精品解析：陕西省榆林市清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若关于x方程是一元二次方程，则a的值不可以为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 078 0.81 080 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 4. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 6 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则________． 10. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，则____________ 11. 若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是________． 12. 燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是________． 13. 如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 17. 如图，直线，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，求的长． 18. 智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 19. 为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是____________； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 20. 如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 21. 用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 22. 如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 23. “泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 24. 手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 25. 如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． （1）求证：； （2）若，求长度． 26. 【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：B． 2. 下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 3. 篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键． 根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案． 【详解】解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是， 故选：C． 4. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程判别式求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，利用判别式公式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得， 故选：D． 6. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据照片的长、宽及空白边的宽度，可得出图案部分的长为，宽为，结合图案部分的面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设空白边的宽度为，根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再列出比例求出的长． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】解：由可得， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，则____________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求得方程是解题的关键． 首先根据求得方程，再解方程得出另一个解即可． 【详解】解：将代入方程中， ∴，解得：， ∴，解得：，， ∴方程的另一个解是， 故答案为：． 12. 燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查利用树状图求得结果的概率，画树状图是解题的关键． 首先依据题意画出树状图，根据树状图得到最终的结果即可． 【详解】解：如图，画树状图， 共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，从而可得，再说明是的中点，结合，可说明是等腰三角形，再证明是等边三角形．然后利用中位线的性质求得，从而可求得． 【详解】解：由矩形的性质可知，，， ∴． ∵， ∴是的中点． ∵， ∴等腰三角形， 即， ∴， 即是等边三角形． 又∵，， ∴是中点． 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用公式法解一元二次方程． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 16. 围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 【答案】估计盒子里白色棋子的数量有颗 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，已知概率求数量，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出摸到白棋的频率，再利用频率估计概率，从而可利用概率求数量． 【详解】解：∵一共摸了次，有次摸到白棋， ∴摸到白棋的频率， ∴估计摸到白棋的概率是， ∴估计盒子里白色棋子的数量为（颗） 答：估计盒子里白色棋子的数量有颗． 17. 如图，直线，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出，再根据由平行截线列出比例式求解． 【详解】解：，， ． ， ． ，，， ， ， 的长为． 18. 智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 【答案】该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意列出一元二次方程，求出x的值，并根据题意取舍即可． 【详解】解：设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为． 19. 为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是____________； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接利用概率公式求解； （2）画出树状图，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修． 九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们两人选择的劳动课程相同的情况有5种， 所以他们两人选择的劳动课程相同的概率为． 20. 如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 21. 用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况； （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 ∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 22. 如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【小问1详解】 解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； 【小问2详解】 解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 23. “泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 【答案】这段河流宽度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明，根据相似三角形的性质列出比例求得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这段河流的宽度为． 24. 手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润 （2）张阿姨每天的销售利润不能达到260元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用。 （1）设当每个手工编织挂件降价x元时，根据“张阿姨每天可获得192元利润”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润； 【小问2详解】 解：张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 理由如下： 设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， 由题意，得， 整理，得， ， 所以该方程没有实数根． 所以张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 25. 如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 26. 【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）①设，得出，求出，，，根据的面积为6，求出正方形的面积为，得出，解方程求出，即可得出答案； ②连接，并延长交于点H，连接，证明，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）①解：设， ，， ， ，，， 又的面积为6，正方形的面积为， ， ， 整理得：， ， ， ， 在中，； ②解：如图，连接，并延长交于点H，连接． ∵在①的条件下，， 在正方形中，， ，， ∴点M是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， 又， ， 在中，， ，点N是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $