第3章 勾股定理 单元复习讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 　　1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 　　2.若两直角边为a、b，斜边为c，则。 　　3.勾、股、弦：较短的直角边叫勾，较长的叫股，斜边叫弦。 知识点2：勾股定理的验证 　　1.主要方法：拼图法（面积法）。 　　2.思路：用两种方法表示同一图形面积，由面积相等得等量关系。 　　3.典型：赵爽弦图、总统证法、欧几里得证法。 知识点3：勾股定理的应用 　　1.已知任意两边求第三边。 　　2.解决平方关系的几何问题。 　　3.构造方程求线段长度。 　　4.解决生产生活实际问题（梯子、航行、测量）。 知识点4：勾股定理的逆定理 　　1.若三角形三边满足，则它是直角三角形，c为斜边。 　　2.判别方法：两条较短边的平方和等于最长边的平方。 知识点5：勾股数 项 内容 定义 满足的三个正整数 常见勾股数 3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17 拓展 勾股数同乘整数仍是勾股数 知识点6：勾股树 　　1.以直角三角形三边为边作正方形，三个正方形面积满足。 　　2.连续"生长"，各层正方形面积和不变。 知识点7：常见直角三角形三边比 类型 三边比 30°-60°-90° 1 : : 2 45°-45°-90° 1 : 1 : 知识点8：折叠问题中的勾股定理 　　1.折叠前后图形全等，对应边相等。 　　2.在直角三角形中设未知数，列勾股方程。 知识点9：最短路径问题 　　1.展开成平面，两点间线段最短。 　　2.用勾股定理求线段长度。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 斜边混淆 任意边当斜边 c是最长边（斜边） 逆定理 不找最长边 先找最长边再验证 勾股数 非正整数当勾股数 勾股数必须正整数 折叠 漏设未知数 设元列勾股方程 【易错题型】 【题型1】勾股定理的适用条件 　　1.易错点总结 　　（1）未确认直角就套勾股定理； 　　（2）把斜边当成直角边代入； 　　（3）逆定理判断时选错最长边。 　　2.纠错技巧 　　（1）先确认直角三角形及直角/斜边； 　　（2）中c为斜边； （3）逆定理先找最长边再验证。 【例题1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）中，，，上的高，则__________． 【答案】或 【分析】分点在上，延长线上和延长线上三种情况，利用勾股定理，结合线段的和差关系分别求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 如图，当点在延长线上时， ∵，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 如图，当点在线段上时， 同理可得，，， ∴， 当点在线段的延长线上（排列顺序为、、），则， ∴，不符合线段长度为正的实际意义，该情况舍去， 综上所述，的长为或． 【变式题1-1】.（黑龙江大庆市肇源县联合协作NH2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）某校有一块四边形空地，其中，，，，．求这块空地的面积． 【答案】 【分析】连接，首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，则四边形的面积即可分割成两个直角三角形的面积进行计算． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，是直角三角形，， ∴空地面积． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于E，利用勾股定理逆定理可得，再利用角平分线性质求出，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 在中，， ， ， 平分，， ， ． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，是腰上的高，且，则__________． 【答案】或 【分析】先根据三角形面积公式求出高的长度，再用勾股定理求出的长度，分高在三角形内部和外部两种情况计算． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴，可得， 解得， ∵ 是高，是直角三角形，， ∴ 由勾股定理得， 分两种情况讨论： 当高在内部时，如图， ； 当高在外部时，如图， ， 综上，的长度为或． 【基础题型】 【题型2】已知两边求第三边 　　解题技巧： 　　（1）确认哪边是斜边； 　　（2）求斜边用平方和开方； 　　（3）求直角边用平方差开方； （4）开方取正。 【例题2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用勾股定理，由两条直角边求出斜边长度． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在中，， ， ， ，， 【变式题2-3】.（26-27八年级上·甘肃·期中）在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 【题型3】判断三边能否构成直角三角形 　　解题技巧： 　　（1）先找最长边； 　　（2）算两短边平方和； 　　（3）与最长边平方比较； （4）相等为直角三角形。 【例题3】.（26-27七年级上·山东济南·期中）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，10 D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每组中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可判断． 【详解】解：A.，能组成直角三角形，符合题意； B.，不能组成直角三角形，不符合题意； C.，不能组成直角三角形，不符合题意； D.，不能组成直角三角形，不符合题意． 【变式题3-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A． B． C． D．7，24，25 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度，故A不符合题意； B：，，能作为直角三角形三边长度，故B不符合题意； C：，，不能作为直角三角形三边长度，故C符合题意； D：，，能作为直角三角形三边长度，故D不符合题意． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．1，， B．4，5，6 C．1，1， D．2，3，4 【答案】A 【详解】解：A．因为，所以能组成直角三角形，符合题意； B．因为，，，所以不能组成直角三角形，不符合题意； C．因为，，，所以不能组成直角三角形，不符合题意； D．因为，，，所以不能组成直角三角形，不符合题意． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（     ） A．7，10，24 B．7，10，25 C．10，24，25 D．7，24，25 【答案】D 【分析】先根据三角形三边关系筛选出能构成三角形的组合，再利用勾股定理的逆定理，判断两条短边的平方和是否等于最长边的平方，以此确定直角三角形即可求解． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，，，根据勾股定理的逆定理，该组线段可以构成直角三角形，故本选项符合题意； 【题型4】勾股数的判断与运用 　　解题技巧： 　　（1）勾股数必须正整数； 　　（2）验证两小平方和=最大平方； 　　（3）熟悉常见勾股数； （4）倍数仍是勾股数。 【例题4】.（25-26八年级下·福建莆田·期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 【答案】正确．理由： ∵表示大于的整数， ∴都是正整数，且是最大边， ∵， ∴即为勾股数， 当时，可得一组勾股数． 【分析】根据勾股定理计算其中较小两边的平方和，判断是否等于第三边的平方，继而证明结论，写出当时，组成的一组勾股数即可. 【详解】略. 【变式题4-1】.（26-27八年级上·山东·期中）下列各组数是勾股数的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】先判断各数是否为正整数，再验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解： A．∵，，， ∴不是勾股数． B． ∵，，， ∴不是勾股数． C．∵，，且三个数均为正整数， ∴是勾股数． D．∵，，不是正整数， ∴不是勾股数． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数需为正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方．先利用勾股数为正整数的特征排除非正整数选项，再验证剩余选项的平方关系； 【详解】解：∵选项中的、、均为无理数，选项中的、、均为小数，都不是正整数， ∴、均不是勾股数，不符合题意． ∵，，， ∴选项不是勾股数，不符合题意． ∵，，且、、均为正整数， ∴选项是勾股数，符合题意． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2) 证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）略 【题型5】勾股树问题 　　解题技巧： 　　（1）每层面积和不变； 　　（2）； 　　（3）累加找规律； 　　（4）代数表示。 【例题5】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形的边长8，则正方形，，，的面积之和为（     ） A．16 B．20 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据勾股定理推出正方形，，，的面积之和即为正方形A的面积，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理可知F的面积等于B的面积加上C的面积，G的面积等于D的面积加上E的面积，A的面积等于F的面积加上G的面积， ∴正方形，，，的面积之和即为正方形A的面积， ∵正方形A的边长为8， ∴正方形，，，的面积之和为64． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·周测）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积找到规律即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积， 所以“生长”了1次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积之和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积之和为4， ……依此类推，“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为， ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形． (1)试画出2次操作后得到的图形． (2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索． (4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 【答案】(1) (2) (3)如果一直画下去，它会呈现出具有自相似性的分形结构，整体形态非常像一棵繁茂的大树（或西兰花）． (4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时得到的“毕达哥拉斯树”会是一个左右完全对称、树冠均匀展开的漂亮大树形状． 【分析】（1）理解操作规则，2次操作后，需要在图②中新生成的4个小正方形上，重复之前的操作，即每个小正方形上再生成两个更小的正方形． （2）利用勾股定理（）推导出每次操作新增的正方形面积之和等于上一级正方形的面积之和，从而求出总面积． （3）观察图形的生长趋势，结合“毕达哥拉斯树”的特征进行描述． （4）当初始三角形为等腰直角三角形时，利用对称性判断最终图形的形状． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理可知，直角三角形两直角边向外所作正方形的面积之和等于斜边向外所作正方形的面积． 初始图形中所有正方形面积之和为：， 第1次操作新增正方形面积之和为：， 第2次操作新增正方形面积之和为：， 故2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为： 当时，（）． （3）一直画下去，图形会不断向上分叉，分支越来越细、越来越密，整体呈一棵“树”的形状，它具有自相似性，任意取出它的一部分并放大，会发现这部分与原来的整体形状相同，这正是分形图形的特征． 借助数学软件（如几何画板、分形绘图软件）可以动态地一步步生成图形，直观观察它的生长与自相似规律． （4）若最初的直角三角形是等腰直角三角形，则两直角边相等，即，于是图形关于过斜边中点的垂线左右对称． 重复操作时，左右两个分支按完全相同的规则生长且互为镜像，因此整棵树始终保持左右对称，最终形成一棵左右对称的树状图形（形似对称的树或羽毛）． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）项目式学习 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以直角三角形的三条边为边长作正方形，然后由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，如此重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为．根据规则，三位同学分别画出下面不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 (1)如图1所示，小明画出了锐角三角形，计算的值，并写出过程： (2)如图2所示，小金画出了直角三角形，，，计算的值，并写出过程； (3)如图3所示，小山画出了钝角三角形，则___________． 【项目总结】综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论；周长一定的情况下，由___________（选填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的（）总面积最大． 【答案】(1)解：，过程如下： ∵所画的基础三角形周长为，， ∴， ∴； (2)解：过程如下： ∵所画的基础三角形周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； (3)；钝角 【分析】（1）求出的长，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，即可求解； （3）根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴； 【项目总结】由锐角三角形形成的总面积为， 由直角三角形形成的总面积为， 由钝角三角形形成的总面积为， ∵， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的（）总面积最大． 【提升题型】 【题型6】勾股定理与折叠问题 　　解题技巧： 　　（1）折叠前后对应边相等； 　　（2）标出相等线段； 　　（3）在直角三角形设元； （4）列勾股方程求解。 【例题6】.（26-27八年级上·山东烟台·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点落到纸片外部的点处．若交于点，，，则的长为_______． 【答案】/0.75 【分析】根据平行线的性质和折叠性质得到，推出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是长方形 ∴，， ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，根据折叠性质得出，，，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质可知，，，， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图①，的斜边比直角边长，另一直角边长为，求的长． (1)请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程． (2)拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ①求的长． ②的长为___________． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）利用勾股定理列出方程解答即可； （2）①根据翻折的性质得到，即可根据线段的和差求出的长； ②在中，结合翻折的性质，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为； （2）解：①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， ∴； ②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为． 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·二模）如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 【题型7】勾股定理的证明 　　解题技巧： 　　（1）用两种方法表示面积； 　　（2）面积相等列等量； 　　（3）恒等变形得定理； （4）理解弦图结构。 【例题7】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦 (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明； 【答案】(1) (2)解：∵两个相同的直角三角形边、在一条直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ， ∴． 【详解】（1）解：根据勾股定理得， ∵直角边，直角边， ∴， 解得（负值舍去）， ∴斜边； （2）略 【变式题7-1】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）勾股定理的证明方法有很多种，现有两个完全一样的直角三角形纸片，给出一种摆法，如图所示，利用求面积的方法证明：． 【答案】证明：连接， 梯形的面积为：， 梯形的面积为：， ∴， 即， 整理得，， ∴． 【分析】构造梯形，利用等面积法证明． 【详解】略 【变式题7-2】.（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【详解】解：图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【题型8】勾股定理与实际问题 　　解题技巧： 　　（1）建模为直角三角形； 　　（2）确定直角、斜边； 　　（3）列勾股关系； （4）求值并解释。 【例题8】.（2026七年级上·山东·专题练习）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·山东泰安·期中）海洋上有一座近似于四边形的岛屿，其平面图如图甲所示．小明将该岛抽象为数学模型——四边形(如图乙)．已知，千米，千米，千米，千米，求四边形的面积． 【答案】平方千米 【分析】连接，把四边形分成两个三角形：先用勾股定理算出，再用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：连接． ∵千米，千米， ∴(千米)． ∵在中，千米，千米，千米，最长， ∴， ∴是直角三角形，且为斜边，即． ∴(平方千米)， ∴(平方千米)， ∴四边形的面积(平方千米)． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，某小区在临街的拐角建造了一块绿化地阴影部分，测得，，，，且， (1)小区居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了便于出行，开辟了一条从点A直通点C的小路，请问施工完成后，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)求这块绿地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）受强降雨影响，某地区河流迎来一次洪峰过境．监测数据显示，本次洪峰影响范围可近似看作以洪峰中心为圆心、半径的圆形区域，区域内均会受到江水倒灌与高水位影响．如图，线段表示洪峰中心从地移动到地的路径，是某沿江观测点，且．已知之间相距，之间相距m． (1)判断观测点是否会受到本次洪峰的影响，并说明理由． (2)若洪峰中心的移动速度为m/min，则观测点受洪峰影响的时间有多长？ 【答案】(1)会受到本次洪峰的影响．理由如下： 解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 会受到本次洪峰的影响． (2) 【分析】如小问（1）图，过点作于点，利用勾股定理和等积法求出的长，与半径比较进行解答即可； 如小问（2）图，是受影响的半径，利用勾股定理求出的长，再利用其它已知条件解答即可． 【详解】（1）详解见答案． （2）解：如图，假设洪峰到点处开始影响，到点处结束影响， 则， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 同理可得：， ， 所以影响时间为． 【培优题型】 【题型9】最短路径问题 　　解题技巧： 　　（1）展开立体图形成平面； 　　（2）两点间线段最短； 　　（3）用勾股定理求长； （4）比较多条路径。 【例题9】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，公园里一长方体石凳的长为30，宽为20，高为10，点与点的距离为5，一只蚂蚁沿着该长方体石凳的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________． 【答案】25 【分析】将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图所示青岛里院有一条半拱形过街廊道，该廊道可看作一个长方体墙体挖去一个“半圆柱”而成．廊道可供通行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在墙面上，米．管道内有一根光纤线贴着管道内壁从A布设到E，则光纤最短长度为（     ）米． A．18米 B．30米 C．20米 D． 【答案】C 【分析】先画出这个“半圆柱”的侧面展开图，进而根据“两点之间线段最短”得出最短路径，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则米，米，米，， ∴（米）， ∴光纤最短长度（米）． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·甘肃张掖·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： ∵长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ∴，， 在中，根据勾股定理得； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在中，根据勾股定理得； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）问题背景： 如图1，圆柱的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)方法探究：如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． (2)方法应用：如图3，直四棱柱的上下底面是边长为的正方形，高为．从点开始，绕侧面两周，嵌入一条装饰彩条至点停止，求彩条的最短长度； (3)如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对的内壁底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】(1) (2)彩条的最短长度为 (3)蚂蚁爬行的最短路径为 【分析】（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长度，根据勾股定理求出，即可； （2）根据绕两圈到，则展开后相当于求出的斜边长，根据勾股定理求出即可； （3）将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）解：由图可得蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段， 由题意可得，，， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． （2）解：如下图： ∵从点开始经过绕侧面两周到达点，经过四个侧面， ∴， ∵， 在中，， 答：彩条的最短长度为． （3）解：作点关于的对称点，连接，作于点， ∴， ∵圆柱形玻璃杯高为，杯底厚， ∴， ∴， ∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径为． 【题型10】勾股定理及其逆定理的综合 　　解题技巧： 　　（1）先证直角（逆定理）； 　　（2）再用勾股定理求值； 　　（3）分段、补形； （4）整体法。 【例题10】.（26-27七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点P运动到的中点时，t的值为________； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或时，为直角三角形 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，，在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （3）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 把两个全等的直角三角形按如图1所示的方式放置，其中点在边上，，，，． (1)与的位置关系为_______． (2)________（用含，的式子表示），________（用含，的式子表示），________（用含的式子表示）．并根据图形的面积关系验证：． 【答案】(1) (2)解：；；； 验证过程如下： 由图可知，， 即， 整理得， ． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，推出，即可； （2）根据面积公式和等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ； 验证略. 【变式题10-2】.（26-27七年级上·山东济南·期中）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请根据以上材料完成下列问题： (1)如图2，网格图中每个小方格边长为1，利用“双求法”，求中边上的高； (2)如图3，当网格图中的为钝角三角形时，求中边上的高； (3)如图4，在中，，，，交延长线于点．请用“双求法”（勾股定理）列方程求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理得出，利用等积法可求出； （2）由勾股定理得出，利用等积法可求出； （3）设，则，在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【详解】（1）解：∵网格图中每个小方格边长为1， ∴，， ∴， 又， ∴；； （2）解：根据题意得：， 由等面积法得：, 解得：； （3）解：设，则， ∵是边上的高， ∴． 在中，． 在中，． ∴， 解得， ∴． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）探究解题 (1)问题：如图①，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，连接． ①求证：； ②求证： (2)应用：如图②，在四边形中，．若，，则 （直接写出结论）． 【答案】(1)①证明：在与中，，， ，即， ， 又 ，， ； ②证明：在与中，，， ， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得，推出，即可得证；②根据等腰直角三角形的性质可得，由得到，，推出，得到，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转至，连接、，则是等腰直角三角形，证明得到，根据勾股定理求出，由是等腰直角三角形得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，将绕点逆时针旋转至，连接、，则是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 同步练习 一、单选题 1．如图，在数轴上点表示的实数是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为，如图， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是． 2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，、（）表示直角三角形的两直角边，若大正方形面积为100，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．小正方形的面积为56 【答案】D 【分析】根据大正方形面积为100可判断A错误；把的两边平方可判断B错误；根据可判断C错误；根据小正方形的边长为可判断D正确． 【详解】解：∵大正方形面积为100，、（）表示直角三角形的两直角边， ∴，故A错误； ∵， ， ， ，故B错误； ∵， ，故C错误； ∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为，故D正确． 3．已知，，是一个三角形的三边长，如果满足，则三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的和为0的性质求出三边长，判断三角形为直角三角形后计算面积． 【详解】解：∵ ，，，且 ． ∴ ，，. ∴ ，，． ∵ ． ∴ 该三角形是直角三角形，直角边长为和． ∴ 面积为． 二、填空题 4．一架梯子长，底端距墙，则梯子顶端距地面高度为______． 【答案】24 【分析】梯子、墙面、地面构成直角三角形，已知斜边长度与一条直角边长度，可通过勾股定理求出另一条直角边的长度，即梯子顶端距地面的高度． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴ ， 整理得 ， ∵ 实际高度为正值， ∴， ∴梯子顶端距地面高度为． 5．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为，则等于________ 【答案】 【分析】首先根据折叠可得，设，则，根据勾股定理可得，可得x的值． 【详解】解：由折叠可知：， 设，则， 直角中： ， 解得：． 6．如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，点对应点为，点对应点为，且，______． 【答案】 【分析】连接，，设，根据正方形性质和折叠性质得出，，在和中分别利用勾股定理表示出和，建立方程求解即可． 【详解】解：连接，，设， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，点对应点为，点对应点为， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．求线段的长． 【答案】线段的长为 【分析】在中，由勾股定理可得的长，由作图步骤可得，再根据线段和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由题意可知，点在以为圆心，的长为半径的弧上， ， 点在的延长线上， ． 答：线段的长为． 8．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴是直角三角形． (3) 【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度； （2）在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断即可； （3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，由此计算即可． 【详解】（1）解：连接， 在中，． （2）略 （3）解：∵，，，， ∴四边形的面积为． 9．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． (1)如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． (2)结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】(1) 如图，作点关于的对称点，连接交于点， 点即为所求． (2) 【分析】（1）根据将军饮马模型先作点关于的对称点，利用轴对称的性质，两点之间，线段最短的性质解答即可； （2）过点作于点，根据已知条件，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）详解见答案． （2）解：过点作于点，如图所示， 根据题意和小问（1）可得四边形是矩形，点为的中点，，的长就是蚂蚁爬行的最短路径长， 点关于的对称点是， ， 点距离杯底， ， 四边形是矩形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁爬行的最短路径长为． 10．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量果树幼苗培育基地的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量果树幼苗培育基地的宽度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，出于保护果树幼苗考虑，培育基地两侧的，周围均被围栏所围，因此，处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点（于点）．用皮尺测得，的长． 测量数据 ，， …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算果树幼苗培育基地的宽度（的长）． 【答案】果树幼苗培育基地的宽度的长为 【详解】解：由题意可知，为直角三角形， ∴， ∴ ，， ， ∴ ， . 答：果树幼苗培育基地的宽度的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 　　1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 　　2.若两直角边为a、b，斜边为c，则。 　　3.勾、股、弦：较短的直角边叫勾，较长的叫股，斜边叫弦。 知识点2：勾股定理的验证 　　1.主要方法：拼图法（面积法）。 　　2.思路：用两种方法表示同一图形面积，由面积相等得等量关系。 　　3.典型：赵爽弦图、总统证法、欧几里得证法。 知识点3：勾股定理的应用 　　1.已知任意两边求第三边。 　　2.解决平方关系的几何问题。 　　3.构造方程求线段长度。 　　4.解决生产生活实际问题（梯子、航行、测量）。 知识点4：勾股定理的逆定理 　　1.若三角形三边满足，则它是直角三角形，c为斜边。 　　2.判别方法：两条较短边的平方和等于最长边的平方。 知识点5：勾股数 项 内容 定义 满足的三个正整数 常见勾股数 3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17 拓展 勾股数同乘整数仍是勾股数 知识点6：勾股树 　　1.以直角三角形三边为边作正方形，三个正方形面积满足。 　　2.连续"生长"，各层正方形面积和不变。 知识点7：常见直角三角形三边比 类型 三边比 30°-60°-90° 1 : : 2 45°-45°-90° 1 : 1 : 知识点8：折叠问题中的勾股定理 　　1.折叠前后图形全等，对应边相等。 　　2.在直角三角形中设未知数，列勾股方程。 知识点9：最短路径问题 　　1.展开成平面，两点间线段最短。 　　2.用勾股定理求线段长度。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 斜边混淆 任意边当斜边 c是最长边（斜边） 逆定理 不找最长边 先找最长边再验证 勾股数 非正整数当勾股数 勾股数必须正整数 折叠 漏设未知数 设元列勾股方程 【易错题型】 【题型1】勾股定理的适用条件 　　1.易错点总结 　　（1）未确认直角就套勾股定理； 　　（2）把斜边当成直角边代入； 　　（3）逆定理判断时选错最长边。 　　2.纠错技巧 　　（1）先确认直角三角形及直角/斜边； 　　（2）中c为斜边； （3）逆定理先找最长边再验证。 【例题1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）中，，，上的高，则__________． 【变式题1-1】.（黑龙江大庆市肇源县联合协作NH2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）某校有一块四边形空地，其中，，，，．求这块空地的面积． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，是腰上的高，且，则__________． 【基础题型】 【题型2】已知两边求第三边 　　解题技巧： 　　（1）确认哪边是斜边； 　　（2）求斜边用平方和开方； 　　（3）求直角边用平方差开方； （4）开方取正。 【例题2】.（26-27八年级上·甘肃白银·期中）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·甘肃·期中）在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【题型3】判断三边能否构成直角三角形 　　解题技巧： 　　（1）先找最长边； 　　（2）算两短边平方和； 　　（3）与最长边平方比较； （4）相等为直角三角形。 【例题3】.（26-27七年级上·山东济南·期中）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，10 D．，， 【变式题3-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A． B． C． D．7，24，25 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．1，， B．4，5，6 C．1，1， D．2，3，4 【变式题3-3】.（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（     ） A．7，10，24 B．7，10，25 C．10，24，25 D．7，24，25 【题型4】勾股数的判断与运用 　　解题技巧： 　　（1）勾股数必须正整数； 　　（2）验证两小平方和=最大平方； 　　（3）熟悉常见勾股数； （4）倍数仍是勾股数。 【例题4】.（25-26八年级下·福建莆田·期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·山东·期中）下列各组数是勾股数的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题4-2】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【题型5】勾股树问题 　　解题技巧： 　　（1）每层面积和不变； 　　（2）； 　　（3）累加找规律； 　　（4）代数表示。 【例题5】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形的边长8，则正方形，，，的面积之和为（     ） A．16 B．20 C．32 D．64 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·周测）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形． (1)试画出2次操作后得到的图形． (2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索． (4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 【变式题5-3】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）项目式学习 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以直角三角形的三条边为边长作正方形，然后由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，如此重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为．根据规则，三位同学分别画出下面不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 (1)如图1所示，小明画出了锐角三角形，计算的值，并写出过程： (2)如图2所示，小金画出了直角三角形，，，计算的值，并写出过程； (3)如图3所示，小山画出了钝角三角形，则___________． 【项目总结】综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论；周长一定的情况下，由___________（选填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的（）总面积最大． 【提升题型】 【题型6】勾股定理与折叠问题 　　解题技巧： 　　（1）折叠前后对应边相等； 　　（2）标出相等线段； 　　（3）在直角三角形设元； （4）列勾股方程求解。 【例题6】.（26-27八年级上·山东烟台·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点落到纸片外部的点处．若交于点，，，则的长为_______． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是(     ) A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图①，的斜边比直角边长，另一直角边长为，求的长． (1)请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程． (2)拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ①求的长． ②的长为___________． 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·二模）如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【题型7】勾股定理的证明 　　解题技巧： 　　（1）用两种方法表示面积； 　　（2）面积相等列等量； 　　（3）恒等变形得定理； （4）理解弦图结构。 【例题7】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦 (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明； 【变式题7-1】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）勾股定理的证明方法有很多种，现有两个完全一样的直角三角形纸片，给出一种摆法，如图所示，利用求面积的方法证明：． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【题型8】勾股定理与实际问题 　　解题技巧： 　　（1）建模为直角三角形； 　　（2）确定直角、斜边； 　　（3）列勾股关系； （4）求值并解释。 【例题8】.（2026七年级上·山东·专题练习）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·山东泰安·期中）海洋上有一座近似于四边形的岛屿，其平面图如图甲所示．小明将该岛抽象为数学模型——四边形(如图乙)．已知，千米，千米，千米，千米，求四边形的面积． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，某小区在临街的拐角建造了一块绿化地阴影部分，测得，，，，且， (1)小区居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了便于出行，开辟了一条从点A直通点C的小路，请问施工完成后，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)求这块绿地的面积． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）受强降雨影响，某地区河流迎来一次洪峰过境．监测数据显示，本次洪峰影响范围可近似看作以洪峰中心为圆心、半径的圆形区域，区域内均会受到江水倒灌与高水位影响．如图，线段表示洪峰中心从地移动到地的路径，是某沿江观测点，且．已知之间相距，之间相距m． (1)判断观测点是否会受到本次洪峰的影响，并说明理由． (2)若洪峰中心的移动速度为m/min，则观测点受洪峰影响的时间有多长？ 【培优题型】 【题型9】最短路径问题 　　解题技巧： 　　（1）展开立体图形成平面； 　　（2）两点间线段最短； 　　（3）用勾股定理求长； （4）比较多条路径。 【例题9】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，公园里一长方体石凳的长为30，宽为20，高为10，点与点的距离为5，一只蚂蚁沿着该长方体石凳的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图所示青岛里院有一条半拱形过街廊道，该廊道可看作一个长方体墙体挖去一个“半圆柱”而成．廊道可供通行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在墙面上，米．管道内有一根光纤线贴着管道内壁从A布设到E，则光纤最短长度为（     ）米． A．18米 B．30米 C．20米 D． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·甘肃张掖·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）问题背景： 如图1，圆柱的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)方法探究：如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． (2)方法应用：如图3，直四棱柱的上下底面是边长为的正方形，高为．从点开始，绕侧面两周，嵌入一条装饰彩条至点停止，求彩条的最短长度； (3)如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对的内壁底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【题型10】勾股定理及其逆定理的综合 　　解题技巧： 　　（1）先证直角（逆定理）； 　　（2）再用勾股定理求值； 　　（3）分段、补形； （4）整体法。 【例题10】.（26-27七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点P运动到的中点时，t的值为________； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·陕西汉中·阶段检测）勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 把两个全等的直角三角形按如图1所示的方式放置，其中点在边上，，，，． (1)与的位置关系为_______． (2)________（用含，的式子表示），________（用含，的式子表示），________（用含的式子表示）．并根据图形的面积关系验证：． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·山东济南·期中）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请根据以上材料完成下列问题： (1)如图2，网格图中每个小方格边长为1，利用“双求法”，求中边上的高； (2)如图3，当网格图中的为钝角三角形时，求中边上的高； (3)如图4，在中，，，，交延长线于点．请用“双求法”（勾股定理）列方程求的长． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）探究解题 (1)问题：如图①，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，连接． ①求证：； ②求证： (2)应用：如图②，在四边形中，．若，，则 （直接写出结论）． 同步练习 一、单选题 1．如图，在数轴上点表示的实数是（     ） A．3 B． C． D． 2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，、（）表示直角三角形的两直角边，若大正方形面积为100，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．小正方形的面积为56 3．已知，，是一个三角形的三边长，如果满足，则三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一架梯子长，底端距墙，则梯子顶端距地面高度为______． 5．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为，则等于________ 6．如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，点对应点为，点对应点为，且，______． 三、解答题 7．如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．求线段的长． 8．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由； (3)求四边形的面积． 9．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． (1)如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． (2)结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 10．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量果树幼苗培育基地的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量果树幼苗培育基地的宽度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，出于保护果树幼苗考虑，培育基地两侧的，周围均被围栏所围，因此，处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点（于点）．用皮尺测得，的长． 测量数据 ，， …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算果树幼苗培育基地的宽度（的长）． 学科网（北京）股份有限公司 $