专题04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（ 21个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【知识点02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【知识点03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【知识点04】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【知识点05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【知识点06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【知识点07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【知识点08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【知识点09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 核心方法：当时，方程叫做圆的一般方程. 【例1-1】（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1-2】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【变式1-1】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【考点题型二】求圆的方程 【例2-1】（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【例2-2】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，， (1)求所在的直线的方程； (2)求过，，三点的圆的一般方程； 【变式2-1】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知三个顶点，，． (1)求边上中线、边上高线的直线方程的一般式； (2)求外接圆的一般方程． 【变式2-2】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【变式2-3】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知的三个顶点分别为，，.求： (1)的面积； (2)的外接圆的方程. 【考点题型三】判断直线与圆的位置关系 核心方法：几何法或代数法 【例3-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【例3-2】（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【变式3-1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式3-2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式3-3】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【考点题型四】由直线与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例4-1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）若直线与圆相切，则（     ）. A． B． C． D． 【例4-2】（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为______ 【变式4-1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【变式4-2】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【考点题型五】根据直线与圆位置关系求距离最值 【例5-1】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【例5-2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式5-1】2（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【考点题型六】直线与圆相交（韦达定理应用） 核心方法：代数法联立，求韦达定理 【例6-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【例6-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【变式6-1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【变式6-2】（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 【考点题型七】过圆上一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例7-1】（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【例7-2】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； 【变式7-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【考点题型八】过圆外一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例8-1】（26-27高二上·全国·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【例8-2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 【变式8-1】（多选）（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27高二上·浙江·阶段检测）已知圆C经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式8-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【考点题型九】切线长 核心方法：勾股定理 【例9-1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例9-2】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【变式9-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． (1)求的轨迹方程． (2)过作的切线，求切线方程及切线段长． 【变式9-3】（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【考点题型十】已知切线求参数 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径）+代数法 【例10-1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【例10-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【变式10-1】（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式10-2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【变式10-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 【考点题型十一】切点弦及其方程 【例11-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【变式11-1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【变式11-2】（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【变式11-3】（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求切线的方程； (2)求切点弦所在直线的方程． 【考点题型十二】直线与圆综合（圆的弦长） 核心方法： 【例12-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 【例12-2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)过点的直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求. 【变式12-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长． 【变式12-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 【变式12-3】（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【考点题型十三】已知圆的弦长求方程或参数 核心方法： 【例13-1】（26-27高二上·陕西渭南·期中）已知 ， 两点，动点 满足 ． (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 【例13-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知两点，，且动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 【变式13-1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知圆：，直线过点． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【变式13-2】（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 【变式13-3】（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）已知，圆，直线经过点. (1)若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； (2)若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 【考点题型十四】直线与圆的实际应用 核心方法：建系法 【例14-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【例14-2】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【变式14-1】（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【变式14-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【变式14-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【考点题型十五】直线与圆的定点、定值问题 核心方法：韦达定理 【例15-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【例15-2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【变式15-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【变式15-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【变式15-3】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【考点题型十七】直线与圆的位置关系中的最值问题 核心方法：几何法 【例16-1】（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，若圆C与y轴相切，与x轴交于A，B两点，且．直线l：． (1)求圆C的方程； (2)过直线l上的点P作圆的切线，切点为T，求当切线长最小时P点坐标； (3)M，N为圆C上两动点，且，求中点Q到直线l的距离的最小值． 【例16-2】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【变式16-1】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【变式16-2】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【变式16-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【考点题型十七】判断圆与圆的位置关系 核心方法：几何法 【例17-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【例17-2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式17-1】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式17-2】（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【变式17-3】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【考点题型十八】由圆与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例18-1】（25-26高二上·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例18-2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【变式18-1】（26-27高二上·全国·期中）已知圆与圆:外切，则实数的值为______. 【变式18-2】（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【变式18-3】（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【考点题型十九】圆的公切线条数 核心方法：几何法 【例19-1】（26-27高二上·广东惠州·期中）圆与圆的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例19-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【变式19-1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式19-3】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【考点题型二十】相交圆的公共弦方程 核心方法：作差 【例20-1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例20-2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【变式20-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式20-3】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【考点题型二十一】相交圆的公共弦长 核心方法： 【例21-1】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【例21-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. . 【变式21-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【变式21-2】（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）圆与圆的公共弦长为______ 【变式21-3】（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 一、单选题 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知的圆心为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（26-27高二上·全国·期中）过三点、、的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知长度为4的线段的两个端点和均在圆：上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·河南·阶段检测）直线被圆截得的弦长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、切点分别为A、B，则直线过定点（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·广东东莞·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·吉林·期中）已知圆：和圆：关于直线对称，点、点分别是圆、直线上的动点，，则（    ） A． B．直线的方程为 C．的最小值是 D．的最小值是 10．（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知圆：，圆：，则（    ） A．若，则圆与圆相切 B．若，则圆在轴上截得的弦长为 C．若，则直线为圆与圆的一条公切线 D．若，则圆与圆公共弦所在的直线为 三、填空题 11．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 12．（26-27高二上·江西赣州·阶段检测）若实数满足，则的最大值是____________. 四、解答题 13．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 14．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 15．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过点P作圆O的切线，，切点分别为A，B． (1)当点P的坐标为时，求切线方程； (2)当取最大值时，求的外接圆方程． 16．（26-27高二上·河南·阶段检测）若为平面内一点，过点任作一条与圆相交的直线，交圆于点，，称为点关于圆的幂，记作．已知圆． (1)求证：． (2)已知，，求与，并指出的符号与点位置（圆内、圆上、圆外）的关系． (3)设为圆内一点，过的某条弦被分成长度分别为1和2的两段．过再作两条互相垂直的弦，，求四边形面积的最大值． 17．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，直线：，圆：. (1)，直线与圆都有公共点，求的取值范围； (2)若，直线交圆于，两点，点在以为直径的圆上，当最大时，求直线的一般式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【知识点02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【知识点03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【知识点04】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【知识点05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【知识点06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【知识点07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【知识点08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【知识点09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 核心方法：当时，方程叫做圆的一般方程. 【例1-1】（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 【例1-2】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】将方程化为圆的标准方程，从而可得实数的取值范围. 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以，得. 因此实数的取值范围是. 【变式1-1】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 所以m的取值范围是. 【变式1-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【变式1-3】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【答案】 【详解】若方程表示圆，则，得，故的取值范围为. 【考点题型二】求圆的方程 【例2-1】（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 【例2-2】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，， (1)求所在的直线的方程； (2)求过，，三点的圆的一般方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形对边平行且相等,利用,,的坐标求出的坐标,再由两点求斜率、点斜式写出直线的方程,最后化为一般式. （2）设圆的一般方程为,把,,三点的坐标分别代入,解出,,即可. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形,所以. 由,,得. 设,则,所以,,即. 由,得直线的斜率. 由点斜式得,即. 化为一般式得直线的方程为. （2）设过,,三点的圆的一般方程为. 将的坐标代入,得. 将的坐标代入,得. 将的坐标代入,得. 后两式分别减去第一式,得,,解得,. 把,代入,得. 所以所求圆的一般方程为. 【变式2-1】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知三个顶点，，． (1)求边上中线、边上高线的直线方程的一般式； (2)求外接圆的一般方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点坐标先求出相应直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程； （2）由圆的一般方程利用待定系数法解方程组即可求得结果. 【详解】（1）由，可得中点． 易知， 边上中线为直线， 又，可得， 所以边上中线的直线方程为，整理得． 边上高线过点，且高线垂直， 高线斜率， 高线的直线方程为，整理得； 所以边上中线方程为，边上高线的直线方程为； （2）设外接圆一般方程：． 将、、分别代入方程： ②−①得 ①−③得，得到方程组 第一个式子乘2可得， 减去第二个式子可得， 回代求得，． 所以外接圆一般方程为 【变式2-2】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点和点的坐标，因为是的中点，所以利用中点坐标公式建立与的坐标关系；又因为在圆上，将的坐标代入圆的方程，即可得到点的轨迹方程。 （2）先求出圆与点的轨迹的交点、，利用圆系方程，设出过两点的圆系方程，再将点的坐标代入求出参数，得到所求圆的方程. 【详解】（1）设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得，   故过三点的圆的方程为. 【变式2-3】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知的三个顶点分别为，，.求： (1)的面积； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）结合点的坐标先求出，直线的方程，进而可得到直线的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可； （2）设的外接圆的方程为，将三个点的坐标代入得到方程组，进而求解即可. 【详解】（1）由，，则， 且直线的方程为，即， 则到直线的距离为， 所以的面积为. （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 则的外接圆的方程为. 【考点题型三】判断直线与圆的位置关系 核心方法：几何法或代数法 【例3-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 【例3-2】（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 【变式3-1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【变式3-2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 【变式3-3】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 【考点题型四】由直线与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例4-1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）若直线与圆相切，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的方程为，因此圆心坐标为，半径. 将直线化为一般式：. 点到直线的距离公式：点到直线的距离为. 将圆心代入得：. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即 ，两边平方去绝对值得：， 展开得，化简得，解得. 【例4-2】（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为______ 【答案】 【分析】求出圆心和半径，将直线化为一般式，利用圆心到直线的距离小于半径建立不等式，解出的取值范围． 【详解】由圆，得圆心为，半径为． 将直线化为一般式，得． 所以圆心到该直线的距离为． 因为直线与圆相交，所以，即． 因为，所以两边平方，得， 展开并整理，得，即． 解得，故实数的取值范围为． 【变式4-1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 【变式4-2】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 【考点题型五】根据直线与圆位置关系求距离最值 【例5-1】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【例5-2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 【变式5-1】2（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 【变式5-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 【考点题型六】直线与圆相交（韦达定理应用） 核心方法：代数法联立，求韦达定理 【例6-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据圆的弦长公式即可结合点到直线的距离公式求解， （2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）将化为标准方程，得， 则的圆心为，半径. 当直线的斜率不存在时，的方程为. 此时圆心到的距离，不符合题意. 故直线的斜率存在，设的方程为， 即. 圆心到的距离. 由垂径定理可得，即，解得. 故直线的方程为. （2）联立整理得. 设，则. . 故. 【例6-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据直接法求解动点的轨迹方程； （2）根据直线与圆相交，结合弦长公式计算弦长； 【详解】（1）由题意得点，，设点， 则，平方得， 化简得. 故点的轨迹方程为. （2）依题意，点，故直线，即. 联立化简得. 设点，，则，，所以， 故. 【变式6-1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径列不等式求解的取值范围. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算求出，再计算弦长. 【详解】（1）由题意，直线过点且斜率为，故直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径，由于直线与圆交于两个不同点，因此圆心到直线的距离为： ， 令，两边平方得：， 展开整理得，即，解得. （2）设，，将代入圆的方程：， 整理得，由韦达定理得：， 由向量数量积的坐标运算得： ， 又因为，所以 ，化简得， 两边同乘得，解得，验证，符合题意， 将代入直线方程得，代入圆心坐标，等式成立，说明圆心在直线上， 因此为圆的直径，故. 【变式6-2】（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程； （2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程. 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 【变式6-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，得到圆心在直线上，连接，作轴，由圆被轴分成的两段弧之比为，求得，得到圆心，半径为2，即可求解； （2）易知直线的斜率为0不符合题意，设直线的方程为，与圆方程联立，结合韦达定理及求出的值即可. 【详解】（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上， 如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为， 又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以， 故，可得圆心的坐标为，半径为2. 所求圆的方程为：. （2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 代入圆的方程得，解得， 不妨设,又, 则， 所以，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，消去得， 即， 即. ，解得或. 设，， 则， 所以， 即， 即， 即， 故， 即，即， 所以， 即，解得或，均满足或. 综上所述，直线的方程为或. 【考点题型七】过圆上一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例7-1】（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【例7-2】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【详解】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以，    则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； 【答案】（1）；、 【详解】(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即． 【变式7-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 【考点题型八】过圆外一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例8-1】（26-27高二上·全国·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】因>，点在圆外，切线有 条. ① 当斜率不存在时，直线恰与该圆相切，故一条切线方程为； ②设斜率为 的切线方程为 ，即 ， 由圆心到该直线的距离等于半径可得，解得 ， 即另一条切线方程为 ，即 . 综上，过点的圆的切线有两条，分别是或. 【例8-2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时，直线与圆心距距离，为圆的切线； 当斜率存在时，设切线方程，即. ，整理得. 切线方程得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【变式8-1】（多选）（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【变式8-2】（26-27高二上·浙江·阶段检测）已知圆C经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据圆心及过原点可得半径，据此得出圆的方程； （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分切线斜率不存在、存在两类情况求解. 【详解】（1）因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为． （2）当斜率不存在时，过点的直线方程为，圆心到的距离为1等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 【变式8-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【答案】或 【分析】分类考虑，过原点的切线的斜率有存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径可得切线方程. 【详解】直线过原点且与圆相切， 当直线斜率不存在时，显然与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，即， 由题意可得，解得：， 所以过原点且与圆相切的直线的方程为：或. 【考点题型九】切线长 核心方法：勾股定理 【例9-1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 【例9-2】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离运算求解即可； （2）求圆心到直线的距离，可得，结合切线长运算求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则直线，圆心到直线的距离为，不合题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 由题意可得：，整理可得，解得或， 则直线的方程为或； 综上所述：切线的方程为或. （2）圆心到直线的距离，则， 因为， 所以的最小值为. 【变式9-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 【变式9-2】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． (1)求的轨迹方程． (2)过作的切线，求切线方程及切线段长． 【答案】(1) (2)切线方程为或；切线段长为1 【分析】（1）根据题意可知，结合两点间距离公式运算求解即可； （2）分类讨论切线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解即可，再结合垂直关系求切线长即可. 【详解】（1）由题意可知：， 即，整理可得， 所以的轨迹方程为. （2）由（1）可知：动点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 若切线的斜率不存在，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：切线方程为或； 因为，所以切线长为. 【变式9-3】（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 【考点题型十】已知切线求参数 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径）+代数法 【例10-1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 【例10-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 【变式10-1】（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 【变式10-2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式10-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 【答案】 【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值. 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 【考点题型十一】切点弦及其方程 【例11-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求以为直径的圆的方程,再通过两圆的方程相减得到公共弦的直线方程. 【详解】已知圆的圆心.半径.且, 所以的中点的坐标为. ， 故有以为直径的圆的方程为: . 化简得，. 将圆的标准方程展开得，. 是两圆的公共弦，其方程为两圆方程相减， 化简得,. 故选：C 【例11-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】利用切线垂直半径及对称性，结合图形确定切点弦的方向和位置；也可把两个切点看成原圆与以为直径的圆的公共点，通过两圆方程作差求公共弦所在直线． 【详解】方法一：如图，连接，，，设． 因为，分别为圆的切线，所以，． 又，，故，关于直线对称，从而． 在直角三角形中，，所以． 于是即 因为，，所以平行于轴，且． 又，故直线的方程为． 方法二：圆心为．由于，所以，也在以为直径的圆上． 该圆的方程为，圆 两式相减，得，即直线的方程为． 【变式11-1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 【变式11-2】（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 【变式11-3】（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求切线的方程； (2)求切点弦所在直线的方程． 【答案】(1)和. (2) 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，利用待定系数法求解切线方程即可； （2）方法一：首先根据（1）的计算结果，联立方程求出切点的坐标，再根据直线与直线相互垂直求出斜率，最后根据点斜式求解直线的方程即可； 方法二：首先通过勾股定理求解切线长，再求解出以为半径，为圆心的圆的方程，最后通过求解两圆公共弦所在直线方程的方法即可求出直线的方程； 方法三：首先求出以为直径的圆，进而通过求解两圆公共弦所在直线方程的方法即可求出直线的方程. 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）方法一：由（1）可知，圆的一个切线方程为，联立方程， 解得：，即， 又，，则， 由于直线与直线相互垂直，所以， 所以直线的方程为，整理得. 方法二：已知圆心，半径， 又，可得：， 则 以为半径，为圆心的圆的方程为， 即， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 则把圆与圆相减，得， 所以直线的方程为. 方法三：，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则其方程为，整理得：， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 把圆与圆相减，得：， 所以直线的方程为. 【考点题型十二】直线与圆综合（圆的弦长） 核心方法： 【例12-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，可得AB的中点坐标为， 直线AB的斜率，故AB的垂直平分线的斜率为1， 则AB的垂直平分线方程为，即. 因为圆心在直线上，联立，解得，即圆心， 半径，故圆C的标准方程为. （2）由题意得直线的方程为，整理为一般式得， 圆心到直线的距离， 由垂径定理，弦长. 【例12-2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)过点的直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）根据直线是圆的对称轴可知圆心在直线上，将圆心坐标代入直线方程即可求出的值，从而求出圆心和半径； （2）先由垂直关系求出直线的方程，再求出点到直线的距离，最后利用弦长公式求出弦长. 【详解】（1）由题可知圆心，半径，又直线为圆的对称轴，则圆心在直线上， 所以，解得，所以圆心，半径. （2）因为直线与直线垂直，所以设直线的方程为， 又点在直线上，则，所以， 因此，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 【变式12-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所选条件求出直线的斜率，结合点的坐标由点斜式写方程并转化为一般式即可. （2）将曲线化为圆的标准方程，用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长. 【详解】（1） 若选①：将代入圆方程得，故点在圆上. 圆的圆心为，圆心与连线的斜率为. 因为直线与圆相切，切线与半径垂直，故直线的斜率为. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选②：设直线倾斜角为，由， 得，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选③：直线的方向向量为，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. （2）将曲线配方得，可知曲线是圆心为、半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以曲线与直线相交. 由垂径定理得弦长. 【变式12-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）已知圆经过，，三点，设圆的一般方程为，其中， 将各点代入方程，可得，解得， 所以圆的一般方程为. （2）由（1）可知，圆的一般方程为，即，圆心，半径， 如图所示，圆心到直线的距离， 根据弦长公式，弦长. 【变式12-3】（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【答案】(1)选①，直线的方程为，选②，直线的方程为，选③，直线的方程为 (2)4 【分析】（1）①应用垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程；②根据方向向量得出斜率，再点斜式得出直线方程；③应用平行得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）应用点到直线的距离及圆的半径，再结合几何法计算得出弦长即可. 【详解】（1）选①；因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为.即 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 依题意，直线的方程为，即； 选③:因为直线的斜率为，又因为直线与平行， 所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为，即 （2）圆的圆心到直线的距离为 由圆的半径为，可知 【考点题型十三】已知圆的弦长求方程或参数 核心方法： 【例13-1】（26-27高二上·陕西渭南·期中）已知 ， 两点，动点 满足 ． (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出点 ，根据两点间距离公式整理化简即可. （2）由弦长求出圆心到直线的距离，再列方程求解即可． 【详解】（1）设 ，由，得 ， 化简得 ， 即轨迹 是圆心为原点、半径 的圆． （2）圆心到直线 的距离 ， 又 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 ． 【例13-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知两点，，且动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）设出动点的坐标，代入两点间距离公式化简得到轨迹方程. （2）利用圆的弦长公式求圆心到直线的距离，列方程求解斜率从而得到直线方程. 【详解】（1）设动点，根据两点间距离公式有，. 又因为，两边平方得. 展开整理，化简得轨迹方程. （2） 首先验证在曲线上，代入得，满足方程. 又曲线是圆心为，半径的圆. 若直线斜率不存在，则方程为，与仅交于点，不符合题意，故斜率存在. 设直线的斜率为，方程为，即. 由圆的弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 代入，，解得. 由点到直线的距离公式，两边平方整理得，解得，即. 当时，直线方程为；当时，直线方程为. 经检验，两条直线均与交于异于的点，符合要求. 【变式13-1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知圆：，直线过点． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. 【详解】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，解得. 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）设圆心到直线的距离为， 则，解得. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆是相切的，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以，解得或. 所以直线的方程为或， 即或. 【变式13-2】（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径为2，由题意直线与直线垂直， 所以直线：，即， 令，则在上， 即，解得，所以， 又圆与圆关于直线对称，半径不变，所以圆的方程为； （2）当直线为时，不合题意； 故可设直线为，而圆心到直线的距离为， 由题意，有，即，解得0或. 【变式13-3】（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）已知，圆，直线经过点. (1)若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； (2)若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 【答案】(1) (2)直线的方程为和 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据条件写出直线方程，利用直线与圆相离的条件得到圆心到直线的距离，并结合求出的范围； （2）利用外切条件即圆心距等于半径之和求出，从而确定圆的半径，由弦长公式求圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离求出直线的斜率，最后求出直线方程． 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径， 直线的法向量为且经过点，则其方程为， 由圆心到直线的距离，可得，解得． 即的范围为 （2）圆的圆心，半径，， 两圆外切时，即，解得， 设直线的斜率为，则其方程为即， 由弦长公式得，代入，解得， 因此圆心到直线的距离， 整理得，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为． 【考点题型十四】直线与圆的实际应用 核心方法：建系法 【例14-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 【例14-2】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    【变式14-1】（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为； (2) 3.5米 【分析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 【变式14-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 【变式14-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 【考点题型十五】直线与圆的定点、定值问题 核心方法：韦达定理 【例15-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【答案】(1) (2)圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为，都是圆的切线， 所以，， 所以，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点． 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论． 【详解】（1）设点，， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则， 可得，，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为． （2）略 【例15-2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) ① ②如图所示，设，直线， 由点，可得， 则， 由（1）可知当时，直线和圆必有两个交点， 联立方程组，消去得， 当时，，可知， 则，即为定值. 【分析】（1）根据弦长和半径求出弦心距，根据点斜式方程和点到直线距离公式，列出方程，求出参数，求出结果； （2）①根据（1）结论，判断点的运动轨迹是个圆，写出圆的方程即可； ②根据直线和圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和两点间的斜率公式，求出的表达式，化简求出结果，说明为定值. 【详解】（1）可知圆心，半径，当时，圆心到直线的距离， 依题意，当直线l的斜率存在时，可设直线，化简得， 由到直线的距离为，解得， 即直线，变形得； 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心距离为，符合条件； 综上所述，直线的方程为或. （2）①由（1）可知线段的中点到圆心的距离为，所以点D的轨迹方程为. 【变式15-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)或 (3)当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，且，，联立方程组， 整理得， ，, ，所以， 又由，解得，， 所以， 因为，，均在直线上，且， ， 所以. 【分析】（1）设，利用，化简即可求得的轨迹方程； （2）若直线与曲线相切，则分两种情况求解：当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，用点斜式假设，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，，，与曲线联立方程组，运用韦达定理表示出点坐标，联立直线的方程求出坐标，由于，，均在直线上，所以，最后证明为定值. 【详解】（1）设，因为点，且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）由（1）知：，圆心为，半径为， 因为直线与曲线相切，可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程：，即， 则，解得，此时：即； 综上可得，直线的方程为或. （3）略 【变式15-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为3 (3)存在，当时，，当时， 【分析】（1）用直接法求曲线的轨迹方程. （2）先求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是圆，然后由圆的性质即可求出的最值. （3）先由切线长公式求出，将其代入，由点的任意性及恒成立问题即可求出. 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆. （2）如图所示； 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， ，且. 的最大值为，的最小值为. （3）如图所示； 设，则，即， 是到圆的切线，由切线长公式得，， 设，. 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 【变式15-3】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或； (2) (3)为定值，. 由（1）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即，，即， ，，又，， 所以， 所以为定值，. 【分析】（1）根据直线过定点并求出圆心和半径，分别讨论直线斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求得切线方程； （2）由目标式的几何意义解不等式即可求得结果； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理计算可求出结果. 【详解】（1）先整理圆：； 可得其圆心，半径. 对于直线变形得； 令，解得. 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，直线恒过定点， ①当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， ②当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （2）设 ，即 ， 直线与圆有交点，所以 ， 因此的取值范围为. （3）略 【考点题型十七】直线与圆的位置关系中的最值问题 核心方法：几何法 【例16-1】（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，若圆C与y轴相切，与x轴交于A，B两点，且．直线l：． (1)求圆C的方程； (2)过直线l上的点P作圆的切线，切点为T，求当切线长最小时P点坐标； (3)M，N为圆C上两动点，且，求中点Q到直线l的距离的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质，结合弦长公式即可求解， （2）根据垂直时距离最小，即可根据垂直关系求解直线方程，进而联立方程求解交点， （3）先得的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设圆的方程为：， 由于圆截轴所得的弦长，故， 结合，故， 因此圆的方程为. （2）由于圆心,圆心到直线的距离为， 因此直线与圆相离， 则， 要使最小，则最小即可，要使最小，则时，最小，此时，所在的直线方程为， 联立与的方程可得， 故 （3）由于，且，是的中点， 故, 因此点在以为圆心，半径为的圆上， 由于到直线的距离为， 因此到直线的最小距离为. 【例16-2】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 【变式16-1】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 【变式16-2】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【变式16-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【详解】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 【考点题型十七】判断圆与圆的位置关系 核心方法：几何法 【例17-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】由圆与圆可知，， ，，，所以两圆外切. 【例17-2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径的和差进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为相切（外切）. 【变式17-1】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】：，即， 圆的圆心坐标为，半径为1， ：，即， 圆的圆心坐标为，半径为3， ， 所以两圆和的位置关系是外切. 【变式17-2】（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 【变式17-3】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 【考点题型十八】由圆与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例18-1】（25-26高二上·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径的关系确定的取值范围. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径， 对于圆，其圆心坐标为，半径为. 两圆的圆心距， 因为两圆有公共点，所以，即， 解得，因此的取值范围为. 故选：D 【例18-2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 【变式18-1】（26-27高二上·全国·期中）已知圆与圆:外切，则实数的值为______. 【答案】或 【分析】先根据圆的标准方程读出两个圆的圆心坐标和半径；再利用两圆外切的几何结论，得到圆心距等于两半径之和；接着用两点间距离公式列出关于参数的方程，转化为一元二次方程求解即可. 【详解】由题知：圆 圆心 ，半径 ； 圆 圆心 ，半径 . ∵两圆外切则 ，即 ， ∴ ， ，即 ， 解得 或 . 【变式18-2】（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【答案】0或 【详解】已知圆，则圆心，半径． 已知圆，则圆心，半径． 因为圆与圆内切，且， 所以圆在圆内部，且圆心距， 化简可得，解得或． 【变式18-3】（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 又点与的距离， 因为圆与圆相交， 所以，即，即，解得； 所以的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 【考点题型十九】圆的公切线条数 核心方法：几何法 【例19-1】（26-27高二上·广东惠州·期中）圆与圆的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对整理得，因此圆的圆心为，半径； 由得圆心，半径； 由两点间距离公式得， 又，即，故两圆内切； 根据两圆位置关系对应的公切线条数规则，内切的两圆公切线条数为1. 【例19-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 【变式19-1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 【变式19-2】（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 【变式19-3】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 【考点题型二十】相交圆的公共弦方程 核心方法：作差 【例20-1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 【例20-2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 【变式20-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【变式20-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 【变式20-3】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【考点题型二十一】相交圆的公共弦长 核心方法： 【例21-1】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 【例21-2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 【变式21-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【分析】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 【变式21-2】（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）圆与圆的公共弦长为______ 【答案】 【分析】先联立两圆方程消去二次项得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式与垂径定理计算公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径,圆的圆心为，半径为， 所以，两圆圆心距，由于，故两圆相交， 所以，公共弦方程为：，整理得， 所以，，圆心到直线的距离 ， 所以，根据垂径定理，公共弦长. 【变式21-3】（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 【答案】 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 一、单选题 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知的圆心为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】圆的一般方程的圆心为， 因为的圆心为， 所以，解得. 2．（26-27高二上·全国·期中）过三点、、的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆为 ，代入得 ； 代入：，即 ， 代入：，即， 由 得，代入： ，，，，， 圆为 ，配方得 ． 3．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知长度为4的线段的两个端点和均在圆：上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的垂径定理，结合勾股定理求出AB中点到原圆圆心的距离为定值，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径， 设线段的中点为，根据垂径定理可得， 已知，故半弦长， 在中，由勾股定理得，其中， 代入数值可得，解得， 由于为点到圆心的距离，故， 因此中点的轨迹方程为. 4．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时弦长最小，即可根据垂直关系求解斜率得解. 【详解】由于点位于圆内，圆心为，故当直线时，此时最短， ,则直线的斜率为，且直线经过，故直线的方程为，即. 5．（26-27高二上·河南·阶段检测）直线被圆截得的弦长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由圆的标准方程确定圆心坐标与半径，再利用弦长、半径、圆心到直线的距离满足的勾股关系列方程求解m的值. 【详解】由圆的标准方程，可得圆心坐标为，半径， 将直线整理为一般式，所以圆心到直线的距离为 ， 根据圆的弦长公式得 ，解得，即（距离非负）， 所以，即，解得. 6．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定两条动直线的定点、，由两直线垂直得点的轨迹是以为直径的圆，将转化为点到定点的距离的平方，结合圆的性质求最小值. 【详解】由动直线过定点，得；由动直线过定点，即，得. 直线和直线， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，且，则； 点的轨迹为以为直径的圆，即圆心，半径，则点的轨迹方程为. 表示为点到点的距离的平方； ，即点在圆外； 圆上的点到Q点的最小距离； . 7．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、切点分别为A、B，则直线过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得， 即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点. 8．（26-27高二上·广东东莞·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得， 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 二、多选题 9．（26-27高二上·吉林·期中）已知圆：和圆：关于直线对称，点、点分别是圆、直线上的动点，，则（    ） A． B．直线的方程为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】本题结合两圆对称的性质、直线方程求解、折线距离最值等知识点考查，运用圆的基本性质、点关于直线对称、两点间距离公式等知识即可解答． 【详解】选项A：两圆关于直线对称则半径相等，圆半径为2，圆半径为， 因此，解得，故A正确； 选项B：时，坐标为，中点为，斜率为， 故对称轴是的中垂线，斜率为1， 方程为，整理得，故B正确； 选项C、D：对任意直线上的点，圆上的点满足， 因此， 因为关于的对称点为， 所以最小值为， 因此最小值为，故C正确，D错误． 10．（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知圆：，圆：，则（    ） A．若，则圆与圆相切 B．若，则圆在轴上截得的弦长为 C．若，则直线为圆与圆的一条公切线 D．若，则圆与圆公共弦所在的直线为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据判断； 对于B，令代入圆方程得，进而求得弦长为判断； 对于C，分别求解点，点到直线的距离即可判断；对于D，根据得两圆相交，进而两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程. 【详解】由题知圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，两圆心距离； 对于A，时，，两圆外切，正确； 对于B，时，令代入圆方程得， 即，，圆在轴上截得的弦长为，不是，错误； 对于C，时，直线到圆的距离为，到圆的距离为， 故是两圆公切线，正确； 对于D，时，，故两圆相交， 两圆方程相减：， 化简得，即为公共弦所在直线，正确. 三、填空题 11．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 【答案】18 【分析】先由两直线方程确定两直线的位置关系以及所过定点，从而进一步确定交点的轨迹方程，确定所求表达式的几何意义后，再由与圆有关的最值问题处理方式即可求解． 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率， 可得，两直线垂直； 当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线仍垂直． 因此对任意实数，都有 ． 直线，当时，，则恒过定点； 直线，当时，，则恒过定点． 因为，交点为，所以． 代入坐标，可得， 即， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 而表示点到定点的距离的平方． 圆心到点的距离为， 圆上点到的最大距离为， 因此距离的平方最大值为． 12．（26-27高二上·江西赣州·阶段检测）若实数满足，则的最大值是____________. 【答案】 【分析】先将方程配方并看成一个圆，再令，得直线，进而可得直线与圆有公共点，再用圆心到直线的距离计算可得. 【详解】由实数满足，即， 方程表示以点为圆心、半径的圆，即点的运动轨迹是该圆. 令​，该式的几何意义是：圆上的动点与定点连线的斜率， 整理得直线方程：，即. 若直线斜率不存在时，直线方程为 此时直线与圆无公共点，不符合； 所以直线斜率存在，且与圆有公共点， 因此圆心到直线的距离， 即，，， 化简整理得，解得. 因此的最大值是. 四、解答题 13．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互相垂直的两直线的斜率性质，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据圆的方程特征，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式进行求解即可； （3）利用相关点法，结合代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． （2）圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． （3）由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 14．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的斜率和的中点坐标，再根据垂直直线的斜率关系得到中垂线斜率，使用点斜式写出直线方程； （2）方法一：设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 方法二：求线段的垂直平分线方程，与的垂直平分线方程联立求出圆心坐标，再求半径，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以 由点斜式得线段的中垂线方程为， 整理得. （2）方法一：设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 方法二：因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以，所以线段的中垂线方程为，即， 联立方程得圆心坐标，所以圆的半径， 所以圆方程为：. 15．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过点P作圆O的切线，，切点分别为A，B． (1)当点P的坐标为时，求切线方程； (2)当取最大值时，求的外接圆方程． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）先判断P在圆外，分斜率存在、斜率不存在两种情况设切线，利用圆心到切线距离=半径求解. （2）取最大值时，最小，此时是到直线的垂足，利用直角三角形外接圆性质求解. 【详解】（1）当切线斜率k不存在时，切线方程为, 圆心到距离，是一条切线， 当切线斜率k存在时，设切线方程为， 即， 圆心到切线的距离等于半径5，即，解得， 所以切线方程为，整理得， 综上，切线方程为或． （2）是切线，，， ， 要让最大最小， 在直线 上，直线 时，最短, 取最大值，设此时， 直线 的斜率 ，所以的斜率 ， 方程：， 联立，解得， 则， 因为，是直角三角形，直角在点， 所以直角三角形外接圆圆心斜边中点，半径， ，其中点为，的外接圆圆心为， ，半径 ， 的外接圆方程为． 16．（26-27高二上·河南·阶段检测）若为平面内一点，过点任作一条与圆相交的直线，交圆于点，，称为点关于圆的幂，记作．已知圆． (1)求证：． (2)已知，，求与，并指出的符号与点位置（圆内、圆上、圆外）的关系． (3)设为圆内一点，过的某条弦被分成长度分别为1和2的两段．过再作两条互相垂直的弦，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)设直线过点且交圆于点，．设的中点为，连接，则，．      所以．      又，， 所以， 即，得证． (2)4；；在圆外时，为正；在圆上时，为；在圆内时，为负． (3)6 【分析】（1）利用向量数量积的运算律，结合垂径定理即可证明； （2）由（1）知，代入点的坐标即可进行计算，并判断的符号与点位置的关系； （3）先由点幂求出，利用垂直弦的距离公式、弦长公式，结合均值不等式即可求解四边形面积的最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，；．      由，知在圆外时，，所以为正；在圆上时，，所以为；在圆内时，，所以为负． （3）因为点在圆内，且过点的弦被分成长度分别为1和2的两段， 所以，在的两侧，与反向， 故．      由（1），得，所以．      设到弦，的距离分别为，． 因为且都过点，所以过作两弦的垂线，两垂足与，构成矩形，为其对角线， 故． 因为，，且， 所以．      令，，则，，． 所以，      当且仅当（即）时取等号． 故四边形面积的最大值为． 17．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，直线：，圆：. (1)，直线与圆都有公共点，求的取值范围； (2)若，直线交圆于，两点，点在以为直径的圆上，当最大时，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将含参直线整理为直线系形式求出定点，利用 “直线恒过圆内 / 圆上定点则必与圆有交点” 的性质，列不等式求解半径范围； （2）利用圆的几何性质将的最大值转化为弦心距与半弦长的和，结合勾股定理与均值不等式确定最值成立条件，再通过点到直线距离公式求解斜率得到直线方程. 【详解】（1）直线化为，     令，解得， 故直线恒过定点．     当且仅当点不在圆外时，符合题意，故，又，解得． 故的取值范围是． （2）设的中点为，如图所示， 则的最大值为，而，     故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．     由，解得．     故直线的一般式方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $