术平方根与偶次幂的非负性进行求解即可； （2）作轴，作于点，交轴于点．然后根据割补法进行求解即可； （3）设，则有，由题意易得，则有，然后可得，则可分情况1：若点在直线上方，情况2：若点在直线下方，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴，， ∴点、的坐标分别为，； （2）解：如图，作轴，作于点，交轴于点． ∴ ． 解得． （3）解：设． ， ． ． 轴， ． 平分， ． ． 平移至， ． ． ， ． 点在直线上， 分情况讨论： 情况1：如图，若点在直线上方， 则． ． ． 情况2：如图，若点在直线下方． 则． ． ． 综上，的值为2或10． 3．定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； （2）解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 学科网（北京）股份有限公司 $