精品解析：陕西省教育联盟2026-2027学年高二第一学期期中考试检测数学试卷

2026～2027学年度高二第一学期期中考试检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解. 【详解】，的虚部是1. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可. 【详解】由题，， 故，故D正确. 3. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 5. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，为假命题的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先明确所有直线都存在倾斜角，倾斜角的取值范围是，只有倾斜角不等于90°时直线才有斜率，斜率等于倾斜角的正切值，再逐一核验；A可利用垂直轴的直线无斜率判定错误；B直接对照倾斜角范围判定正确；C注意正切值相等的角不唯一，角度必须落在内才是倾斜角；D分清倾斜角和斜率的对应关系，不能颠倒二者概念，从而找出全部假命题. 【详解】∵直线倾斜角的范围：， 斜率公式：；当时，斜率不存在， ∴A. 垂直于轴的直线，倾斜角为，斜率不存在， 故不是所有直线都有斜率，假命题， B. 由倾斜角定义，倾斜角取值范围是，真命题， C. 斜率，不一定满足， 如，直线倾斜角为，不是，假命题， D. 若斜率为，则，倾斜角是，不是，概念混淆，假命题. 10. 已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. C. 点到直线的最大距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】使用直线与圆的几何法求弦长，点到直线的距离公式，勾股定理求解. 【详解】∵圆的方程为，其圆心坐标为，故A错误； 圆心到直线的距离，故B正确； 点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，即，故C正确； ∵在中，，则，故D错误，故选BC． 11. 如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（ ） A. B. 和所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法逐项判断. 【详解】取中点，连接，因为，为中点， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面. 以为原点，分别以过与垂直、平行的直线为轴、轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A：，，所以，A正确； 对于B：，设和所成角为，则， 又，所以，B错误； 对于C：，则点到直线的距离 ，C正确； 对于D：设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， 解得，即，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线过原点不不过原点两种情况，当直线过原点时，设直线方程是，当直线不过原点时，这直线. 【详解】当直线过于原点时，设直线，代入点，得， 所以直线方程是，即， 当直线不过原点时，设直线方程，代入点，得，解得， 所以直线方程是. 故答案为：或 13. 已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【解析】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案. 【详解】 由已知可得，圆的圆心，半径，且有. 则圆心到直线：的距离. 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离. 由题意易知，则，， 所以有，即，所以. 又，，所以，，所以. 所以圆心到直线的距离， 所以，直线与圆总相交， 又，所以被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的方程是， 即. 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 16. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，，是的直径， 所以，且，因此可知四边形为平行四边形， 可知，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥性质特征可证明四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，， 因为，，因此为正三角形； 所以，即， 由圆锥性质易知平面，平面， 所以，因此三条直线两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 取，可知，， 所以 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 又，设直线与平面所成的角为， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知点在圆上，直线平分圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由弦的中垂线过圆心，求出圆心坐标，圆上的点到圆心距离为半径，得出圆的标准方程； （2）分直线斜率存在与不存在，利用圆心到直线距离等于半径，求切线方程. 【小问1详解】 点在圆上，且直线平分圆， 线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心， 线段的中点坐标为，斜率， 则线段的中垂线方程为：，即， 由，解得，即圆心坐标为， 圆'C的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过点且与圆相切的直线， ①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切， ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 有，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 【答案】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，设， 则，解得，即. 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为， 所以即，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 又，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明. （2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，解得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. ， 所以平面和平面夹角的大小为 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，最后根据三角形面积公式求解； （2）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件构造方程求解； （3）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件求解． 【小问1详解】 直线过点，斜率为， 直线的方程为：，一般式方程为：， 圆是以为圆心，半径的圆， 圆心到直线的距离， 弦长， 的面积． 【小问2详解】 ，设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，则，根据韦达定理得： ， ， ， ， 即，化简得，解得， 直线的斜率为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，根据韦达定理得： ， ，，的斜率分别为，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高二第一学期期中考试检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 5. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，为假命题的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 10. 已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. C. 点到直线的最大距离为 D. 11. 如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（ ） A. B. 和所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 13. 已知函数满足，则函数的解析式为_______ 14. 已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知点在圆上，直线平分圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $