专题3.2 代数式的值（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版七年级数学上学期

专题3.2 代数式的值 知识点1：代数式的值的概念 　　1.一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 　　2.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。如代数式，当时为19，当时为-12。 　　3.求代数式的值体现的是从一般到具体、从抽象到具体的转化过程。 知识点2：求代数式的值的步骤 　　求代数式的值有"代入"和"计算"两步： 　　1.代入：用数值代替代数式里的字母，代入时把相应的字母换成给定的数值，其他运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变。 　　2.计算：按照代数式中给出的运算，计算出结果。注意：负数加括号，数与数相乘不能省略"×"，并按照有理数的运算法则和运算顺序进行计算。 　　3.代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同。 知识点3：求代数式的值的常见方法 　　1.直接代入法：已知各字母的具体数值，直接代入代数式计算。 　　2.整体代入法：当无法（或不便）直接求出每个字母的值时，将某一整体看作一个字母，整体代入代数式计算。 　　3.利用非负数条件确定字母值：若几个非负数的和为0，则它们分别等于0，可由此确定字母的值再代入。 　　4.分类讨论法：涉及绝对值、字母正负不确定等问题时，需按字母取值范围分类讨论后求值。 知识点4：几何图形的公式应用 图形 面积（或体积）公式 周长公式 三角形 （a为底，h为高） — 长方形 圆 长方体 — 柱体 — 圆锥 — 　　1.解决几何图形的面积、周长、体积问题时，先根据公式列代数式，再代入数值计算。 　　2.不规则图形的面积常转化为规则图形的面积的和或差来求解（转化思想）。 【基础必考题型】 【题型1】直接代入求代数式的值 1.核心知识点 　　用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算得出结果。 2.解题方法技巧 　　（1）把给定的字母数值代入代数式，注意负数要加括号； 　　（2）数与数相乘不能省略"×"，按有理数运算法则和运算顺序计算； （3）含乘方、括号的代数式，先算乘方、括号，再算乘除、加减。 【例题1】.（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，，且，则的值为________． 【答案】或 【分析】先根据绝对值求出的值，再由确定符合题意的的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴时，；时， ∴或 ∴的值为或． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，且，则的值是（     ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质可得，，结合确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值是2或6． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）已知：，，且，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或， 此时或. 当时，均不满足，舍去. 【变式题1-3】.（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若是5，，且满足，则的值为（    ） A．3 B．3或 C．或 D．13 【答案】D 【分析】首先化简绝对值得到，然后结合已知条件得到，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是5，， ∴， ∴． 【题型2】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　整体思想：把已知的代数式整体看成一个量代入。 2.解题方法技巧 　　（1）观察待求代数式与已知条件的关系，找出整体（如、等）； 　　（2）用待定系数法将待求式变形，凑出已知整体； （3）把已知整体（含符号）整体代入，注意系数和常数的运算。 【例题2】.（2026九年级·河南·专题练习）若，则代数式的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知的值为9，则代数式的值为________． 【答案】7 【详解】解：∵的值为9， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴等式两边同乘，得， ∴将代入所求代数式，得． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）若的值为6，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．根据已知条件推导出，将所求多项式变形降次，用整体代入法计算即可． 【详解】解：由题意得， 移项整理得， 对所求多项式变形： ， ， ， ， 将代入上式，得． 【题型3】由非负数条件求代数式的值 1.核心知识点 　　绝对值和偶次方都是非负数；非负数和为0则各项均为0。 2.解题方法技巧 　　（1）识别、等非负项，当它们的和为0时，令每项等于0； 　　（2）解出字母的值，代入代数式求值； （3）注意互为相反数、互为倒数的条件与字母值的结合。 【例题3】.（26-27七年级上·湖南娄底·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据几个非负数的和为，则每个非负数都为，可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵ 任意实数的绝对值都是非负数． ∴ ，． ∵ ． ∴ ，．解得 ，． ∴ ． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·安徽六安·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性即可求出的值，再将的值代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ． 【变式题3-2】.（26-27六年级上·山东济宁·开学考试）已知与互为相反数，则________． 【答案】 【分析】根据相反数的性质和绝对值的非负性，可得两个绝对值均为0，求出和的值后代入所求式子计算即可。 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∴． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据绝对值非负的性质求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴ ，， ∴． 【题型4】与绝对值有关的代数式求值（分类讨论） 1.核心知识点 　　绝对值化简；字母正负不确定时的分类讨论。 2.解题方法技巧 　　（1）根据字母的取值范围（正、负、零）分类讨论，去掉绝对值； 　　（2）分别求出各情况下代数式的值，注意结果的个数； 　　（3）涉及型分式时，结果为1或-1，需结合a的符号判断。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，下列代数式的值等于3的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分别代入各选项代数式计算即可得出结果． 【详解】解：将分别代入各选项代数式计算， A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，，则式子的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：将，代入得． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·期中）如图，当，时，此图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】利用平移法将不规则图形的周长转化为规则图形（长方形）的周长加上多余线段的长度，并代入数值进行计算． 【详解】解：周长为：， 当，时，代入得． 【题型5】程序流程图（数值转换机）中的代数式求值 1.核心知识点 　　程序流程图的运算规则；循环与判断。 2.解题方法技巧 　　（1）读懂程序框图，按箭头方向依次进行运算，注意判断条件决定走哪个分支； 　　（2）按输入值代入计算，若输出结果满足条件则结束，否则循环继续； （3）找规律（如奇偶分支循环），用于求解多次运算后的结果。 【例题5】.（26-27七年级上·安徽六安·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】计算前几次输出结果，确定循环周期，根据周期推算第2026次的输出． 【详解】解：第1次输出结果为. 第2次输出结果为. 第3次输出结果为. 第4次输出结果为. 第5次输出结果为. 第6次输出结果为. 从第3次起，输出结果以为周期循环. ， 第2026次输出结果为周期内第2个数，即． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过前几次的计算结果发现输出的数值呈现的规律，进而利用规律确定第2026次输出的结果． 【详解】解：第一次输入，则输出 第二次输入，则输出， 第三次输入，则输出， 第四次输入，则输出， 第五次输入，则输出， 第六次输入，则输出， 在接下来的输入中，奇数次输出的结果为，偶数次的输出结果为， 为偶数， 输出的结果为． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2025次输出的结果是___________． 【答案】1 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据流程图，依次输入数值，进行计算，找到规律，即可得出结果． 【详解】解：第一次输入：； 第二次输入：； 第三次输入：； 第四次输入：； 第五次输入：； 第六次输入：； 由上可知，从第二次开始，输出结果以5，1进行循环，奇数次结果为1，偶数次结果为5， ∴第2025次输出的结果是1； 故答案为：1． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． 【培优高频题型】 【题型6】新定义运算求代数式的值 1.核心知识点 　　按新定义运算规则，把已知数代入求值。 2.解题方法技巧 　　（1）理解新定义运算的规则，把运算符号翻译成通常的运算（含字母时用字母表示）； 　　（2）把参与运算的数（或字母值）代入，按规则计算； （3）注意运算顺序，必要时先算括号内，再整体代入。 【例题6】.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，，，求的值． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）根据新运算规定计算即可； （2）先根据a，b在数轴上的位置和绝对值求出a，b的值，再根据新运算规定计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可知：，，且，， 所以，， ∴． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）用“⊙”定义一种新运算： 对于任意有理数、，都有． 例如：． (1)计算与的值； (2)比较（1）中两个结果，你发现了什么结论？请再举一组数验证你的结论； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2)两个结果相等，即． 猜想：这种新运算满足交换律，即， 验证：取，，则 ， ，两者相等，结论成立． (3) 【分析】（1）根据新运算公式，分别把对应数字代入，算出两个式子的结果； （2）对比（1）的计算结果，猜想该新运算满足交换律，再另取一组数代入运算验证猜想； （3）将，，代入新定义运算的公式，直接求值． 【详解】（1）解：根据题意可知， ， ． （2）略 （3）解：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为． (1)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”； (2)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）； (3)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入进行计算． （2）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入，然后化简式子． （3）先分别求出两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等得到和的关系，最后代入代数式求值． 【详解】（1）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （2）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为， 由（2）知方程的“最值码”为， 两个方程的“最值码”相等， ， ，即， ， 所以代数式的值为． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的衍生数．如：2的衍生数是，的衍生数是．已知，是的衍生数，是的衍生数，是的衍生数，…，依此类推，则________． 【答案】 【分析】根据衍生数的定义分别求出、、、…，不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2026除以3，根据商和余数的情况确定即可． 【详解】解：根据衍生数定义可得， ， ， ， …， 显然每3个数循环一次， 又因为，故和的值相等，即． 【题型7】与几何图形有关的代数式求值 1.核心知识点 　　用代数式表示图形面积、周长、体积，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　（1）先根据图形面积（周长、体积）公式列代数式，注意保留π或不规则图形用和差转化； 　　（2）代入字母数值计算，结果精确到指定数位时按四舍五入处理； （3）涉及优惠方案比较（如购房）时，分别列式并代入数值比较大小。 【例题7】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)这条跑道的周长为 （用含的代数式表示）； (2)当时，求这条跑道的周长．（取3.14，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值等知识． （1）根据周长为两条a边长加上一个直径为b的周长求解即可． （2）把代入（1）中的式子计算即可． 【详解】（1）解：这条跑道的周长为∶， 故答案为：． （2）解：当取3.14时， ． 答：这条跑道的周长为． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）某工厂加工一种零件，需要在边长为的正方形中挖出一个半径为的圆（如图所示）． (1)用代数式表示出该零件的面积； (2)当，时，求该零件的面积（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的面积及正方形的面积公式可进行求解； （2）把，，代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：该零件的面积． （2）解∶当，时， 所以该零件的面积为． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在一块长为米，宽为米的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径为米的圆的． (1)求剩余铁皮的面积（即阴影部分的面积）； (2)当时，剩余铁皮的面积是多少？ 【答案】(1)剩余铁皮的面积为平方米 (2)剩余铁皮的面积为平方米 【分析】（1）根据截去的总面积为半径为米的圆的面积进行列式； （2）把直接代入计算即可． 【详解】（1）解：因为截去的总面积为半径为米的圆的面积， 所以剩余铁皮的面积为平方米； （2）当时， 剩余铁皮的面积为平方米． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为c的小正方形，折叠后做成一个无盖的长方体盒子(单位：)． (1)用含a，b，c的代数式表示纸片剩余部分(阴影部分)的面积S． (2)用含a，b，c的代数式表示盒子的体积V． (3)当，，时，求V的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，长方体的体积，熟练掌握定义和公式是解题的关键． （1）利用分割法计算面积解答即可． （2）根据体积公式解答即可． （3）根据求代数式的值基本思路解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得 ． （3）解：当，，时， 【压轴素养题型】 【题型8】实际问题中的代数式求值 1.核心知识点 　　从实际情境中列代数式，再代入数值求值并解决实际问题。 2.解题方法技巧 　　（1）分析实际问题的数量关系，用代数式表示所求量； 　　（2）代入给定的字母数值计算，注意单位的书写与加括号； （3）涉及优惠比较、合算选择等问题时，分别列式代入后比较判断。 【例题8】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）四川航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的支付逾重行李费． (1)若一名旅客所选航班机票票价为950元，且该旅客有行李需办理托运，求该旅客需支付的行李费用（用含的代数式表示）； (2)在（1）条件下，这名旅客托运了的行李，求该旅客购买机票连同逾重行李费共付了多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）把代入（1）所求代数式中，求出代数式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：该旅客需支付的行李费用为元； （2）解：当时，， （元）， 答：该旅客购买机票连同逾重行李费共付了元． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)解：①A网店更合算，理由： A网店：元； B网店：元． ∵， ∴A网店更合算； ②在A网店买60支钢笔（送60个笔袋），在B网店买个笔袋最合算，理由： 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总费用：元． ∵， ∴在A网店买60支钢笔，在B网店买30个笔袋最合算． 【分析】（1）根据A，B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）①把代入两个代数式计算，即可得出结论；②先去A网店买60支钢笔，再去B网店买30个笔袋最合算． 【详解】（1）解：A网店：买60支钢笔送60个笔袋，需额外购买个笔袋， 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总付款：元， B网店：钢笔和笔袋均按付款． 总费用： 元； （2）①略； ②略． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）秋天到了，某学校组织一次秋游活动，学校安排了10名教师带领学生去某景区游学，已知该景区的门票为每人40元．该景区推出甲、乙两种优惠方案，甲方案：教师门票全部免费，学生门票打八折；乙方案：师生门票都打七折．设参加本次秋游活动的学生共有名． (1)请用含的代数式分别表示甲、乙两种方案应付的门票费用； (2)当时，选择哪一种方案更省钱？当呢？ 【答案】(1)甲：元，乙：元 (2)当时，甲方案更省钱；当时乙方案更省钱． 【分析】（1）甲方案根据票价八折学生数列代数式，乙方案根据票价七折师生人数列代数式即可； （2）将n的具体数值分别代入（1）中得到的两个代数式，比较其大小即可得出结论； 【详解】（1）解：甲：（元）； 乙：元． （2）解：当时， 甲：， 乙：． 因为， 所以选择甲方案更省钱． 当时， 甲：， 乙：． 因为， 所以选择乙方案更省钱． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)若学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） 【答案】(1)个． (2)解：当时，（个）． 答：需要购置82个篮球． 【详解】（1）解：由题意得，学校需要购置的篮球总数为个． （2）略 【题型9】规律探究中的代数式求值 1.核心知识点 　　从数字或图形的排列规律中抽象出代数式，再求某一项的值。 2.解题方法技巧 　　（1）列出前几项对应的数量，找出序号与数量的关系，写出含n的代数式； 　　（2）把要求的序号（如第7排、第100个图形、第50种化合物）代入； （3）跨学科情境（如化合物分子结构、民族服饰花纹）中，同样先找规律再代入求值。 【例题9】.（26-27七年级上·天津·阶段检测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为 ，第个等式为 ． (2)利用上述规律，计算：． 【答案】(1)第6个等式为，第10个等式为． (2)4850 【分析】（1）观察题干式子，进行类比即可解答； （2）先观察式子，整理式子，然后将题干等式代入化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 第n个等式为， ∴第6个等式为，第10个等式为． （2）解：依题意可得： ． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为正，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的倍； （3）根据（2）中的规律求出每行中的第10个数，再计算这三个数的和即可． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； （2）解：第①行第n个数为a； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的倍，即第n个数为； （3）解：每行中第10个数的和为： ． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【答案】(1)15 (2)7 (3)①；② 【分析】（1）直接对1到5连续整数求和． （2）先求出x、y、z的值，再代入代数式计算． （3）观察题中给出的式子，归纳得到棋子数的通项表达式，利用裂项相消，中间项全部抵消，简化分数求和． 【详解】（1）解：第5个图案棋子总数： （2）解：由题意得： ，，， ， （3）解：①根据题意得 ， ， ， ， 由此归纳可得：． 当时， ． ②， ， ． 【变式题9-3】.（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 易错点 1、代入负数时忘加括号，导致符号错误，如把代入误算为-4。 2、数与数相乘时省略"×"号，出现运算错误。 3、代入字母时未保持原代数式的运算顺序，改变运算结果。 4、用非负数条件时，只令其中一项为0而忽略其余项，导致字母值求错。 5、整体代入时漏乘系数或漏掉常数项，或未注意整体的符号。 重点 1、掌握代数式的值的概念，会按"代入—计算"两步正确求值。 2、掌握直接代入、整体代入、由非负数条件求值等基本方法。 3、会解决程序流程图、新定义运算、几何图形及实际情境中的求值问题。 难点 1、整体代入法与待定系数法结合的求值技巧。 2、与绝对值、字母正负不确定相关的分类讨论求值。 3、规律探究与跨学科情境中代数式的抽象与求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．若则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由绝对值和平方的非负性，求出a，b的值后代入计算． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ． 2．为3，为2，且，则等于（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵为3，为2， ∴，， 又∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，． 3．有一数值转换器的原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，第三次输出的结果是2，第四次输出的结果是1……则第209次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】寻找输出结果的循环规律即可求解． 【详解】解：由题意得，第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为． 从第2次输出结果开始，4，2，1每3个数循环重复出现， 又， 第209次输出的结果与第2次输出结果相同，是4． 二、填空题 4．对于任意有理数，，定义新运算：，则__________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，代入对应数值，先计算绝对值，再按有理数运算法则计算结果． 【详解】解：根据定义， 将，代入式子，得： ． 5．设x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的有理数，则______． 【答案】 【分析】根据正整数，负整数及绝对值的性质分别得到，，，代入计算即可． 【详解】解：∵x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的数， ∴，，， ∴． 6．若a，b，c，d是互不相等的整数且满足，则的值为________． 【答案】0或或6或或3 【分析】将分解为四个互不相等整数的乘积，根据乘积符号确定负因数个数，再找出符合条件的四个整数求和即可． 【详解】解：∵，是正数， 若四个数均为正整数，最小的四个互不相等正整数乘积为，不成立； 若四个数均为负整数，最小绝对值乘积同样为，不成立； ∴负因数个数只能为个， ①四个互不相等的整数为 ∴； ②四个互不相等的整数为， ∴； ③四个互不相等的整数为 ∴； ④四个互不相等的整数为 ∴ ⑤四个互不相等的整数为 ∴ 综上：的值为0或或6或或3． 三、解答题 7．请根据图示的对话解答下列问题． (1)______；______； (2)已知，求． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据相反数的定义和绝对值的定义求出、的值； （2）根据绝对值的非负性求出、的值，再求代数式的值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ； 的绝对值为最小的正整数， ， ； （2）解：当时， ， ， ，， 解得：，， ； 当时， ， ， ，， 解得：，， ； 综上所述，或． 8．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)分别写出，，x的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)1或 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，， ∴； （2）解：∵； ∴原式， ∴当时，原式； 当时，原式. 9．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意写出第5个等式即可； （2）根据题意可得规律第n个等式：，据此把所求式子中的每一项进行裂项，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …， 以此类推，可知，第n个等式：， ∴ ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 代数式的值 知识点1：代数式的值的概念 　　1.一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 　　2.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。如代数式，当时为19，当时为-12。 　　3.求代数式的值体现的是从一般到具体、从抽象到具体的转化过程。 知识点2：求代数式的值的步骤 　　求代数式的值有"代入"和"计算"两步： 　　1.代入：用数值代替代数式里的字母，代入时把相应的字母换成给定的数值，其他运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变。 　　2.计算：按照代数式中给出的运算，计算出结果。注意：负数加括号，数与数相乘不能省略"×"，并按照有理数的运算法则和运算顺序进行计算。 　　3.代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同。 知识点3：求代数式的值的常见方法 　　1.直接代入法：已知各字母的具体数值，直接代入代数式计算。 　　2.整体代入法：当无法（或不便）直接求出每个字母的值时，将某一整体看作一个字母，整体代入代数式计算。 　　3.利用非负数条件确定字母值：若几个非负数的和为0，则它们分别等于0，可由此确定字母的值再代入。 　　4.分类讨论法：涉及绝对值、字母正负不确定等问题时，需按字母取值范围分类讨论后求值。 知识点4：几何图形的公式应用 图形 面积（或体积）公式 周长公式 三角形 （a为底，h为高） — 长方形 圆 长方体 — 柱体 — 圆锥 — 　　1.解决几何图形的面积、周长、体积问题时，先根据公式列代数式，再代入数值计算。 　　2.不规则图形的面积常转化为规则图形的面积的和或差来求解（转化思想）。 【基础必考题型】 【题型1】直接代入求代数式的值 1.核心知识点 　　用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算得出结果。 2.解题方法技巧 　　（1）把给定的字母数值代入代数式，注意负数要加括号； 　　（2）数与数相乘不能省略"×"，按有理数运算法则和运算顺序计算； （3）含乘方、括号的代数式，先算乘方、括号，再算乘除、加减。 【例题1】.（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，，且，则的值为________． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，且，则的值是（     ） A． B． C．或 D．2或6 【变式题1-2】.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）已知：，，且，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 【变式题1-3】.（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若是5，，且满足，则的值为（    ） A．3 B．3或 C．或 D．13 【题型2】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　整体思想：把已知的代数式整体看成一个量代入。 2.解题方法技巧 　　（1）观察待求代数式与已知条件的关系，找出整体（如、等）； 　　（2）用待定系数法将待求式变形，凑出已知整体； （3）把已知整体（含符号）整体代入，注意系数和常数的运算。 【例题2】.（2026九年级·河南·专题练习）若，则代数式的值为________． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知的值为9，则代数式的值为________． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）若的值为6，则的值为________． 【题型3】由非负数条件求代数式的值 1.核心知识点 　　绝对值和偶次方都是非负数；非负数和为0则各项均为0。 2.解题方法技巧 　　（1）识别、等非负项，当它们的和为0时，令每项等于0； 　　（2）解出字母的值，代入代数式求值； （3）注意互为相反数、互为倒数的条件与字母值的结合。 【例题3】.（26-27七年级上·湖南娄底·阶段检测）若，则的值为_________． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·安徽六安·阶段检测）已知，求的值． 【变式题3-2】.（26-27六年级上·山东济宁·开学考试）已知与互为相反数，则________． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若，则的值为_____． 【题型4】与绝对值有关的代数式求值（分类讨论） 1.核心知识点 　　绝对值化简；字母正负不确定时的分类讨论。 2.解题方法技巧 　　（1）根据字母的取值范围（正、负、零）分类讨论，去掉绝对值； 　　（2）分别求出各情况下代数式的值，注意结果的个数； 　　（3）涉及型分式时，结果为1或-1，需结合a的符号判断。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，下列代数式的值等于3的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，，则式子的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·期中）如图，当，时，此图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【题型5】程序流程图（数值转换机）中的代数式求值 1.核心知识点 　　程序流程图的运算规则；循环与判断。 2.解题方法技巧 　　（1）读懂程序框图，按箭头方向依次进行运算，注意判断条件决定走哪个分支； 　　（2）按输入值代入计算，若输出结果满足条件则结束，否则循环继续； （3）找规律（如奇偶分支循环），用于求解多次运算后的结果。 【例题5】.（26-27七年级上·安徽六安·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式题5-1】.（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2025次输出的结果是___________． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【培优高频题型】 【题型6】新定义运算求代数式的值 1.核心知识点 　　按新定义运算规则，把已知数代入求值。 2.解题方法技巧 　　（1）理解新定义运算的规则，把运算符号翻译成通常的运算（含字母时用字母表示）； 　　（2）把参与运算的数（或字母值）代入，按规则计算； （3）注意运算顺序，必要时先算括号内，再整体代入。 【例题6】.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，，，求的值． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）用“⊙”定义一种新运算： 对于任意有理数、，都有． 例如：． (1)计算与的值； (2)比较（1）中两个结果，你发现了什么结论？请再举一组数验证你的结论； (3)计算的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为． (1)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”； (2)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）； (3)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的衍生数．如：2的衍生数是，的衍生数是．已知，是的衍生数，是的衍生数，是的衍生数，…，依此类推，则________． 【题型7】与几何图形有关的代数式求值 1.核心知识点 　　用代数式表示图形面积、周长、体积，再代入求值。 2.解题方法技巧 　　（1）先根据图形面积（周长、体积）公式列代数式，注意保留π或不规则图形用和差转化； 　　（2）代入字母数值计算，结果精确到指定数位时按四舍五入处理； （3）涉及优惠方案比较（如购房）时，分别列式并代入数值比较大小。 【例题7】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)这条跑道的周长为 （用含的代数式表示）； (2)当时，求这条跑道的周长．（取3.14，结果取整数） 【变式题7-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）某工厂加工一种零件，需要在边长为的正方形中挖出一个半径为的圆（如图所示）． (1)用代数式表示出该零件的面积； (2)当，时，求该零件的面积（取3.14） 【变式题7-2】.（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在一块长为米，宽为米的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径为米的圆的． (1)求剩余铁皮的面积（即阴影部分的面积）； (2)当时，剩余铁皮的面积是多少？ 【变式题7-3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为c的小正方形，折叠后做成一个无盖的长方体盒子(单位：)． (1)用含a，b，c的代数式表示纸片剩余部分(阴影部分)的面积S． (2)用含a，b，c的代数式表示盒子的体积V． (3)当，，时，求V的值． 【压轴素养题型】 【题型8】实际问题中的代数式求值 1.核心知识点 　　从实际情境中列代数式，再代入数值求值并解决实际问题。 2.解题方法技巧 　　（1）分析实际问题的数量关系，用代数式表示所求量； 　　（2）代入给定的字母数值计算，注意单位的书写与加括号； （3）涉及优惠比较、合算选择等问题时，分别列式代入后比较判断。 【例题8】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）四川航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的支付逾重行李费． (1)若一名旅客所选航班机票票价为950元，且该旅客有行李需办理托运，求该旅客需支付的行李费用（用含的代数式表示）； (2)在（1）条件下，这名旅客托运了的行李，求该旅客购买机票连同逾重行李费共付了多少元？ 【变式题8-1】.（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）秋天到了，某学校组织一次秋游活动，学校安排了10名教师带领学生去某景区游学，已知该景区的门票为每人40元．该景区推出甲、乙两种优惠方案，甲方案：教师门票全部免费，学生门票打八折；乙方案：师生门票都打七折．设参加本次秋游活动的学生共有名． (1)请用含的代数式分别表示甲、乙两种方案应付的门票费用； (2)当时，选择哪一种方案更省钱？当呢？ 【变式题8-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)若学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） 【题型9】规律探究中的代数式求值 1.核心知识点 　　从数字或图形的排列规律中抽象出代数式，再求某一项的值。 2.解题方法技巧 　　（1）列出前几项对应的数量，找出序号与数量的关系，写出含n的代数式； 　　（2）把要求的序号（如第7排、第100个图形、第50种化合物）代入； （3）跨学科情境（如化合物分子结构、民族服饰花纹）中，同样先找规律再代入求值。 【例题9】.（26-27七年级上·天津·阶段检测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为 ，第个等式为 ． (2)利用上述规律，计算：． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【变式题9-3】.（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 易错点 1、代入负数时忘加括号，导致符号错误，如把代入误算为-4。 2、数与数相乘时省略"×"号，出现运算错误。 3、代入字母时未保持原代数式的运算顺序，改变运算结果。 4、用非负数条件时，只令其中一项为0而忽略其余项，导致字母值求错。 5、整体代入时漏乘系数或漏掉常数项，或未注意整体的符号。 重点 1、掌握代数式的值的概念，会按"代入—计算"两步正确求值。 2、掌握直接代入、整体代入、由非负数条件求值等基本方法。 3、会解决程序流程图、新定义运算、几何图形及实际情境中的求值问题。 难点 1、整体代入法与待定系数法结合的求值技巧。 2、与绝对值、字母正负不确定相关的分类讨论求值。 3、规律探究与跨学科情境中代数式的抽象与求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．若则的值为（     ） A． B． C． D． 2．为3，为2，且，则等于（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．有一数值转换器的原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，第三次输出的结果是2，第四次输出的结果是1……则第209次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 4．对于任意有理数，，定义新运算：，则__________． 5．设x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的有理数，则______． 6．若a，b，c，d是互不相等的整数且满足，则的值为________． 三、解答题 7．请根据图示的对话解答下列问题． (1)______；______； (2)已知，求． 8．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)分别写出，，x的值； (2)的值． 9．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：； (2)求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $