直线与圆、圆与圆的位置期末复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高中数学精品讲义 选修一 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、 知识梳理 1、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. (2)两种研究方法： 2、弦长问题 圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：①已知直线与圆的方程求圆的弦长；②已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等. 解决圆的弦长问题的方法： 几何法 如图所示，设直线被圆截得的弦为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于、两点， 则(其中). 特别地，当时，；当斜率不存在时，. 当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用. 【例1】．若()，则直线被圆所截得的弦长为( ). A、 B、 C、 D、 【例2】．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 . 【变式1】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 方法技巧：求解弦长问题的常用方法：直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题.常用的方法有： 2 根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示； ②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题. 【变式2】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是 A． B． C． D． 【变式3】函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是________. 【变式4】已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 3、切线问题 ①求过圆上一点的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程. ②求过圆外一点的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即. 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出. ③圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 【例3】．已知圆x2+y2＝5，则过点P（2，﹣1）的圆C的切线方程是　 　． 【例4】．设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是 ． 【变式5】直线y＝a（x﹣1）+2（a∈R）过定点A，则过点A且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为（　　） A．3x﹣4y+5＝0 B．3x+4y﹣5＝0 C．3x+4y﹣5＝0或x＝1 D．3x﹣4y+5＝0或x＝1 【变式6】若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【变式7】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例5】过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______． 【变式8】（2022·湖南湘潭·高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 【变式9】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为___________． 【变式10】已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 4、圆与圆的位置关系 (1)设圆：()，圆：()， 方法 位置关系 几何法： 圆心距与、的关系 代数法： 两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 无解 外切 一组实数解 相交 两组不同的实数解 内切