精品解析：陕西榆林市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026~2027学年度第一学期期中阶段作业 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数（为常数，且）的图象经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3 3. 若是关于的二次函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 4. 将方程用配方法化为的形式，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 11 5. 若二次函数（、为常数）的图象开口向下，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知反比例函数（为常数，且），若点，都在该函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某社区舞蹈爱好者在广场排练，演员恰好排成一个正方形方阵，后来又有一批演员加入，方阵增加了2行2列（仍为正方形方阵），这时总人数恰好比原来人数的2倍少28人．设原方阵每行有人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（，为常数），与时的函数值相等，且它的图象与轴的两个交点之间的距离为6，若点、在该函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 15 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 10. 抛物线的对称轴是直线__________． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为__________． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象不经过第__________象限． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且，）的图象经过点、，轴于点，轴于点，连接、，若与的面积之和为6，则的值为__________． 14. 如图，线段，点是线段上的一个动点（不与端点重合），在的同侧分别以、为边作正方形和正方形．若，则这两个正方形的面积之和最小为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线的顶点坐标． 17. 已知反比例函数（为常数）的图象的一支位于第三象限，求整数的最大值． 18. 已知，．求当为何值时，与互为相反数． 19. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的新抛物线的解析式． 20. 某汉服体验馆为研学团队提供包场服务，包场费用固定不变．当参加人数为45时，人均费用为30元，设团队的人均费用为（元），参加人数为（人）． （1）求关于的函数解析式； （2）若某团队参加此次研学的人数为50，求该团队的人均费用． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 22. 已知二次函数（、、为常数，且）的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为． （1）__________，该二次函数与轴的另一个交点的坐标为__________； （2）求这个二次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出它的草图． 23. 冬季来临，某超市以30元/顶的价格购进一款棉帽，并以50元/顶的价格出售，平均每月的销售量为200顶．现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每顶每降价1元，月销售量就会增加20顶．设每顶棉帽降价（）元． （1）每顶棉帽的售价为__________元，每月的销售量为__________顶；（用含的式子表示） （2）若该超市想要这款棉帽的月销售利润达到4500元，求每顶棉帽要降价多少元？ 24. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点与点关于轴对称，点是反比例函数第四象限图象上一点，连接、，若的面积为6，求点的坐标． 25. 无人机物资投送正逐步走进应急救援等场景．在一次应急救援演练中，一架无人机在离地面的高度沿水平方向匀速飞行，在点处释放一箱救援物资，物资下落的路线可看作抛物线的一部分，点是抛物线的顶点，以点正下方地面上的点为原点，水平地面为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知当物资下落到与点的水平距离为时，离地面的高度为． （1）求物资下落路线所在抛物线的函数解析式； （2）在与点水平距离为的处有一道高为的防护网（看作与地面垂直的线段），物资能否从防护网上方越过？若能，请求出落地点到防护网的距离；若不能，请说明理由． 26. 解决问题 （1）【问题探究】如图1，在中，，，于点，点在边上（不与点、重合），连接．设，． ①求关于的函数解析式； ②若，求最小时的值． （2）【问题解决】某文旅小镇的三个热门景点、、的位置的示意图如图2所示，构成等腰，其中，规划者计划在的中线上建一个游客服务中心，再从服务中心向三个景点铺设三条小路，并用的大小来衡量服务中心到三个景点的便捷程度（值越小越便捷）．已知，，记，求服务中心建在与点的距离多远处时，的值最小，最小值是多少？（服务中心的大小和小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中阶段作业 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入即可求得c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴将代入可得：， 解得：． 2. 若反比例函数（为常数，且）的图象经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】解：将，代入，得，解得． 3. 若是关于的二次函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 是关于的二次函数， ∴ 且， 由，得，即， 由，得， ∴ ． 4. 将方程用配方法化为的形式，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边同时加， 得， 即， 则． 5. 若二次函数（、为常数）的图象开口向下，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， 即． 各选项中只有B选项的满足． 6. 已知反比例函数（为常数，且），若点，都在该函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据k的符号判断反比例函数图象所在象限，结合点的横坐标符号判断函数值正负． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． ∵点的横坐标， ∴点A在第二象限，． ∵点的横坐标， ∴点B在第四象限，． ∴． 7. 某社区舞蹈爱好者在广场排练，演员恰好排成一个正方形方阵，后来又有一批演员加入，方阵增加了2行2列（仍为正方形方阵），这时总人数恰好比原来人数的2倍少28人．设原方阵每行有人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别表示原、新方阵的总人数，根据“新总人数比原人数的2倍少28”的等量关系列方程，再变形对应选项． 【详解】解：原方阵总人数为． 增加2行2列后新方阵每行有人，总人数为． 由题意得， 移项得． 8. 已知二次函数（，为常数），与时的函数值相等，且它的图象与轴的两个交点之间的距离为6，若点、在该函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，结合与x轴两交点的距离确定函数解析式，代入计算的值． 【详解】解：∵与时的函数值相等， ∴二次函数图象的对称轴为直线； ∵图象与x轴两交点间的距离为6，两交点关于对称轴对称， ∴两交点的横坐标分别为，， ∴二次函数的解析式为， 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 10. 抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】3 【解析】 【分析】题干给出的抛物线为顶点式形式，可直接利用顶点式的对称轴特征求解． 【详解】解：抛物线的顶点式为（），其对称轴为直线； 将题干中的抛物线与顶点式形式对比，可得对应参数； 因此该抛物线的对称轴为直线． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式列不等式，求解参数的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程没有实数根， ∴ 该方程的根的判别式满足， ∵ 该方程中二次项系数，一次项系数，常数项， ∴， ∴， 解得． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象不经过第__________象限． 【答案】二 【解析】 【详解】解：， ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，位于第一象限， 当时，，即抛物线与轴交于点，位于轴负半轴． 可知抛物线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且，）的图象经过点、，轴于点，轴于点，连接、，若与的面积之和为6，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意，，函数图象在第一象限，可得，因此与的面积都等于，结合两个三角形面积之和为，列出方程即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，轴，轴， ，． ， ， 解得． 14. 如图，线段，点是线段上的一个动点（不与端点重合），在的同侧分别以、为边作正方形和正方形．若，则这两个正方形的面积之和最小为__________． 【答案】80 【解析】 【分析】先设，则，根据条件求出自变量的取值范围，再列出面积和的二次函数表达式，结合二次函数开口方向，在取值范围内求最小值． 【详解】解：设，则，其中，． 由，得 解得，即． 设两个正方形面积之和为， ， 该二次函数中，，抛物线开口向上，对称轴为直线． 在时，随的增大而减小． 又， 当时，取得最小值， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原方程可变形为， 移项，得， 因式分解，得，即， 解得，． 16. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）把点代入即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点． ∴， 解得 【小问2详解】 由（1）得到抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 17. 已知反比例函数（为常数）的图象的一支位于第三象限，求整数的最大值． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象的一支位于第三象限， ， 解得， ∴整数的最大值为1． 18. 已知，．求当为何值时，与互为相反数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义可得，利用因式分解法解方程即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：当与互为相反数时，， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的新抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图象的平移，解题的关键是掌握图象的平移．先将抛物线化为顶点式，即，再利用平移规则即可得答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的解析式是，即． 故答案为： 20. 某汉服体验馆为研学团队提供包场服务，包场费用固定不变．当参加人数为45时，人均费用为30元，设团队的人均费用为（元），参加人数为（人）． （1）求关于的函数解析式； （2）若某团队参加此次研学的人数为50，求该团队的人均费用． 【答案】（1） （2）27元 【解析】 【分析】（1）由题意知所求函数关系式为反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）求出自变量为50时的函数值即可． 【小问1详解】 解：由题意知该函数是反比例函数，设， ∵当参加人数为45时，人均费用为30元， ∴， ， 关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴该团队的人均费用为27元． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得判别式为正数，解不等式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，，代入中即可求得m的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意，得，， ， 解得，符合题意， 的值为1． 22. 已知二次函数（、、为常数，且）的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为． （1）__________，该二次函数与轴的另一个交点的坐标为__________； （2）求这个二次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出它的草图． 【答案】（1），． （2）； 【解析】 【分析】（1）由抛物线与y轴交点的坐标可确定c的值；由抛物线的对称性质可求得二次函数与轴的另一个交点的坐标； （2）由抛物线的对称轴可得，由此可得二次函数的解析式为，再把代入解析式中，即可求解；根据函数解析式，在坐标系中描出5个点并用光滑的曲线连接即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点, ∴； ∵抛物线的对称轴为直线，它与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的另一个交点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意可得，则， ∴二次函数的解析式为， 将代入上式，得， 解得，则， ∴这个二次函数的解析式为． 描点、连线得到该二次函数的图象省略． 23. 冬季来临，某超市以30元/顶的价格购进一款棉帽，并以50元/顶的价格出售，平均每月的销售量为200顶．现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每顶每降价1元，月销售量就会增加20顶．设每顶棉帽降价（）元． （1）每顶棉帽的售价为__________元，每月的销售量为__________顶；（用含的式子表示） （2）若该超市想要这款棉帽的月销售利润达到4500元，求每顶棉帽要降价多少元？ 【答案】（1）， （2）5元 【解析】 【分析】（1）用原售价减去降价即得现售价；原销量200顶加上因降价而增加的销量即得每月现在实际的销量； （2）每顶棉帽的利润乘月销量等于月销售利润，得到一元二次方程，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：每顶棉帽要降价5元． 24. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点与点关于轴对称，点是反比例函数第四象限图象上一点，连接、，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求得k，进而求得反比例函数解析式； （2）由一次函数解析式可求得点B的坐标，进而求得点C的坐标，由面积关系可求得点D的纵坐标的绝对值，再根据点D所在的象限即可确定其纵坐标，从而可求得其横坐标，进而得点D的坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，解得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ， ∵的面积为6， ， 解得． ∵点是反比例函数第四象限图象上一点， ，则， ∴点的坐标为． 25. 无人机物资投送正逐步走进应急救援等场景．在一次应急救援演练中，一架无人机在离地面的高度沿水平方向匀速飞行，在点处释放一箱救援物资，物资下落的路线可看作抛物线的一部分，点是抛物线的顶点，以点正下方地面上的点为原点，水平地面为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知当物资下落到与点的水平距离为时，离地面的高度为． （1）求物资下落路线所在抛物线的函数解析式； （2）在与点水平距离为的处有一道高为的防护网（看作与地面垂直的线段），物资能否从防护网上方越过？若能，请求出落地点到防护网的距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点，利用待定系数法求解； （2）求出当时的函数值，并与6比较即可判断能否越过防护网，再求出抛物线与x轴的交点的正横坐标，可求出落地点到防护网的距离． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为，点在抛物线上． 设抛物线的函数解析式为（）， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，． ， ∴物资能从防护网上方越过． 令，得， 解得，（舍）， ， ∴落地点到防护网的距离为． 26. 解决问题 （1）【问题探究】如图1，在中，，，于点，点在边上（不与点、重合），连接．设，． ①求关于的函数解析式； ②若，求最小时的值． （2）【问题解决】某文旅小镇的三个热门景点、、的位置的示意图如图2所示，构成等腰，其中，规划者计划在的中线上建一个游客服务中心，再从服务中心向三个景点铺设三条小路，并用的大小来衡量服务中心到三个景点的便捷程度（值越小越便捷）．已知，，记，求服务中心建在与点的距离多远处时，的值最小，最小值是多少？（服务中心的大小和小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①；② （2）服务中心建在与点距离远处时，的值最小，最小值是 【解析】 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得的值；分两种情况：点在线段上；点在线段上；利用勾股定理即可求解； ②易得，再代入得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，进而求得，由线段垂直平分线的性质得；设，则，再求得，代入S中，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①，，， ， ． 当点在线段上时，，则； 当点在线段上时，，则． 关于的函数解析式为． ②由，得， ． ， ∴当时，取得最小值，即最小时的值为5． 【小问2详解】 解：，是的中线，， ，， 是的垂直平分线，， ． 设，则． ， ， ， ， ∴当时，取得最小值，， ∴服务中心建在与点距离远处时，的值最小，最小值是15200． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $