2.5.1 直线与圆的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 　 直线与圆的位置关系判断 1.直线l：2x－y＝0与圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4的位置关系是（　　） A.相切 B.相离 C.相交且l过圆C的圆心 D.相交且l不过圆C的圆心 2.若点（m，n）在圆C：x2＋y2＝4上，则直线mx＋ny＝4与圆C的位置关系是（　　） 　 A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 3.已知直线l：kx－y－k－2＝0，圆C：x2＋y2＝8，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 切线问题 4.已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l切于点P（1，），则直线l的方程为（　　） A.x－y＋2＝0 B.x－y＋4＝0 C.x＋y－4＝0 D.x＋y－2＝0 5.已知直线l：4x＋3y＋6＝0与圆C：x2＋y2－2x＋m＝0（m＜1）相切，则m＝（　　） A.－3 B.－2 C.－1 D.0 6.（2026·浙东北联盟联考）过点P（－1，－3）作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则l的方程为（　　） A.x＝－1或4x－3y－5＝0 B.y＝－1或4x－3y＋5＝0 C.x＝－1或4x－3y＋5＝0 D.4x－3y－5＝0 弦长问题 7.直线x－2y＝0被圆C：（x－4）2＋（y－4）2＝4截得的弦长为（　　） A.　 　B. C.　 　D. 8.直线y＝kx＋3被圆（x－2）2＋（y－3）2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为　　　　. 9.已知直线l经过点P（1，0），圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0. （1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 　 1.已知直线y－4＝k（x＋3）与圆x2＋（y－2）2＝4相交，则实数k的取值范围为（　　） A. B. C.∪（0，＋∞） D.（－∞，0）∪ 2.（2026·浙江温州十校联考）过圆x2＋y2＝4外一点P（0，4）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆半径是（　　） A.1 B. C.2 D. 3.[教材习题变式]已知圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，若圆C上恰有三个点到直线y＝x＋b的距离为，则b＝（　　） A.3 B.－5 C.3或－5 D.－3或5 4.（多选）已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝9，直线l：mx－y＋1－2m＝0，则下列说法正确的是（　　） A.当m＝0时，l被圆C截得的弦长为2 B.l恒过点（2，1） C.当l被圆C截得的弦长最大时，l的斜率为1 D.l被圆C截得的弦长的最小值为2 5.（1）已知点P在圆C：x2＋2x＋y2＝0上运动，点P到直线3x＋4y－5＝0的距离的最大值为　　　　　； （2）已知P（x，y）是直线l：3x－4y＋5＝0上任意一点，则x2＋y2的最小值为　　　　. 6.过直线y＝x＋1上一动点P作圆M：（x－5）2＋y2＝2的一条切线l，切点为A，则线段PA长度的最小值为　　　　　. 7.[一题多解]（2026·山东名校联盟联考） 已知圆C过点P（4，2），Q（6，0），圆心C在直线x＋2y－4＝0上. （1）求圆C的标准方程； （2）若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线MA，MB，切点为A，B，求证：直线AB过定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 [教材知识——一遍过] 1.C　2.B　3.A　4.A 5.A　由圆C：x2＋y2－2x＋m＝0（m＜1），则圆C：（x－1）2＋y2＝1－m， 所以圆心C（1，0），半径r＝（m＜1）. 由题设＝，则＝2⇒m＝－3. 6.A　当l斜率不存在时，l：x＝－1，圆O的圆心（0，0）到l：x＝－1的距离为1， 故此时l是圆O：x2＋y2＝1的切线，符合； 当l斜率存在时，设l：y＝k（x＋1）－3，即kx－y＋k－3＝0， 则圆O的圆心（0，0）到l的距离d＝＝1， 解得k＝，则l：4x－3y－5＝0. 综上所述，l的方程为x＝－1或4x－3y－5＝0. 7.C　由圆C：（x－4）2＋（y－4）2＝4，可得圆心为C（4，4），半径为r＝2， 则圆心C到直线x－2y＝0的距离为d＝＝， 所以直线被圆C截得的弦长为2＝2＝. 8.或　解析：圆（x－2）2＋（y－3）2＝4的圆心坐标为（2，3），半径为r＝2. 设圆心到直线y＝kx＋3的距离为d，则弦长为2＝2，解得d＝1， 因此d＝＝1，解得k＝或k＝－. 所以直线的倾斜角为或. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l＝｜x1－x2｜，结合根与系数的关系求解；二是利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用勾股定理求解. ｜方法总结｜ 9.解：（1）将圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为标准方程为（x＋1）2＋（y－3）2＝4， 所以圆C的圆心坐标为C（－1，3），半径为2. 所以直线l经过点P（1，0），C（－1，3），由两点式可得直线l的方程为＝，化简整理得直线l的方程为3x＋2y－3＝0. （2）由（1）可知，当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝1，此时与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），即kx－y－k＝0， 则圆C的圆心到直线l的距离d＝＝2，解得k＝－， 故直线l的方程为5x＋12y－5＝0. 综上，直线l的方程为x＝1或5x＋12y－5＝0. （3）因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆C的圆心到直线l的距离为＝. 由（2）可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝m（x－1），即mx－y－m＝0， 则圆C的圆心到直线l的距离＝，解得m＝－或m＝－. 故直线l的方程为x＋2y－1＝0或29x＋2y－29＝0. [综合素养——全提升] 1.A　圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0，2），半径为2. 若直线y－4＝k（x＋3）与圆x2＋（y－2）2＝4相交， 则＜2，即｜3k＋2｜＜2， 两边同时平方化简可得5k2＋12k＜0，解得－＜k＜0， 所以实数k的取值范围为. 2.C　圆x2＋y2＝4的圆心O（0，0），半径r＝2. 因为PA，PB是圆的切线，所以PA⊥OA，PB⊥OB， 所以以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆. 因为P（0，4）， 所以△ABP的外接圆的半径为｜OP｜＝×4＝2. 3.C　圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝18的圆心C（2，1），半径r＝3. 由圆C上恰有三个点到直线y＝x＋b的距离为，得圆心C到直线x－y＋b＝0的距离为2， 即＝2，所以b＝－5或b＝3. 4.BD　对于A选项，圆C的圆心为C（1，2），半径为r＝3，当m＝0时，直线l的方程为y＝1， 则圆心C到直线l的距离为d＝1，此时，l被圆C截得的弦长为2＝2＝4，故A错误； 对于B选项，直线l的方程可化为m（x－2）＋（1－y）＝0， 由解得因此，l恒过点（2，1），故B正确； 对于C选项，当l被圆C截得的弦长最大时，直线l过圆心C， 则m－2＋1－2m＝－m－1＝0，解得m＝－1， 此时，直线l的方程为－x－y＋3＝0，即y＝－x＋3，即直线l的斜率为－1，故C错误； 对于D选项，记点A（2，1），则kAC＝＝－1， 当AC⊥l时，设直线l的斜率为m，此时m·kAC＝－m＝－1， 即当m＝1时，圆心C到直线l距离取得最大值，l被圆C截得的弦长取得最小值， 且因为｜AC｜＝＝，弦长的最小值为2＝2＝2，故D正确. 5.（1）　（2）1　解析：（1）将圆的方程化为（x＋1）2＋y2＝1，因为圆心（－1，0）到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝＞1，所以该直线与圆相离， 由题意，根据直线与圆的位置关系，画出曲线. 由图可以看出，当点P位于图中位置时，点P到直线3x＋4y－5＝0的距离最大， 最大值为1＋＝. （2）设x2＋y2＝r2（r＞0），则x2＋y2＝r2表示圆心为原点，半径为r的圆， 当圆x2＋y2＝r2与直线l：3x－4y＋5＝0相切时，r最小， 由点到直线的距离公式有d＝＝1＝r， 所以x2＋y2的最小值为1. 6.4　解析：圆M：（x－5）2＋y2＝2的圆心M（5，0），半径r＝， 由题意可得PA⊥AM，则｜PA｜＝＝＝， 则当｜PM｜取得最小值时，线段PA的长度取得最小值， 则｜PM｜min＝＝3，所以｜PA｜min＝＝4. 7.解：（1）由P（4，2），Q（6，0），可得PQ的中点坐标为（5，1），kPQ＝－1， 所以线段PQ的中垂线斜率为1， 所以线段PQ的中垂线方程为x－y－4＝0. 联立可得圆心C（4，0）， 圆C的半径为｜CQ｜＝2， 所以圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝4. （2）证明：方法一：依题意，设点M（0，t），因为MA，MB与圆C相切，连接AC，MC，BC，可知，AC⊥MA，BC⊥MB， 所以｜MA｜＝｜MB｜， ｜MA｜＝＝， 所以以M为圆心，以MA，MB为半径的圆的方程为x2＋（y－t）2＝t2＋12， 联立两式作差并化简得直线AB的方程为4x－ty－12＝0， 当y＝0时，x＝3，所以直线AB过定点（3，0）. 方法二：依题意，设点M（0，t），因为MA，MB与圆C相切，连接AC，MC，BC， 可知，AC⊥MA，BC⊥MB，则点A，B在以MC为直径的圆上， 由点M（0，t），C（4，0）可知MC为直径的圆的方程为x（x－4）＋（y－t）y＝0，即x2＋y2－4x－ty＝0， 联立可得直线AB的方程为4x－ty－12＝0， 当y＝0时，x＝3，所以直线AB过定点（3，0）. 方法三：依题意，设点M（0，t），A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为MA与圆C相切，则AC⊥MA， 而C（4，0），所以·＝0，即（4－x1）·（x1－0）＋（0－y1）（y1－t）＝0， 整理得＋－4x1－ty1＝0， 而＋－8x1＋12＝0，则4x1－ty1－12＝0. 因为MB与圆C相切，则MB⊥BC， 而C（4，0），所以·＝0，即（4－x2）·（x2－0）＋（0－y2）（y2－t）＝0， 整理得＋－4x2－ty2＝0， 而＋－8x2＋12＝0，则4x2－ty2－12＝0. 所以点A，B都在直线4x－ty－12＝0上，即直线AB的方程为4x－ty－12＝0， 当y＝0时，x＝3，所以直线AB过定点（3，0）. 学科网（北京）股份有限公司 $