精品解析：上海市建平中学西校2026-2027学年上学期七年级数学期中测试卷

2026学年度第一学期七年级数学学科期中质量监测 （完卷时间：90分钟） 一．选择题：（本大题共6题） 1. 单项式的次数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合完全平方公式特征的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ） A. 10 B. 17 C. 15 D. 8 6. 如图所示，有两张完全相同的大正方形纸片甲、乙，从纸片甲的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片乙的四个顶点处．图中已标出裁剪后甲、乙纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图中阴影部分）． ①；②． 关于上述①、②两个观点，下列说法正确的是（ ） A. ①、②均正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②均错误 二．填空题：（本大题共12题） 7. 如果单项式与是同类项，那么 ___________． 8. 把多项式按照字母升幂排列为________． 9. 计算：___________．（结果用幂的形式表示） 10. 计算：________． 11. 已知，，则的值是________． 12. 若，则x的值是________． 13. 若关于的整式是某个整式的平方，则负数的值是________． 14. 因式分解：_______________________． 15. 已知，，则_____． 16. 第届世界技能大赛于月日晚在上海闭幕，中国代表团获得枚金牌、枚银牌、枚铜牌，其中，，满足，则中国代表团一共获得金、银、铜奖牌________枚． 17. 已知，，则的值是________． 18. 在我国南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》（年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，借助这个规律，解决问题： ①的展开式中从左起第三项的系数是________． ②展开式中各项系数之和是________． ③利用“贾宪三角”解决星期推算问题：如果今天是星期二，那么过了天后是星期________．（写中文数字） 三．简答题：（本大题共6题） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算： 22. 计算： 23. 因式分解： 24. 因式分解：． 四．解答题：（本大题共3题） 25. 先化简，再求值：，其中，． 26. 如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为n，m（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为20． （1）用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积； （2）连接，则四边形的面积是多少？ 27. 根据以下素材，完成下列任务： 素材 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为，即原式，其中，则． 素材 多项式与多项式相乘后，若积中指定次数项不出现（说明合并后该项系数为）．若积中指定项系数为给定数值，同样依靠合并同类项，根据系数条件列方程求解． 问题解决 （1）任务：特例求解 当________，________时，关于的多项式不含项和项． （2）任务：探究关系 已知，且的值与的取值无关，求的值． （3）任务：进阶探究 已知二次三项式与多项式（、为常数）相乘．积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值． （4）拓展应用 月崇明金沙橘正当上市，上海某鲜果门店计划购进甲、乙两种橘子礼盒共盒进行销售，甲种金沙橘礼盒每盒进价元，每盒售价元；乙种普通蜜橘礼盒每盒进价元，销售利润率为．购进礼盒后，门店决定：每售出一盒甲种金沙橘礼盒，返还顾客现金元，乙种礼盒售价不变．设购进甲种金沙橘礼盒盒，当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求的值． 五．综合题：（本大题共1题） 28. 阅读与思考： 阅读材料：“整体思想”是初中代数中非常重要的数学思想：我们可以把一部分代数式看成一个完整的整体，不急于拆开展开计算，通过配方、换元等变形方式，结合完全平方公式简化问题． 材料①利用整体思想配方（拆添项法）： 对于二次三项式，可以直接写成完全平方，这里我们把看作一个整体．但不能直接写成完全平方，我们可以添上、再减去，构造出完全平方式，再用平方差公式因式分解： 同时，配方之后，还可以借助平方的非负性，研究代数式的最值． 材料②利用整体思想换元： 当题目中出现两个重复的整体式子时，我们可以设这两个整体为，利用恒等式求值． 例“若满足，求的值”． 解：设，，则，， 那么． 请你运用上面的整体思想，完成下面问题： （1）用拆添项法因式分解：； （2）代数式是否存在最值？如果有，请说明是最________值（填“大”或“小”），且取得最值时的取值为________； （3）若满足，则的值是________； （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期七年级数学学科期中质量监测 （完卷时间：90分钟） 一．选择题：（本大题共6题） 1. 单项式的次数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是单项式的次数，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数；把单项式中所有字母的指数相加即可得到单项式的次数． 【详解】解：∵， ∴单项式的次数是5次； 故选B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对各选项逐一计算： A选项，，该选项不符合题意； B选项，，该选项不符合题意； C选项，，该选项符合题意； D选项，，该选项不符合题意． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，符合因式分解的定义，是因式分解； C、右边展开为，与左边不相等，不是因式分解； D、右边的是分式，不是整式，不符合因式分解的定义，不是因式分解． 4. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合完全平方公式特征的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【详解】解：完全平方公式对应的乘法式子特征为两个二项式各项均对应相同或均互为相反数． ①、③、④、⑥均满足一项相同、一项互为相反数，不符合完全平方公式特征． ∵②中两项均互为相反数， ∴符合完全平方公式特征． ∵⑤中两项均互为相反数， ∴符合完全平方公式特征． 综上，符合的共2个． 5. 若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ） A. 10 B. 17 C. 15 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 6. 如图所示，有两张完全相同的大正方形纸片甲、乙，从纸片甲的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片乙的四个顶点处．图中已标出裁剪后甲、乙纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图中阴影部分）． ①；②． 关于上述①、②两个观点，下列说法正确的是（ ） A. ①、②均正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②均错误 【答案】D 【解析】 【分析】设小正方形边长为，利用原正方形边长相等建立方程求出及原边长，分别表示出、，计算和差即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为， ∵甲、乙是完全相同的大正方形纸片， ∴ 解得， 原大正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴观点①错误， ∴， ∴观点②错误． 二．填空题：（本大题共12题） 7. 如果单项式与是同类项，那么 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义；所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得： ∴， 故答案为：． 8. 把多项式按照字母升幂排列为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为． 9. 计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 已知，，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 将已知，代入上式 ∴． 12. 若，则x的值是________． 【答案】、、0 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当且时，当为任意数时，当且为偶数时，分别计算即可． 【详解】解：当且时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当且为偶数时，，此时； 综上，x的值为、、0． 13. 若关于的整式是某个整式的平方，则负数的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ 关于的整式是某个整式的平方， ∴ 该式符合完全平方公式的结构，可写成的形式， 展开得， 对比原式对应项的系数，可得， ∵ 题目要求取负数的值， ∴ ． 14. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：把原式看作以a为未知数、b为常数的二次三项式， ∵二次项可拆分为， ∵常数项拆分为和时，交叉相乘求和为，与原式一次项完全匹配， ∴原式． 15. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方．根据幂的乘方运算法则，求得， 再利用同底数幂乘除法法则和将原式化成含有、的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案是：． 16. 第届世界技能大赛于月日晚在上海闭幕，中国代表团获得枚金牌、枚银牌、枚铜牌，其中，，满足，则中国代表团一共获得金、银、铜奖牌________枚． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ 奖牌总数为． 17. 已知，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求代数式进行因式分解，将其转化为已知等式左侧的两个式子的乘积，再整体代入已知值计算即可． 【详解】解： ， 已知，， ∴代入上式计算得． 18. 在我国南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》（年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，借助这个规律，解决问题： ①的展开式中从左起第三项的系数是________． ②展开式中各项系数之和是________． ③利用“贾宪三角”解决星期推算问题：如果今天是星期二，那么过了天后是星期________．（写中文数字） 【答案】 ①. 21 ②. ③. 三 【解析】 【分析】根据杨辉三角下一行中间数等于上一行肩上两数之和的规律，依次推导至第7行；②令，，代入即可得到系数和规律；③将转化为，利用展开式规律判断除以7的余数，进而推算星期． 【详解】解： ①由杨辉三角的规律可知： 的系数为：1，4，6，4，1， 的系数为：1，5，10，10，5，1， 的系数为：1，6，15，20，15，6，1， 的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式中从左起第三项的系数是21， ②令，， 则展开式中各项系数之和为， 展开式中各项系数之和是， ③，根据杨辉三角规律，的展开式中，除最后一项外，其余各项均含有因数7， 除以7的余数与除以7的余数相同， ， 除以7余1， 今天是星期二 ， 过了天后是星期三． 三．简答题：（本大题共6题） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项完成整式计算． 【详解】解：原式 ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，本题先算同底数幂、幂的乘方和积的乘方，以及合并同类项法则，解题的关键是掌握这些运算法则． 本题先分别计算、、，再算加减． 【详解】解： 21. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】 ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用积的乘方逆运算结合平方差公式逐步化简，减少高次幂直接展开的计算量． 【详解】解： ． 23. 因式分解： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 24. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 四．解答题：（本大题共3题） 25. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，值为． 【解析】 【详解】解： ， 代入，，原式． 26. 如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为n，m（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为20． （1）用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积； （2）连接，则四边形的面积是多少？ 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据两个正方形的面积和减去两个三角形面积和即可求出阴影部分的面积； （2）根据四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积为： ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵正方形和正方形的面积之差为20， ∴， ∴四边形的面积 ． 27. 根据以下素材，完成下列任务： 素材 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为，即原式，其中，则． 素材 多项式与多项式相乘后，若积中指定次数项不出现（说明合并后该项系数为）．若积中指定项系数为给定数值，同样依靠合并同类项，根据系数条件列方程求解． 问题解决 （1）任务：特例求解 当________，________时，关于的多项式不含项和项． （2）任务：探究关系 已知，且的值与的取值无关，求的值． （3）任务：进阶探究 已知二次三项式与多项式（、为常数）相乘．积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值． （4）拓展应用 月崇明金沙橘正当上市，上海某鲜果门店计划购进甲、乙两种橘子礼盒共盒进行销售，甲种金沙橘礼盒每盒进价元，每盒售价元；乙种普通蜜橘礼盒每盒进价元，销售利润率为．购进礼盒后，门店决定：每售出一盒甲种金沙橘礼盒，返还顾客现金元，乙种礼盒售价不变．设购进甲种金沙橘礼盒盒，当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据项和项的系数为，即可解答； （2）化简，再让的系数为，即可解答； （3）将乘积化简，根据积中不出现二次项，且一次项系数为，列二元一次方程即可解答； （4）表示出利润，再根据该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求得的值即可． 【小问1详解】 解：关于的多项式不含项和项， ， 解得； 【小问2详解】 解： ， 的值与的取值无关， ， 解得； 【小问3详解】 解： 积中不出现二次项，且一次项系数为， ， 解得； 【小问4详解】 解：根据题意可得利润为, 当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时， 解得． 五．综合题：（本大题共1题） 28. 阅读与思考： 阅读材料：“整体思想”是初中代数中非常重要的数学思想：我们可以把一部分代数式看成一个完整的整体，不急于拆开展开计算，通过配方、换元等变形方式，结合完全平方公式简化问题． 材料①利用整体思想配方（拆添项法）： 对于二次三项式，可以直接写成完全平方，这里我们把看作一个整体．但不能直接写成完全平方，我们可以添上、再减去，构造出完全平方式，再用平方差公式因式分解： 同时，配方之后，还可以借助平方的非负性，研究代数式的最值． 材料②利用整体思想换元： 当题目中出现两个重复的整体式子时，我们可以设这两个整体为，利用恒等式求值． 例“若满足，求的值”． 解：设，，则，， 那么． 请你运用上面的整体思想，完成下面问题： （1）用拆添项法因式分解：； （2）代数式是否存在最值？如果有，请说明是最________值（填“大”或“小”），且取得最值时的取值为________； （3）若满足，则的值是________； （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）大， （3）7 （4）144 【解析】 【分析】（1）将原式整理得，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式配方得，据此求解即可； （3）设，，则，，利用完全平方公式变形计算即可求解； （4）由题意得，，，可得，设，，据此计算可得图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴原式有最大值，取得最值时的取值为； 【小问3详解】 解：设，， ∵， ∴，， ∴； 【小问4详解】 解：正方形的边长为，，， ，， 长方形的面积是32，即， 设，，则，， 阴影的面积， 答：图中阴影部分的面积为144． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $