专题14 解一元一次方程综合题（重难点培优讲义）2026-2027年人教版七年级数学上册
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精品
内容正文：
专题14 解一元一次方程综合题
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01 已知一元一次方程的解，求参数
题型02 一元一次方程解的关系
题型03 含绝对值计算的一元一次方程
题型04 一元一次方程的同解问题
题型05 一元一次方程的含参问题
题型06 一元一次方程的遮挡问题
题型07 一元一次方程中的新定义问题
题型08 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【针对训练】
1．是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
把分别代入方程，逐项判断即可．
【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意；
B. 当 时，，故该选项不符合题意；
C. 当 时，，故该选项不符合题意；
D. 当 时，，故该选项不符合题意；
故选：A ．
2．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
知识点二：解一元一次方程
步骤
具体做法
变形依据
去分母
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式性质1
合并同类项
把方程化为的形式
合并同类项法则
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解
等式性质2
温馨提示：
1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母
（1） 分子是多项式的，去分母后要加括号；
（2） 不要漏乘不含分母的项
去括号
（1） 括号前的数要乘括号内的每一项；
（2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项
（1） 移项时不要漏项；
（2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项
按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1
（1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；
（2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【针对训练】
3．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
根据解一元一次方程的步骤，合并同类项、系数化为即可求出方程的解；
根据解一元一次方程的步骤，移项、合并同类项、系数化为即可求出方程的解．
【详解】（1）解：，
合并同类项得：，
系数化为得：；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：．
4．解下列方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】解：，
去括号，得：
，
即：
，
移项，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为1，得：
．
重难点典例精析
题型1 已知一元一次方程的解，求参数
【例1】已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值．
先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和．
【详解】
去分母，方程两边同时乘以6得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
解得，
因为方程的解是非正整数，即且为整数，而，所以，且是5的负因数，
5的负因数为和，
当时，解得，
当时，解得，
则符合条件的所有整数的和为，
故选：C．
【变式训练】如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______．
(2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值．
(3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解， 理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键．
（1）解方程得到和根据“倒数解方程”的定义求出的值；
（2）解方程求出，则与方程 互为“倒数解方程”的解为 ，再根据与均为整数得或，由此可得出整数的值；
（3）解方程，则方程的解为代入得 ，求出，再将 代入方程得，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程， 得： ，
解方程， 得： ，
根据“倒数解方程”的定义得：，
解得： ，
故答案为：；
（2）解：解方程， 得：，
的倒数为，
∴与方程互为“倒数解方程”的解为：，
与均为整数，
∴或，
由， 解得： ，
由， 解得： ，
综上所述：整数的值为或；
（3）解：解方程， 得： ，
根据“倒数解方程”的定义得：方程的解为：，
将代入，得：，
∴，
∵， ，
∴，
解得：，
∴，
将代入方程，得：
∴，
∴，
整理得：：，
，
．
题型2一元一次方程解的关系
【例2】关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B．26 C．15 D．
【答案】A
【分析】本题考查根据方程的解的关系求参数的值，熟练掌握方程的解得定义是解题关键．求出的解，进而得到的解，再代入到中，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程与的解互为相反数，
∴的解为，
∴，
解得：．
故选：A．
【变式训练】（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数．
（2）解关于的方程：．
【答案】（1）见解析；（2）当时，原方程有唯一解；当时，原方程的解为任意有理数；当时，原方程无解
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键．
（1）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出方程的解即可；
（2）先将方程化简变为，分两种情况：当，当，进行求解即可．
【详解】解：（1）当时，方程的解为；
当时，方程的解为任意实数；
当时，方程无解
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项，并合并同类项得：，
①当，即时，方程有唯一解，解为；
②当，即时，方程可化为；
若，即时，方程总成立，方程的解为任意实数；
若，即时，方程不成立，方程无解；
综上所述：当时，原方程有唯一解；
当时，原方程的解为任意实数；
当时，原方程无解
题型3 含绝对值计算的一元一次方程
【例3】若方程是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，求绝对值，根据一元一次方程的概念得出，，即可求得n的值．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【变式训练】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，则，例如数轴上表示6与的两点之间的距离，请回答下列问题：
(1)数轴上表示和1两点之间的距离d为 ；
(2)，则 ；
(3)若x表示一个有理数，则的最小值为 ；
(4)，则 ．
【答案】(1)6
(2)或
(3)4
(4)3或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程．
（1）由进行求解即可；
（2）由得到，即可求解；
（3）若x表示一个有理数，则根据绝对值的几何意义可得：的意义为表示有理数x的点到及到1的距离之和，据此分类讨论求解即可；
（4）分三种情况讨论，去绝对值，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，
故答案为：6；
（2）解：
，
解得或，
故答案为：或；
（3）解：若x表示一个有理数，则的意义为表示有理数x的点到及到1的距离之和，
当时，；
当时，；
当时，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（4）解：，
当时，，解得；
当时，，该方程无解，舍；
当时，，解得，
∴或，
故答案为：3或．
题型4一元一次方程的同解问题
【例4】解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．84
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及其解法：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解．根据已知可得的系数为0，即，方程的解为：，代入原方程可得的值．
【详解】解：，
不论为何值，的解都相同，
，
，
把代入中，得：，
．
故选：．
【变式训练】已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？
(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
（1）首先求出方程的解，然后代入求解即可；
（2）首先将代入，求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得．
将代入，
得，
解得；
（2）解：由题意，将代入，
得，
解得．
将代入，
得，
解得，
所以这个方程正确的解为．
题型5 一元一次方程的含参问题
【例5】小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可．
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键．
【详解】解：把代入方程，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练】新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”．
(1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______．
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值；
(3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值．
【答案】(1)②
(2)95或97
(3)16
【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断；
（2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值；
（3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果．
【详解】（1）解：一元一次方程的解是，
方程的解是，
，
①不是“景元方程”，不符合题意；
方程的解是或，
当时，，
②是“景元方程”，符合题意，
故答案为：②；
（2）解：∵方程，
即或，
解得或，
方程的解为或，
一元一次方程的解为，
若，，
则，
解得，
若，，
则，
解得，
综上，a的值是95或97；
（3）解：方程，
解得，
，
，
，
，
，
，
分母m不能为0，
，
即，
，
∴．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解．
题型6 一元一次方程的遮挡问题
【例6】小明在做拍照打印出来的作业时，发现方程中的一个常数被黑点遮住了，他翻开书后的答案，发现方程的解是，那么这个被黑点遮住的常数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被黑点遮住的常数为，将代入，得到关于的方程求解即可．
【详解】设被黑点遮住的常数为，将代入中，得
解得：
故选：D．
【变式训练】小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案．
【详解】解：设被污染的正整数为，则有，
∴，
解得，
∵这个方程的解是正整数，
∴是正整数，且为正整数，
∴或或，
∴当或时，不是正整数，
时，，符合题意，
∴被污染的正整数是2．
题型7 一元一次方程中的新定义问题
【例7】定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
∴①当时，则有-2+2b=16，解得，；
②当时，，解得，
综上所述，b的值是9或-9
故选：C
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是明确新定义，会用解一元一次方程．
【变式训练】类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：．
(1)若，求的值；
(2)若，请计算的值；
(3)若，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)2016
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了整式的加减运算和解一元一次方程，解答关键是按照新定义的规则进行计算．
（1）按照新定义，列方程求解即可；
（2）按照新定义，求出，再按照新定义计算得到，利用整体代换方法求值即可；
（3）按照新定义分别计算m和n，再通过比差法比较m，n大小．
【详解】（1）由题意得：
，
∴；
（2）由题意得：
，
即
∴．
；
（3）
，
∴
∴ ．
题型8 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
【例8】已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；先求出两个方程的解，再根据相反数的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
∵两个方程的解互为相反数，
∴，
解得，
故选：．
【变式训练】已知关于的一元一次方程的解比关于的一元一次方程的解大，试求出的值．
【答案】．
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．分别用表示两个方程的解，根据的解比的解大得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：，
解得：，
，
解得：，
∵的解比的解大，
∴，
解得，
∴的值为．
1．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1，
∴
解得．
2．若方程和方程的解相同，则a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．0
【答案】A
【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可．
【详解】解：由得，
把代入方程，
得，
解得．
3．满足的a的值的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在
【答案】C
【分析】原式变形为，再分和两种情况去绝对值讨论，判断解的情况．
【详解】解：原方程可写为，
当，即时，有，这是一个恒等式，当a取任何大于等于2值时都成立，这样的值有无数个，
当，即时，有，解得，不符合，舍去，
综上满足条件的的值有无数个，
故C选项符合题意．
4．平方得的数为_______，若，则_______．
【答案】 或 或
【分析】根据有理数乘方的意义求平方得的数，再化简绝对值方程，根据绝对值的性质求的取值．
【详解】解：求平方得的数：
设这个数为，可得，
∵，，
∴平方得的数是或；
求的值：
已知，
，
则原式可化为，
∵绝对值等于的数为或，
∴或．
5．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______．
【答案】
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值．
【详解】解：解方程得：，
解方程得：，
∵方程和方程有相同的解，
∴，
解得：．
6．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
【答案】45
【分析】将关于的方程变形为与已知关于的方程结构相同的形式，利用整体代换即可求解．
【详解】解：
令，则方程变为
∵关于的方程的解是，
∴，即，
解得．
7．解方程：．
解：①当时，解得；
②当时，解得．
所以原方程的解是或．
(1)解方程：；
(2)解方程：．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键．
（1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可；
（2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：由得：，
当时，；
当时，；
所以原方程的解是或．
（2）解：，
或，
解方程，得，
解方程，得，
所以原方程的解是或．
8．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值；
(2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值；
(3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)的值为2或4或6
(3)
【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键．
（1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值；
（2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据解是正整数，即可求出n的值；
（3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求解．
【详解】（1）解：（1）解方程，得，
解方程，得．
因为方程与方程互为“唯美方程”，
所以，解得．
（2）解：解方程，得．
因为两个一元一次方程互为“唯美方程”，
所以关于的一元一次方程的解为．
因为一元一次方程的解是正整数，也是正整数，
所以是正整数，
所以或或，即或或，
所以正整数的值为2或4或6．
（3）解：解方程，得，
所以关于的一元一次方程的解是．
将整理，得，
所以，解得．
9．定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”．
(1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________．
(2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值．
(3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查一元一次方程的新定义，理解“互换方程”的定义是解题的关键．
（1）根据“互换方程”的定义，即可求解；
（2）根据“互换方程”的定义，得，，计算即可求解；
（3）根据“互换方程”的定义，分别求出方程的解，根据条件“解都是整数”，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，方程的“互换方程”是；
故答案为：；
（2）方程的“互换方程”是，方程与方程是“互换方程”，
，，
，；
（3）方程（）的“互换方程”为，
解得：，
解得：，
方程与的解都是整数，也是整数，
是3的倍数，也是3的因数，
，
则整数的值．
10．根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为（ ）
A．4或 B．4或 C．或 D．或4或
【答案】B
【分析】根据流程图分x为正数和x为负数两种情况，分别建立方程求解即可．
【详解】解：当x为负数时，
∵输出的值为，
∴，
∴，符合题意；
当x为正数时，
∵输出的值为，
∴，
∴
∴，符合题意；
综上所述，x的值为4或．
11．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解．
【详解】解：已知关于的方程的解为，
整理已知方程得，
，
，
该式与整理后的已知方程形式完全相同，
因此可得，
解得．
12．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设，
则方程化为，
此方程与已知方程同解，
已知解为，
故，
即，
解得．
13．已知表示数到的距离，若数轴上点表示的数满足，在下列选项中，的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1.5 D．5
【答案】A
【详解】解：由题意可知，表示数轴上数到和的距离之和．
∵ 表示与的两点间距离为，
∴ 满足等式的的取值范围是．
∵ ，不在上述范围内，
∴ 的值不可能是．
14．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____．
【答案】1
【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可．
【详解】解：根据新运算可得
即如果，那么．
15．如图，在数轴上点表示的数是8，点表示的数是最小的正整数，点表示的数是．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____．
【答案】4
【分析】根据点与点重合得到折痕处的点表示的数，由题意得到点B表示的数是1，设折叠后与点重合的点表示的数是x，列出方程，求解即可．
【详解】解：∵在数轴上点表示的数是8，点表示的数是．若将数轴折叠，使得点与点重合，
∴折痕处的点表示的数为，
∵点表示的数是最小的正整数，
∴点B表示的数是1，
设折叠后与点重合的点表示的数是x，则，
∴，
∴与点重合的点表示的数是4．
16．有一种整式处理器，能将关于x的二次多项式处理成整式．例如：，A经过处理器得到：．已知关于x的二次多项式，经过处理器得到的整式N的值与x的取值无关，则______．
【答案】/
【分析】根据处理方法，列出关于m的方程，进行求解即可．
【详解】解：根据题意，整式处理器将处理成．
∵，
∴，，，
经过处理器后：．
∵整式N的值与x的取值无关，
∴x的系数必须为0，
即：，
解得：．
17．定义：若，则称与是关于的平衡数．
(1)与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数．(用含的代数式表示)
(2)若，，判断与是否是关于的平衡数，并说明理由；
(3)若，，且与是关于的平衡数，若为整数，求整数的值．
【答案】(1)．
(2)是，理由如下．
∵，
∴．
∴与是关于的平衡数．
(3)．
【分析】（1）先把“关于某个数的平衡数”翻译成两数之和等于该数，再由和求所缺的代数式；
（2）先把去括号化简，再算的和，看它是否为定值；
（3）由两式之和为定值列出含、的方程，把它化成两个整数因式之积为定值，再按整数约数逐一讨论．
【详解】（1）解：由定义，两个数若是关于某个数的平衡数，则这两个数之和等于该数．
∵与所求的数是关于的平衡数，
∴所求的数为．
∵与所求的数是关于的平衡数，
∴所求的数为．
（2）略
（3）解：∵与是关于的平衡数，
∴．
∵，
∴，即．
∵都是整数，
∴与都是整数，是的约数．
∴．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
18．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是：．例如：．
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)化简：；
(3)按照这个规定，当时，求的值．
【答案】(1)
的值为
(2)
化简结果为
(3)
的值为
【分析】（1）依据题干给出的行列式运算规则，将行列式转化为有理数混合运算计算即可；
（2）依据行列式运算规则，将行列式转化为整式运算化简即可；
（3）依据行列式运算规则，将等式转化为一元一次方程，解方程即可得到的值．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解：由题意得：
．
19．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”．
(1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值．
【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下：
解第一个方程，
，
，
解第二个方程，
，
解得：，
，
这两个方程不是“和解方程”．
(2)
【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案；
（2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：解第一个方程：，
，
解得：，
解第二个方程，
，
，
解得，
关于的方程与方程是“和解方程”，
，
．
20．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
∴，
∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，
∴，
∴，
解得．
21．在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（ ）
A． B．
C．或 D．不存在能使原方程成立的的值
【答案】D
【分析】本题考查了解绝对值方程，通过分情况讨论绝对值表达式，分别求解并验证是否满足条件，发现所得解均不满足条件，因此方程无解．
【详解】解：方程：，
两边同乘6：，
简化：，
移项：，
情况1：当，，代入得：
，
，
，
∵ 不满足，
∴ 舍去；
情况2：当 ，，代入得：
，
，
，
，
∵ 不满足，
∴舍去．
∴ 原方程无解．
故选：D．
22．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
【答案】D
【分析】结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案．
【详解】第一个正方形左上角数字为：1
第二个正方形左上角数字为：2
第三个正方形左上角数字为：3
…
第n个正方形左上角数字为：n；
第一个正方形右上角数字为：
第二个正方形右上角数字为：
第三个正方形右上角数字为：
…
第n个正方形右上角数字为：
∵题干中最后一个正方形右上角为：18
∴
∴
∴题干中最后一个正方形为第八个正方形；
第一个正方形左下角数字为：
第二个正方形左下角数字为：
第三个正方形左下角数字为：
…
第n个正方形左下角数字为：
第八个正方形左下角数字为：9；
第一个正方形右下角数字为：
第二个正方形右下角数字为：
第三个正方形右下角数字为：
…
第n个正方形右下角数字为：
∵
∴第8个正方形右下角数字为：
故选：D．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．
23．已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值．
【详解】解：对原方程进行化简
，
，
，
方程的解是整数，且为整数，
是2的整数因数，
，
故答案为：．
24．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为____________．
【答案】
【分析】本题考查换元法解方程，通过变量替换求解一元一次方程，将原方程变形后利用解的定义求解即可．
【详解】解：，
，
，
令 ，则方程化为，
∵原方程解为，
∴，即方程的解为，
∵与上述方程同解，
∴其解为；
故答案为：
25．若实数同时满足，则的值为___________．
【答案】64
【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可，
【详解】解：∵，
∴，且
∴；
∴，
把代入得，
又，
所以，当时，，
∴，
解得，
∴；
当时，，即，
∴，
解得，
又，
所以，此种情况不存在；
∴．
26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到．
【详解】（1）解：解方程得：，
解方程得：，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“美好方程”其中一个解为n，
∴另一个解为，
∵“美好方程”的两个解的差为7，
∴或，
解得或．
（3）解：解方程得：，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴的解是，
∵，
∴，
∴，
解得．
27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么__________；
(2)若表示数的点在数轴上，当式子取得最小值时，相应的取值范围是__________，此时式子的最小值是__________；
(3)当__________时，的值最小，最小值是__________；
(4)式子的最小值是__________；
(5)若是正数，则式子的最小值是__________．
【答案】(1)；；或
(2)，
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）利用数轴上两点距离公式直接计算距离，再通过绝对值方程求解参数；
（2）借助绝对值的几何意义分析距离和，偶数个定点时在两点区间上取得最小值；
（3）根据绝对值距离和规律，奇数个定点，取中间点可使距离之和最小；
（4）先确定所有定点，奇数个定点选取中间点，利用对称特点简便计算；
（5）先变形，再确定所有定点，奇数个定点选取中间点，代入计算即可．
【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是；
数轴上表示和两点之间的距离是；
由题意，表示数和两点之间的距离是，可得：，
即，
∴ 或 ，
解得 或．
（2）解：式子的几何意义：数轴上表示数的点到、对应的点的距离之和，
一共有个定点，为偶数个，
∴当取在两点之间（包含端点），即时，距离之和最小，最小值为：．
（3）解：式子的几何意义：数轴上表示数的点到，，对应的点的距离之和，
一共有个定点，为奇数个，
∴当取排在中间第个点对应的数时，式子取得最小值，
从小到大排序：，，，第个点对应的数是，
即当时原式最小，原式．
（4）解：式子表示数轴上数对应的点到对应的点的距离之和，
共有个点，为奇数个，
当取中间位置对应的数时，式子取得最小值，
中间位置是第个点，对应的数为，
即当时，原式最小，
原式
．
（5）解：，
几何意义：数轴上表示数的点，到有段距离、到有段距离、到有段距离、到有段距离、到有段距离的距离总和，
总点数：个，为奇数个，
∴当取排在中间第个点对应的数时，距离总和最小，
从小到大依次计数：前个点对应，第个点对应，
∴第个点对应的数是，即当 时原式最小，
∴原式．
试卷第1页（共3页）
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专题14 解一元一次方程综合题
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01 已知一元一次方程的解，求参数
题型02 一元一次方程解的关系
题型03 含绝对值计算的一元一次方程
题型04 一元一次方程的同解问题
题型05 一元一次方程的含参问题
题型06 一元一次方程的遮挡问题
题型07 一元一次方程中的新定义问题
题型08 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【针对训练】
1．是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
知识点二：解一元一次方程
步骤
具体做法
变形依据
去分母
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式性质1
合并同类项
把方程化为的形式
合并同类项法则
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解
等式性质2
温馨提示：
1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母
（1） 分子是多项式的，去分母后要加括号；
（2） 不要漏乘不含分母的项
去括号
（1） 括号前的数要乘括号内的每一项；
（2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项
（1） 移项时不要漏项；
（2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项
按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1
（1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；
（2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【针对训练】
3．解下列方程：
(1)
(2)
4．解下列方程：
重难点典例精析
题型1 已知一元一次方程的解，求参数
【例1】已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______．
(2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值．
(3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解．
题型2一元一次方程解的关系
【例2】关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B．26 C．15 D．
【变式训练】（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数．
（2）解关于的方程：．
题型3 含绝对值计算的一元一次方程
【例3】若方程是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．5 B．1 C． D．
【变式训练】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，则，例如数轴上表示6与的两点之间的距离，请回答下列问题：
(1)数轴上表示和1两点之间的距离d为 ；
(2)，则 ；
(3)若x表示一个有理数，则的最小值为 ；
(4)，则 ．
题型4 一元一次方程的同解问题
【例4】解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．84
【变式训练】已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？
(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
题型5 一元一次方程的含参问题
【例5】小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式训练】新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”．
(1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______．
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值；
(3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值．
题型6 一元一次方程的遮挡问题
【例6】小明在做拍照打印出来的作业时，发现方程中的一个常数被黑点遮住了，他翻开书后的答案，发现方程的解是，那么这个被黑点遮住的常数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
题型7 一元一次方程中的新定义问题
【例7】定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定
【变式训练】类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：．
(1)若，求的值；
(2)若，请计算的值；
(3)若，比较与的大小，并说明理由．
题型8 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
【例8】已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知关于的一元一次方程的解比关于的一元一次方程的解大，试求出的值．
1．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（ ）
A． B．2 C．1 D．0
2．若方程和方程的解相同，则a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．0
3．满足的a的值的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在
4．平方得的数为_______，若，则_______．
5．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______．
6．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
7．解方程：．
解：①当时，解得；
②当时，解得．
所以原方程的解是或．
(1)解方程：；
(2)解方程：．
8．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值；
(2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值；
(3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解．
9．定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”．
(1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________．
(2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值．
(3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值．
10．根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为（ ）
A．4或 B．4或 C．或 D．或4或
11．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．1 B． C． D．
13．已知表示数到的距离，若数轴上点表示的数满足，在下列选项中，的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1.5 D．5
14．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____．
15．如图，在数轴上点表示的数是8，点表示的数是最小的正整数，点表示的数是．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____．
16．有一种整式处理器，能将关于x的二次多项式处理成整式．例如：，A经过处理器得到：．已知关于x的二次多项式，经过处理器得到的整式N的值与x的取值无关，则______．
17．定义：若，则称与是关于的平衡数．
(1)与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数．(用含的代数式表示)
(2)若，，判断与是否是关于的平衡数，并说明理由；
(3)若，，且与是关于的平衡数，若为整数，求整数的值．
18．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是：．例如：．
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)化简：；
(3)按照这个规定，当时，求的值．
19．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”．
(1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值．
20．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
21．在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（ ）
A． B．
C．或 D．不存在能使原方程成立的的值
22．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
23．已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ．
24．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为____________．
25．若实数同时满足，则的值为___________．
26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么__________；
(2)若表示数的点在数轴上，当式子取得最小值时，相应的取值范围是__________，此时式子的最小值是__________；
(3)当__________时，的值最小，最小值是__________；
(4)式子的最小值是__________；
(5)若是正数，则式子的最小值是__________．
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