陕西省渭南市杜桥中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

渭南市杜桥中学高二第一学期期中考试 数学试卷 考试时长：120 分钟　　总分：150 分 命题人：王　燕　　审核人：郝金妮 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆 的长轴长为（　　） A． B． C． D． 2．直线 的图象可能是（　　） 3．已知点 ，，若 是直线 的方向向量，则直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 4．已知双曲线 （，）的一条渐近线过点 ，则双曲线离心率为（　　） A． B． C． D． 5．圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值和最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．已知抛物线 的焦点为 ， 点在抛物线上， 点在圆 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知双曲线 （，）的右顶点为 ，若以点 为圆心，以 为半径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．直线 的方程为 ，则（　　） A．直线 斜率必定存在 B．直线 恒过定点 C． 时直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 D． 时直线 的倾斜角为 10．若过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率可为（　　） A． B． C． D． 11．已知 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的周长为 B． C．点 到 轴的距离为 D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 13．点 关于直线 的对称点 的坐标为 ________． 14．已知直线 与抛物线 （）交于 ， 两点，且 （ 为原点），则抛物线方程为 ________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）直线 经过两直线 和 的交点． （1）若直线 与直线 垂直，求直线 的方程； （2）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程． 16．（15 分） （1）若圆经过点 ，，，求这个圆的方程； （2）求与圆 同圆心，且与直线 相切的圆的方程． 17．（15 分）已知 ， 两点，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 18．（17 分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 19．（17 分）已知椭圆 （）的长轴长为 ，点 在 上． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），求 的值． 渭南市杜桥中学高二期中考试（数学） 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市杜桥中学高二第一学期期中考试 数学试卷 考试时长：120 分钟　　总分：150 分 命题人：王　燕　　审核人：郝金妮 参考答案与解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆 的长轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，，长轴长为 ． 【解答】由 得 ，所以长轴长 ．故选 D． 2．直线 的图象可能是（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】直线的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，二者异号． 【解答】当 时，斜率 ，截距 ；当 时，斜率 ，截距 ． 即直线必过第一、三象限且截距为负，或过第二、四象限且截距为正． A 中斜率与截距同正，C 中斜率为 ，D 中斜率与截距同负，均不可能；B 中斜率负、截距正，符合．故选 B． 3．已知点 ，，若 是直线 的方向向量，则直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方向向量的斜率即直线的斜率，． 【解答】，所以 ， 由 且 得 ．故选 A． 4．已知双曲线 （，）的一条渐近线过点 ，则双曲线离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】渐近线为 ，代入点求 ，再用 ． 【解答】点 在渐近线 上，所以 ， ．故选 B． 5．圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最大距离等于圆心到直线的距离加上半径． 【解答】圆心为 ，半径 ，圆心到直线的距离 ， 所以最大距离为 ．故选 A． 6．已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值和最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】令 ，即 与圆有公共点，用圆心到直线的距离不大于半径求解． 【解答】设 ，则直线 与圆 有公共点， 圆心 到直线的距离 ， 两边平方得 ，即 ，所以 ．故选 B． 7．已知抛物线 的焦点为 ， 点在抛物线上， 点在圆 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 等于 到准线的距离，，再用三点共线（水平方向）估计． 【解答】抛物线 的焦点 ，准线 ，圆心 ，半径 ． 设 ，则 ，且 ， 所以 ，当 与 的纵坐标相同且 时取等号． 故最小值为 ．故选 A． 8．已知双曲线 （，）的右顶点为 ，若以点 为圆心，以 为半径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与渐近线方程，由 得两交点横坐标之比为 ，结合韦达定理求 ． 【解答】，渐近线 ．把 代入 得 ． 由 知 ，于是 ，（）， 消去 得 ），即 ，， 所以 ．故选 B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．直线 的方程为 ，则（　　） A．直线 斜率必定存在 B．直线 恒过定点 C． 时直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 D． 时直线 的倾斜角为 【答案】BC 【分析】 时直线为 ，斜率不存在；再逐项判断定点、截距与倾斜角． 【解答】A：当 时 ，斜率不存在，A 错； B：把 代入恒成立，B 正确； C： 时 ，与 轴交于 、与 轴交于 ，面积 ，C 正确； D： 时 ，斜率 ，倾斜角为 ，D 错．故选 BC． 10．若过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率可为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设斜率 ，由圆心到直线的距离不大于半径列出关于 的不等式． 【解答】设 ，即 ，圆心 ，半径 ， 则 ，即 ，解得 ． 比较选项， 与 符合．故选 BD． 11．已知 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的周长为 B． C．点 到 轴的距离为 D． 【答案】ABC 【分析】，，；用余弦定理与面积公式求出 ，再逐项计算． 【解答】，，，，． A：周长 ，正确； 由余弦定理 ，得 ； B：，正确； C：，得 ，正确； D：，错误．故选 ABC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 【答案】 【分析】两直线平行需 且不重合． 【解答】由 得 或 ． 当 时， 与 表示同一条直线，舍去； 当 时，，，两直线平行．故 ． 13．点 关于直线 的对称点 的坐标为 ________． 【答案】 【分析】用点关于直线对称的坐标公式（或垂直、中点两个条件）． 【解答】设 ，则 且 的中点在 上： ，且 ， 解得 ，，即 ． 14．已知直线 与抛物线 （）交于 ， 两点，且 （ 为原点），则抛物线方程为 ________． 【答案】 【分析】联立消元后用韦达定理表示 、，由 求 ． 【解答】把 代入 得 ，． ． 由 得 ，即 ，． 所以抛物线方程为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15．（13 分）直线 经过两直线 和 的交点． （1）若直线 与直线 垂直，求直线 的方程； （2）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】先求交点 ；（1）由垂直关系求斜率；（2）分斜率存在与不存在两种情况用点到直线距离公式． 【解答】联立两直线方程得交点 ． （1）直线 的斜率为 ，故 的斜率为 ， ，即 ． （2）若 斜率不存在，则 ，点 到它的距离为 ，符合题意； 若 斜率存在，设 ，即 ， 由 得 ， 两边平方解得 ，此时 ． 综上， 的方程为 或 ． 16．（15 分） （1）若圆经过点 ，，，求这个圆的方程； （2）求与圆 同圆心，且与直线 相切的圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用待定系数法（设一般式）；（2）先化标准式求圆心，再求圆心到直线的距离作为半径． 【解答】（1）设圆的方程为 ， 代入三点得方程组 ，，， 解得 ，，，所以圆的方程为 ． （2）圆 化为 ，圆心为 ， 圆心到直线 的距离 ，即所求半径为 ， 所以所求圆的方程为 ． 17．（15 分）已知 ， 两点，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】（1）设 ，平方化简；（2）由弦长求圆心到直线的距离，再列方程． 【解答】（1）设 ，由 得 ， 化简得 ，即轨迹 是圆心为原点、半径 的圆． （2）圆心到直线 的距离 ， 又 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 ． 18．（17 分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设 ，代入点求 ；（2）用“点差法”求斜率． 【解答】（1）设 （），把 代入得 ，， 所以抛物线方程为 ． （2）设 ，，则 ，， 两式相减得 ， 因为 是 的中点，所以 ， 于是 ， 所以 ，即 ． 19．（17 分）已知椭圆 （）的长轴长为 ，点 在 上． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），求 的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1），代点求 ；（2）联立后用韦达定理表示 ，注意判别式大于 ． 【解答】（1）由 得 ，把 代入 得 ， 解得 ，所以椭圆 的方程为 ． （2）把 代入 得 ， 由 得 ， ，， ， 由 得 ， 解得 ，所以 ． 渭南市杜桥中学高二期中考试（数学）·答案 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $