专题01空间向量及立体几何（18个高频考点） 期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量及立体几何 （空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示+用空间向量研究直线、平面的位置关系） （18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【知识点02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【知识点03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【知识点04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【知识点05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【知识点06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【知识点07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【知识点08】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【例1-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）下列关于空间向量的说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．相等向量其方向必相同 C．若向量满足，则 D．若，则的长度相等而方向相同或相反 【答案】B 【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于B，由相等向量的概念可得相等向量其方向必相同，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，模长相等的向量方向可以任意，故D错误. 【例1-2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 【变式1-2】（多选）（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 【考点题型二】空间向量共线判断 核心方法： 【例2-1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 【例2-2】（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明:连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． (3)证明:连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）略； （3）略. 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】略 【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 核心方法：①②已知，， 【例3-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【例3-2】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 【变式3-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知，若，则m的值为______． 【答案】 【详解】已知， 因为，则， 可得，解得． 【变式3-2】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由列式计算即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 【考点题型四】判断空间向量共面 核心方法：存在实数，使 【例4-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 【例4-2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【分析】根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论. 【详解】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 【变式4-1】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理，即可判断三个向量是否共面. 【详解】A.，所以，，是共面向量，故A错误； B.，所以，，是共面向量，故B错误； C.不存在实数，使，所以，，不是共面向量，故C正确； D.，所以，，是共面向量，故D错误. 故选：C 【变式4-3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 【考点题型五】由空间向量共面求参数 核心方法：存在实数，使 【例5-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 【答案】A 【详解】因为P，A，B，C四点共面， 所以有，解得. 【例5-2】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】/ 【分析】首先把换成以为起点的，整理得到关于、、的线性表达式.，然后用空间四点共面的向量判定定理，的线性组合系数和为1，据此列方程求解. 【详解】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即 计算得 故答案为： 【变式5-1】（26-27高二上·广西·期中）若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 【变式5-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由条件可知，，，，四点共面， 又因为， 所以，解得. 【变式5-3】（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 【考点题型六】用基底表示向量 核心方法：空间向量的加减数乘运算 【例6-1】（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理，设出向量在新基底下的坐标，通过向量相等时对应基底的系数相等列方程组求解. 【详解】由题意可知，在单位正交基底下的坐标为，因此， 设在基底下的坐标为， 根据向量坐标的定义可得： ，将上式整理为： ， 由于是不共面的非零向量，根据空间向量基本定理，向量的分解是唯一的， 因此对应系数相等，得到方程组： ， 解得， 因此在新基底下的坐标为. 【例6-2】（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则可得，进一步运算即可求解. 【详解】因为在上，且， 所以， 因为在上，且， 所以， 在平行六面体中，， 所以，， 所以 所以. 【变式6-1】（26-27高二上·吉林四平·阶段检测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为为线段的中点，所以， 在三棱柱中，，又因为， 且已知，即，所以， 将上述式子代入的表达式中， 得：. 【变式6-2】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为的重心， 所以连接并延长交于点，则为的中线， 所以，且， 所以 . 【变式6-3】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 因为为的中点，所以在中， ， 因为底面是正方形，所以， 所以， 又因为，，且， 所以， 因为，，， 所以． 【考点题型七】空间向量数量积运算 核心方法：①坐标运算②定义法： 【例7-1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）若是一个单位正交基底，且，则（    ） A．7 B． C．3 D．28 【答案】B 【详解】由题意可得，故. 【例7-2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】由点，，，可得， 所以， 故选:D. 【变式7-2】（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知，则__________. 【答案】18 【详解】由题意得， 【变式7-3】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 【答案】24 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 核心方法：①坐标法（含自主建系法） ②极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即 （如图） (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 （如图） 【例8-1】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为，即为正方体内切球球心，则为的中点， 因为正方体的棱长是，故，则内切球半径为， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，当位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 故，， 则，即的取值范围为. 【例8-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 【变式8-1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】选取从出发的三条棱作为空间基底，引入参数t表示P，展开数量积得到关于t的二次函数，结合求值域． 【详解】设，已知， ， 点P在线段上，设， 由平行六面体的性质得， ， ， ， ， 令，二次函数开口向上，对称轴， 故最小值， ， 故． 【变式8-2】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将数量积表示为关于参数的二次函数，进而求得最小值. 【详解】因为 平面 ，，且 ， 所以 ，． 如图，以 为坐标原点，， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，过点 且平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ． 则 ，，， ． 设 ，其中 ． 因为 ， 所以 ． 又 ， 所以 ． 因为 ， 所以，当 时， 取得最小值 ． 【变式8-3】（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设得到点的坐标参数，将转化为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，故可设，， 则，. ， 该式为关于的开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为. 【考点题型九】求空间向量模 核心方法： 【例9-1】（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，，且，则（ ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 所以，， 得． 【例9-2】（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：， 解得，所以或，所以； 解法二：， 所以. 【变式9-1】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知向量，，则______． 【答案】 【详解】由,,得. 所以. 【变式9-2】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知向量 ，，则 ______． 【答案】 【详解】因 ，，则， 故. 【变式9-3】（26-27高二上·广西·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若，，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再利用空间向量的数量积公式和模长公式求出夹角的余弦值，结合范围得出夹角； （2）先求出的坐标，利用向量平行的坐标表示求出 的值，最后代入模长公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （2）由题意知， 因为，且， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得，，， 所以，所以. 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 核心方法：坐标法 【例10-1】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________． 【答案】 0 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    【例10-2】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【答案】（1）①，②；（2）. 【分析】（1）①先计算出，再根据平行得到方程，求出；②根据垂直得到方程，求出； （2）利用模长公式得到，利用单调性求出最小值. 【详解】（1）①， ， ，设， 故， 所以，解得，故； ② ， 解得； （2）已知， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为. 【变式10-1】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设，，，从而求得，，结合空间向量的坐标运算即可求解的最小值. 【详解】因为，，设，，， 又，所以，且，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是. 【变式10-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【详解】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：D. 【变式10-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值. 【详解】如图， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 因为平面，故，即 则 ， 因为，故当时， 故答案为： 【考点题型十一】求空间向量夹角 核心方法：夹角公式 【例11-1】（26-27高二上·陕西·阶段检测）向量，，，若，，则，的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直关系求出未知量，再根据空间向量夹角余弦公式运算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 则，又， 故. 又因为，所以. 【例11-2】（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，的值； (2)求向量与所成夹角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ，， ∴， 因此向量与所成夹角的余弦值为． 【变式11-1】（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 【变式11-2】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 【变式11-3】（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）已知空间向量，，． (1)若与垂直，求x的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解； （2）由，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，，， 可得， 因为，可得，解得. （2）解：因为，可得，解得，即， 则，且， 所以. 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 核心方法：①为锐角且与不同向共线 ②为钝角且与不反向共线 【例12-1】（多选）（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】转化为且不平行. 【详解】若为钝角，则，得， 当，，得， 所以，且，选项中满足条件的只有或. 【例12-2】（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意得到，再舍去的情况即可得到答案. 【详解】，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，即，解得， 当与平行时，，， 由向量共线定理得：使得，即， 所以，因为向量与所成角为锐角，所以 所以向量与所成角为锐角，实数的范围. 【变式12-1】（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式先求出的范围，然后排除两向量共线的情况，即可求得结果. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，由于，所以. 所以，即，解得. 若两向量与共线，则存在使得，即， 可得方程组，解得. 当时，两向量共线，此时夹角为，不符合夹角为钝角的条件，所以要排除. 所以实数的取值范围为. 【变式12-2】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据空间向量夹角为钝角的等价条件：且两向量不反向共线，结合坐标运算求解的取值范围 【详解】由题意得：，解得， 又与不共线，所以，所以， 所以. 【变式12-3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 【考点题型十三】求投影向量 核心方法： 【例13-1】（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知空间向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，代值计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 【例13-2】（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【详解】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【分析】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 【变式13-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 【变式13-2】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求向量与所成夹角的余弦值； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用空间向量平行的比例关系求出，再由向量垂直数量积为求出； （1）求出，代入向量夹角公式计算余弦值； （2）套用投影向量公式，计算得到在上的投影向量． 【详解】（1），，， 由，得，解得，， 所以，， 又，所以， 解得，所以， 所以，， ， ，， 所以； （2）因为，， 所以，， 在上的投影向量为． 【变式13-3】（26-27高二上·广东江门·阶段检测）已知，，，设，． (1)若，求实数的值； (2)在方向上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出向量坐标，线性组合写出，利用向量垂直等价数量积为，建立一元二次方程求解参数； （2）算出，代入投影向量公式，结合数量积与向量模，计算得到投影向量坐标． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， ， 因为，所以， 即，解得或； （2）因为，， 所以， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 核心方法：； （均非零向量） 【例14-1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 【例14-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知空间向量，，若向量与垂直，则______. 【答案】5 【分析】先求出与的坐标，再由垂直得到，求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为向量与垂直， 所以， 解得. 故答案为：5. 【变式14-1】（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 【变式14-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 【变式14-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【答案】6 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算可求得实数k的值. 【详解】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行 核心方法：⇔⇔ 【例15-1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2) 由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）略 【例15-2】（26-27高二上·全国·课堂例题）在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 【答案】 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则由题可得，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，则平面. 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据证明线面平行的向量法即可求解. 【详解】略 【变式15-1】（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】略 【变式15-2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】 证明：由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】略 【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行 核心方法：⇔⇔ 【例16-1】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) 以 ，， 为空间一组基底. 由 且 ，得 因为为的中点，所以， 又为 的中点，所以 于是， 而， 所以，即， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理知 平面 ； (2) 因为， 又， 所以，即， 又平面，平面，故平面， 因为，且 ，平面， 由面面平行的判定定理知平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 【例16-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. 【变式16-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】略 【变式16-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． (2)证明：因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）略； （2）略. 【变式16-3】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 【分析】根据垂直关系分析可知，，建系，利用空间向量可得∥，根据题意结合线面、面面平行分析证明. 【详解】略 【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例17-1】（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，. (2)证明：设，则，同理 ， ，，， ，. ， ，平面，且， 平面. 【分析】（1）根据向量的三角形法则和平行四边形法则用基底表示出，， （2）用基底表示出，然后利用数量积为0得到，，最后利用线面垂直的判定定理可得到平面. 【详解】（1）， . （2）略 【例17-2】（26-27高二上·广西玉林·阶段检测）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)设与交于点G，连接， 因为，且，又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)因为正方形和四边形所在的平面相互垂直，且， 所以平面， 如图，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则, 所以，，， 所以·，·， 所以⊥，⊥， 即， 又，且平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）连接交于点G，证明四边形是平行四边形得到，再用线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，证明同时垂直于平面内两条相交向量，由线面垂直判定定理得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式17-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)因为，，，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以底面. 故以为原点，、、分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则､､､､､， 所以，，， 则，， 即，，又，平面， 所以平面. (2)，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 所以，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）由得，又平面平面得底面，以A为原点，、、分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 【变式17-2】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． (1)证明:． (2)证明：平面． 【答案】(1)以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，且不在同一条直线上，则． (2)由（1）可得，，则，． 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为，所以，故平面． 【详解】（1）略 （2）略 【变式17-3】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中． (1)建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； (2)证明：平面． 【答案】(1)， (2)因为， 所以， 则， 因为平面，所以平面 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则直线的一个方向向量； （2）略 【考点题型十八】证明面面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例18-1】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． (2)取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 【例18-2】（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 【变式18-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1) 证明：在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. (2) 证明：设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. (3) 证明：在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式18-2】（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1) 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 【变式18-3】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 一、单选题 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间基底的定义，逐一判断各选项的向量组能否由组内向量线性表示，即可选出不共面的向量组. 【详解】选项A：由，可得， 因此共面，A错误， 选项B：由，因此共面，B错误， 选项C：由，因此共面，C错误， 选项D：假设共面，则存在不全为零的实数，使得， 由于为基底向量，因此，即，与假设矛盾，故不共面，D正确. 2．（26-27高二上·福建泉州·阶段检测）已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（     ）.     A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、、三个向量不能构成空间的一个基底， 、、三个向量共面，即存在实数，使得. ，，， ，即，解得. 实数. 3．（26-27高二上·广西河池·阶段检测）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点的向量表示求出，再由计算. 【详解】因为为的中点，所以. 由题意得. 因此. 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，，即：，解得：. 5．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为. 6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为线段，的中点，点，分别在，上，，．若四点共面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据重心性质、中点条件将向量转化为，再由四点共面，根据向量基的系数对应相等列出关系的方程，即可求出的值. 【详解】由为的重心，则， 由点为中点，则， 又，，为的中点， 则，，， 所以， 又因为四点共面，所以，解得. 7．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为，、、两两的夹角均为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行六面体向量关系写出，先通过数量积算出，再依据投影向量公式求出在方向上的投影向量. 【详解】因为平行六面体的棱长均为，、、两两的夹角均为， 所以， 所以， 则． 故在方向上的投影向量为． 8．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知正四面体的棱长为，点是棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点向量公式把表示为，再展开数量积，结合正四面体棱向量模长为，两两夹角，代入数量积公式计算即可． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在棱长为2的正四面体中， 得到，且两两的夹角为， 所以， ， 因为点是棱的中点，所以， 所以． 二、多选题 9．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】由空间向量位置关系，建立方程，解得，判断AB选项；由空间向量坐标及向量的模长建立方程，解得，判断C选项；由空间向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，从而求得其正弦值，判断D选项. 【详解】A选项，当，则，所以，A错误； B选项，当时，则，所以，B选项正确； C选项，，所以，，C选项正确； D选项，， 因为，所以，D选项错误. 10．（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用空间向量基本定理，以作为基底，判断选项AB，结合数量积公式及变形和向量垂直的性质，即可判断选项CD. 【详解】由题知，， 且，， 所以，A正确， 又，B正确， 所以， 又，， 且， 所以，C错， 因为 ， 所以，D正确. 三、填空题 11．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，在直三棱柱 中，，，， 是 的中点， 是 的中点， 是 与 的交点， 是线段 上的一点，且满足 平面 ，则 ________． 【答案】 【分析】由 底面且 ，以 为原点建立空间直角坐标系；写出各点坐标与点 的参数坐标，求出平面 的法向量，由 平面 等价于 列方程，解出参数 . 【详解】 以 为原点，分别以 、、 的方向为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得 ，，，，，， 由 是的中点， 是 的中点，得，， ， 设 ，，，， 设平面 的法向量为 ， 、， ，即 ， 取 ，得 ，，故 ， 由 平面 ，得 ，即 ， ， ，解得 ， 故 . 12．（25-26高二上·河北廊坊·阶段检测）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    【答案】 【分析】利用向量的线性运算及中点公式，将逐步用基底向量表示，对比系数即可求得的值. 【详解】由可知，为线段的中点， 根据向量的中点公式可得， 又由可知，为线段上靠近点的三等分点， 所以， 将代入的表达式中，得， 因为，根据空间向量基本定理，对应向量的系数相等， 所以． 四、解答题 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）选取为基底，利用向量共线定理及三点共线的充要条件建立方程求解； （2）设，，利用向量数量积的定义及模长公式建立关于的方程组，解方程组即可求得的长度． 【详解】（1）设，，，则不共面． 因为为的中点，所以． 因为为的中点， 所以． 所以． 因为，所以． 又， 所以． 所以． 因为、、三点共线，所以与共线， 即存在实数，使得． 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 所以， 解得， ， 故； （2）设，，即，． 由题意知， 所以，． 因为，所以， 即， 代入得，即①． 因为，所以， 即， 代入得，即②． ②①得，即，所以． 将代入①得， 整理得， 即． 解得或． 因为，所以或． 故棱的长度为或． 14．（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在平行六面体中，，．    (1)以为基底向量，表示向量、； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量线性运算表示向量、； （2）根据空间向量模长公式求的长. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， （2）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为． 15．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． (1)求直线与平面所成的角； (2)在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出向量以及平面的法向量，利用向量法求解即可； （2）设在棱上存在点使平面，令， 则，设，利用向量关系求出点关于的坐标，然后求出的坐标，结合（1）中的平面的法向量，得出，解出分析即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，由平面，且， 所以直线两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，又， 所以， 又为的中点，所以， 由， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以 设直线与平面所成的角为，由， 所以， 又，所以，所以直线与平面所成的角为. （2）设在棱上存在点使平面，令， 则，设，由， 所以， 由得：，即， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以若平面，则，即 也即， 化简得：，因为，所以，所以由解得：， 所以在棱上存在点使平面，此时. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】 证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】略 17．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）三棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，E是BC的中点，F在棱上，且平面． (1)求证：平面； (2)求证：F是的中点； (3)在线段EF上是否存在点P，使得?若存在，指出P的具体位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面平面，平面平面， 平面，已知，所以平面. (2)在平面，过点作交于点， 因为平面，且平面，所以平面， 又已知平面，且，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 在中，已知是的中点，且，所以是的中点， 在三棱柱中，侧面为平行四边形， 因为，所以四边形和四边形均为平行四边形， 从而有且，由于是的中点，因此，即F是的中点. (3)在线段EF上存在点P使得，且的位置就是点，证明如下: 由上知平面，且平面，所以， 已知侧面是正方形，所以且， ，易得， 则， 因为分别是边的中点， 所以， 又因为且分别是平行四边形对边的中点， 所以，所以， ， 由上知两两垂直，所以整理得， 由于，所以，即， 设线段上存在一点满足，则必有， 即，因为，所以， 因为在线段上，可设， 代入上式得，因为，所以，即点只能与点重合. 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，由垂直于两平面的交线直接得出线面垂直. （2）过点作辅助线构造平行平面，结合面面平行的性质与三角形中位线定理即可求证. （3）通过计算向量内积证明，从而确定点只能与点重合. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【分析】（1）以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系即可求平面的法向量. （2）利用空间向量可证明，再利用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. （2）略 19．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明如下： 正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． (2)证明如下： 由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及立体几何 （空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示+用空间向量研究直线、平面的位置关系） （18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【知识点02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【知识点03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【知识点04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【知识点05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【知识点06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【知识点07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【知识点08】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【例1-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）下列关于空间向量的说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．相等向量其方向必相同 C．若向量满足，则 D．若，则的长度相等而方向相同或相反 【例1-2】（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【变式1-2】（多选）（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【考点题型二】空间向量共线判断 核心方法： 【例2-1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【例2-2】（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 核心方法：①②已知，， 【例3-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【例3-2】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【变式3-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知，若，则m的值为______． 【变式3-2】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 【变式3-3】（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 【考点题型四】判断空间向量共面 核心方法：存在实数，使 【例4-1】（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【例4-2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【变式4-1】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点题型五】由空间向量共面求参数 核心方法：存在实数，使 【例5-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 【例5-2】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【变式5-1】（26-27高二上·广西·期中）若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式5-3】（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【考点题型六】用基底表示向量 核心方法：空间向量的加减数乘运算 【例6-1】（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27高二上·吉林四平·阶段检测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】空间向量数量积运算 核心方法：①坐标运算②定义法： 【例7-1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）若是一个单位正交基底，且，则（    ） A．7 B． C．3 D．28 【例7-2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知，则__________. 【变式7-3】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 核心方法：①坐标法（含自主建系法） ②极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即 （如图） (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 （如图） 【例8-1】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【变式8-1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【变式8-2】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 【变式8-3】（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 【考点题型九】求空间向量模 核心方法： 【例9-1】（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，，且，则（ ） A． B． C．6 D． 【例9-2】（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知向量，，则______． 【变式9-2】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知向量 ，，则 ______． 【变式9-3】（26-27高二上·广西·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若，，求； 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 核心方法：坐标法 【例10-1】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________． 【例10-2】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【变式10-1】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【变式10-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________. 【考点题型十一】求空间向量夹角 核心方法：夹角公式 【例11-1】（26-27高二上·陕西·阶段检测）向量，，，若，，则，的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，的值； (2)求向量与所成夹角的余弦值． 【变式11-1】（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【变式11-3】（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）已知空间向量，，． (1)若与垂直，求x的值； (2)若，求． 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 核心方法：①为锐角且与不同向共线 ②为钝角且与不反向共线 【例12-1】（多选）（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【例12-2】（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 【变式12-1】（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 【变式12-3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【考点题型十三】求投影向量 核心方法： 【例13-1】（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知空间向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例13-2】（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【变式13-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求向量与所成夹角的余弦值； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【变式13-3】（26-27高二上·广东江门·阶段检测）已知，，，设，． (1)若，求实数的值； (2)在方向上的投影向量（用坐标表示）． 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 核心方法：； （均非零向量） 【例14-1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【例14-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知空间向量，，若向量与垂直，则______. 【变式14-1】（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【变式14-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【变式14-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行 核心方法：⇔⇔ 【例15-1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【例15-2】（26-27高二上·全国·课堂例题）在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 【变式15-1】（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【变式15-2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行 核心方法：⇔⇔ 【例16-1】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面． 【例16-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; 【变式16-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【变式16-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【变式16-3】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例17-1】（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，； (2)证明：平面． 【例17-2】（26-27高二上·广西玉林·阶段检测）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式17-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式17-2】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． (1)证明:． (2)证明：平面． 【变式17-3】（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中． (1)建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； (2)证明：平面． 【考点题型十八】证明面面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例18-1】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【例18-2】（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【变式18-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【变式18-2】（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【变式18-3】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 一、单选题 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·福建泉州·阶段检测）已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（     ）.     A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广西河池·阶段检测）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为线段，的中点，点，分别在，上，，．若四点共面，则（   ）    A． B． C． D． 7．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为，、、两两的夹角均为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知正四面体的棱长为，点是棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（26-27高二上·陕西宝鸡·阶段检测）在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，在直三棱柱 中，，，， 是 的中点， 是 的中点， 是 与 的交点， 是线段 上的一点，且满足 平面 ，则 ________． 12．（25-26高二上·河北廊坊·阶段检测）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    四、解答题 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 14．（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在平行六面体中，，．    (1)以为基底向量，表示向量、； (2)求的长． 15．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． (1)求直线与平面所成的角； (2)在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 17．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）三棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，E是BC的中点，F在棱上，且平面． (1)求证：平面； (2)求证：F是的中点； (3)在线段EF上是否存在点P，使得?若存在，指出P的具体位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 18．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 19．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 20．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $