精品解析：河北廊坊市广阳区2026-2027学年度第一学期阶段性练习九年级数学

2026-2027学年度第一学期阶段性练习 九年级数学 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则另一根为（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 关于三个函数，，的共同点，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 对称轴是轴 D. 随的增大而增大 5. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 9. 根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A. B. C. D. 10. 若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在“探索二次函数的系数，，对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 14. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 15. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为________． 16. 一段抛物线，，记为，它与轴交于点，，将以过垂直于轴的直线为对称轴做轴对称变换得，交轴于点；将以过垂直于轴的直线为对称轴做轴对称变换得，交轴于点；…如此进行下去．若在某段抛物线上，则______． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 18. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，设斜边长为，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． （1）当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）若抛物线向左平移三个单位后再向上平移，平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_____； （2）求证：一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根． 22. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由，并求出获利的最大值． 24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标识．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问 题 情 境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，杯体DEC近似看成抛物线状(杯体厚度不计)，当杯中盛满水时的最大深度． （1）任务一：如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． ①E点坐标为_____，C点坐标为____ ②求杯体的抛物线解析式． （2）任务二：如图3，把瓷杯绕点缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面与杯口的夹角为时停止倾斜(水面与 轴相交于点，与杯体相交于点)．求此时杯里水面的宽度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性练习 九年级数学 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数是2；④二次项系数不为0，逐项判断即可． 【详解】A：含有x，y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B：满足全部条件，是一元二次方程； C：没有说明，当时不是二次方程，不符合题意； D：是多项式，不是等式，不是方程，不符合题意． 2. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 3. 已知是方程的一个根，则另一根为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系，结合是方程的一个根得，解出即可得答案. 【详解】解：设方程的另一根为，根据根与系数的关系，结合是方程的一个根得：，解得：. ∴方程的另一根为. 4. 关于三个函数，，的共同点，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 对称轴是轴 D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】三个函数的二次项系数符号不同，开口方向、最值、增减性与系数符号相关，对称轴与系数无关，可据此判断共同性质． 【详解】解：∵开口向下，有最高点， 、开口向上，有最低点， ∴A、B不符合题意； ∵三个函数的对称轴均为轴， ∴C符合题意； ∵三个函数的增减性均以轴为界，两侧变化趋势相反， ∴D不符合题意． 5. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. ∵， ∴，， ∴顶点坐标为. 6. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 7. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质，先看抛物线与轴交点判断的符号；再利用对称轴公式，结合对称轴位置判断的正负． 【详解】解：，则． 抛物线与轴交于正半轴， 当时，， 所以． 对称轴公式：，代入 ． 图像对称轴在轴右侧，即， ，得． 综上：，． 8. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得出，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 9. 根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的取值正负变化，确定方程根的所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 10. 若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将各选项点的横坐标代入抛物线解析式，验证函数值是否与纵坐标相等即可． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ． 将各选项坐标代入验证： 选项：把代入右边，得，该点满足解析式． 、选项：把代入右边，得，其值不一定等于或，这两个点不一定在抛物线上． D选项：把代入右边，得，该点满足解析式． 故选：、． 11. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 12. 如图，在“探索二次函数的系数，，对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将求的最大值转化为求当时函数的最大值，根据二次函数图象经过的点的位置特征进行判断． 【详解】解：令，则， 即求 时函数值的最大值， ∵，，的纵坐标相同， 这三点在同一条直线上，不存在经过、、 三点的二次函数， 若二次函数图象经过点，则当 时，，即， 此时图象可能经过、、 或、、， 若二次函数图象经过、、 三点， ，， 抛物线的对称轴为直线， 在抛物线上，且 ∴抛物线开口向下，顶点在直线上，且顶点的纵坐标大于点D的纵坐标2， ∴当时，， ∵， ∴当抛物线经过、、 三点时，取得最大值． 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【答案】 ①. 2 ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 14. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，自变量加上： ； 再向上平移个单位，常数项加上： ． 所以平移后抛物线表达式为． 15. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为： 16. 一段抛物线，，记为，它与轴交于点，，将以过垂直于轴的直线为对称轴做轴对称变换得，交轴于点；将以过垂直于轴的直线为对称轴做轴对称变换得，交轴于点；…如此进行下去．若在某段抛物线上，则______． 【答案】 2 【解析】 【分析】求出的坐标，根据轴对称变换的性质得出抛物线 是依次向右平移3个单位得到的，进而将转化为范围内的值求解． 【详解】 解：令 ，则， 解得，， ， 是关于直线对称得到的， 的形状与相同，且相当于向右平移 3 个单位得到的， 同理，相当于向右平移3个单位，即向右平移6个单位， 抛物线相当于向右平移个单位， ， 点在第676段抛物线上，其纵坐标与上横坐标为1的点的纵坐标相同， 当时，， ． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）， （2）​， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得：， 【小问2详解】 解： 解得：​， 【小问3详解】 解： 或 解得：， 【小问4详解】 解： 解得：， 18. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，设斜边长为，求的值． 【答案】 的值为 【解析】 【详解】解：由题意，斜边长为，则两条直角边的长分别为， 由勾股定理得  ， 解得，， ∵三角形边长为正数，当时，不符合题意，舍去； ∴． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． （1）当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）联立抛物线和直线解析式，然后根据题意得到，求出即可求出该抛物线的表达式． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：令， 整理得，， ． ∵抛物线与直线只有一个交点， ，即， 解得， ∴抛物线的表达式为． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）若抛物线向左平移三个单位后再向上平移，平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）分别令、代入抛物线解析式，求出交点坐标； （2）利用平行四边形性质求出点坐标，设平移后的解析式，代入点求出向上平移的距离，再化为一般式． 【小问1详解】 解：当时，，得． 当时，，解得． ，． 【小问2详解】 解：，，在轴上，为水平线段． 四边形是平行四边形， ． 也为水平线段，点与点纵坐标相等，即． 根据顶点顺序，将点向左平移个单位得到点， ． 抛物线向左平移3个单位，得 ； 设再向上平移个单位，平移后解析式为： 把代入： 解得 ． 平移后抛物线顶点式为． 展开化为一般式： ． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_____； （2）求证：一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，原方程的倒方程为． ∵ 该方程的二次项系数为， ∴ 该方程是一元二次方程， 其根的判别式 ， ∵ ， ∴ ，即， ∴ 一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换原方程二次项系数与常数项的位置，一次项系数不变，直接写出倒方程； （2）先写出倒方程的表达式，确认其为一元二次方程后，计算根的判别式，通过配方证明判别式恒大于0，即可得证． 【小问1详解】 解： 根据定义，一元二次方程的倒方程为． 原方程中，，，， ∴倒方程为； 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3；函数图象，如图所示： （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当时，； 【小问3详解】 解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由，并求出获利的最大值． 【答案】（1） 每件应降价4元； （2） 不认同小明的说法，每天获利的最大值为2880元，理由如下： 设每件降价x元，每天总盈利为y元，， 由题意得 整理得 配方得 ， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故降价超过20元后，降价越多每天获利越少，小明的说法错误， 当时，y取得最大值2880元． 【解析】 【分析】（1）根据总盈利每件盈利销售量的等量关系列一元二次方程，结合降价幅度的限制选取符合题意的根； （2）将总盈利表示为降价金额的二次式，通过配方分析其增减性，判断说法正误并求出最大利润． 【小问1详解】 解：设每件降价x元，由题意得， 每件盈利为元，每天销售量为件， 所以， 整理得， 解得，， ， 不符合题意，舍去； 【小问2详解】 略 24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标识．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问 题 情 境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，杯体DEC近似看成抛物线状(杯体厚度不计)，当杯中盛满水时的最大深度． （1）任务一：如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． ①E点坐标为_____，C点坐标为____ ②求杯体的抛物线解析式． （2）任务二：如图3，把瓷杯绕点缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面与杯口的夹角为时停止倾斜(水面与 轴相交于点，与杯体相交于点)．求此时杯里水面的宽度. 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据条件写出、的坐标，②利用待定系数法求解即可； （2）通过等腰三角形的性质可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，通过直线和抛物线的解析式求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离即可求解； 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴杯体的抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ∴， ∴杯里水面的宽度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $