精品解析：广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

2027届高三（上）期中考试（数学） （本卷满分150分　　考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 2. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质估计的范围，再计算的范围，结合平方根的性质估计，由此可得结论. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，故， 又， ， 所以. 3. 设函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. −3 B. −1 C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且，所以. 4. 设是上的奇函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合奇函数性质可得，，由此可得，根据此关系可得结论. 【详解】因为，所以，即， 因为是上的奇函数，所以，， 所以，即， 所以， 所以. 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用切化弦的思想求解即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 6. 在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将以为基底表示，再根据数量积的运算公式，求得数量积. 【详解】， ， ∴ . 故选：D. 7. 若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知整理得，再由已知得 ，则数列的通项公式为 ，根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，由此可得选项. 【详解】因为，整理得，由已知得， 所以，则有，所以，所以数列的通项公式为，所以， 又，个位数字为2；，个位数字为4；，个位数字为8；，个位数字为6， 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以与的个位数字相同，所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查根据数列的递推关系求数列的通项，以及数列的周期性，关键在于将已知的递推关系进行因式分解，得出数列的通项公式，再得出数列的个位数字的周期性得以解决. 8. 过抛物线:焦点的直线与相交于点A，B（AFBF），与准线相交于，过线段AB的中点且垂直于AB的直线与抛物线的准线交于，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的斜率为()，直线方程为，代入抛物线方程应用韦达定理得， ，求出中点的坐标，写出的方程，求得， 然后由已知条件可求得斜率，再分别求出即可. 【详解】由题意，设直线的斜率为()，直线方程为，， 由得， ，， ， ，，即， 直线的方程为， ， ∵， ∴， 整理得，∵，∴，∴倾斜角为．∴ 把代入,可得, ,所以. 故选：. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以，当且仅当时取等号， 故本选项正确； B：因为，，所以有，当且仅当时取等号，故本选项正确； C：因为，当且仅当时取等号，所以本选项不正确； D：因为，，所以有，当且仅当时取等号，所以本选项不正确， 故选：AB 10. 若复数不是纯虚数，且，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的模为 D. 在复平面内对应点在第二象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，代入化简，列关于的方程组，求解出复数，再对选项逐一判断. 【详解】设，因为，所以，所以，所以，所以或，因为复数不是纯虚数，所以，所以z的实部为，虚部为，模为，z在复平面上的点位于第二象限. 故选：ABD． 11. 如图， 已知矩形 平面 ， 且 ， 点 为线段 (除端点外) 上的一点． 沿直线 将 向上翻折成 ， 为 的中点， 则下列说法正确的有 （ ） A. 三棱锥的体积为 B. 当点固定在线段 某位置时，则在某圆上运动 C. 当点在线段上运动时，则在某球面上运动 D. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，求出体积即可判断；对B，根据可判断；对C，根据保持不变即可判断；对D，可求出求到平面距离的最小值，过A作的垂线，求出即可得出. 【详解】A：，故A错误； 当点在线段上运动时，保持不变，即的轨迹为以A为球心，半径为1的球面的一部分，故C正确； 则当固定点E时，可知点在球面被平面截得的圆弧上，即在某圆上运动，故B正确； D：， 求三棱锥的体积的最小值即求到平面距离的最小值， 即求到面距离的最小值，且. 过A作的垂线，垂足为H，因为平面，所以， 因为，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以可得平面， 因为在以A为球心，半径为1的球面上运动， 则到面距离的最小值为，. 所以三棱锥的体积的最小值，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】将代入相应的分段函数即可求解. 【详解】 故答案为：1. 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 14. 若关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为，设，根据函数的单调性得到，设，求出函数的最小值，求出的取值范围即可. 【详解】由题意知，，将原不等式变形可得， 即， 设，则， 所以在上单调递增， 当时，原不等式显然成立； 当时，在上单调递增， ， 设，则， 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 故， 故答案为：. 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 中，，，分别是角，，的对边，且有. （1）求角； （2）当，时，求的面积. 【答案】（1）或或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角的大小； （2）先根据余弦定理求出边的长度，再根据三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 即， 所以或， 解得或或. 【小问2详解】 因为，，所以， 根据余弦定理得， 所以，即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以的面积的面积为或. 16. 记等差数列的前n项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）设，求（用含n的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和． 【小问1详解】 设等差数列首项，公差， ， 化简：，解得：， 通项：. 【小问2详解】 设①， 两边乘：②， ①②，错位相减： ， 则， 所以， 即. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1）；84 （2）74 （3）62；37 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百分位数即可； （2）根据频率分布直方图计算平均数即可； （3）根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1， 可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得样本平均数为 ． 【小问3详解】 可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为． 18. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明: ，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； （2）①； ②不存在，理由如下： 设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 【解析】 【分析】（1）依题意可证出平面，即可证得； （2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出； ②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②不存在，理由略. 19. 已知数列满足，，，函数． （1）证明：数列是等差数列． （2）求使不等式成立的最小正整数的值． （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由可得，， 则，即， 又，故数列是以首项为1，公差为1的等差数列. （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）对已知条件进行变形，结合等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）的结论求出，再利用对数运算性质化简，得到关于的不等式后，通过构造函数或试值法求解最小正整数即可. （3）通过分离常数即换元法将不等式变为，构造函数，结合单调性与最值的关系，求出的最小值，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以. . 则. 则不等式可化为. 设， 因为，在定义域内均为增函数， 所以在定义域内为增函数， 又， 令，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，又， 所以，即，也即当时，. 因为，所以，所以，即当时，. 所以不等式成立的最小正整数的值为3. 【小问3详解】 若恒成立，即恒成立. 令，则的取值集合为，且， 则不等式可化为，即恒成立. 设，， 则. 令，， 则 . 当时，，，， 所以，则在上单调递增，故，则， 故在上单调递增. 当时，， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三（上）期中考试（数学） （本卷满分150分　　考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. −3 B. −1 C. 0 D. 3 4. 设是上的奇函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 6. 在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 7. 若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数，则为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线:焦点的直线与相交于点A，B（AFBF），与准线相交于，过线段AB的中点且垂直于AB的直线与抛物线的准线交于，若，则为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若复数不是纯虚数，且，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的模为 D. 在复平面内对应点在第二象限 11. 如图， 已知矩形 平面 ， 且 ， 点 为线段 (除端点外) 上的一点． 沿直线 将 向上翻折成 ， 为 的中点， 则下列说法正确的有 （ ） A. 三棱锥的体积为 B. 当点固定在线段 某位置时，则在某圆上运动 C. 当点在线段上运动时，则在某球面上运动 D. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积的最小值为 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，则________. 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 14. 若关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 中，，，分别是角，，的对边，且有. （1）求角； （2）当，时，求的面积. 16. 记等差数列的前n项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）设，求（用含n的代数式表示）． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 18. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足，，，函数． （1）证明：数列是等差数列． （2）求使不等式成立的最小正整数的值． （3）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $