专题06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（期末复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题06椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【知识点02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【知识点03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【知识点04】三角形面积问题 直线方程： 【知识点05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【知识点06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【知识点07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例1-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 【例1-2】（2026高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 【变式1-1】已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解； （2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到， 由，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由（1）中，令，解得或， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 所以公共点的横坐标为或. 【变式1-2】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，求m的值. 【答案】. 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 【考点题型二】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例2-1】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 【例2-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，倾斜角为. 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式2-1】（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由椭圆的定义，得，所以. 由焦点坐标可知，故. 因此，椭圆的标准方程为. （2）设，. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理，得. 根据线段中点的横坐标为，得，即. 解得或. 上述一元二次方程的判别式为. 当或时，均有，符合直线与椭圆交于两点的条件. 因此，直线的方程为或. 【变式2-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【分析】（1）用坐标表示已知几何条件，并化简可得； （2）设出两点，再利用点差法即可证明. 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 【变式2-3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得，   所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 【分析】（1）根据条件，求出圆心和半径，结合抛物线标准方程，可求出p值，即可得答案. （2）方法一：设，，利用点差法，求出直线l的斜率k，进而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，得关于y的一元二次方程，检验判别式，方程无解，所以不成立；方法二：设l方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理，求出m、n的值，检验与矛盾，故无解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）略 【考点题型三】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例3-1】（26-27高二上·广东东莞·期中）已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法即可求得答案； （2）利用点差法先求出直线的斜率，得到其方程，与C的轨迹方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式计算即得. 【详解】（1）设，易得，则， 因为A在圆M上，所以， 故点C的轨迹方程为：； （2）设，，则， 两式相减得，即， 因为线段PQ的中点坐标为，则， 所以， 所以直线PQ的方程为， 联立方程组， 整理得， 则，， ． 【例3-2】（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    【变式3-1】（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】(1). (2)直线的方程为或,弦长. 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 【变式3-2】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出双曲线的方程，将，点的坐标代入即可求解； （2）由点斜式可得直线的方程，联立双曲线的方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式可得弦长，或根据弦长公式求解. 【详解】（1）由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. （2）由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 【考点题型四】求弦长（最值或范围） 核心方法： 【例4-1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）双曲线中，焦点到渐近线的距离为，结合离心率可得，即得； （2）将坐标原点在以为直径的圆上转化为，当直线斜率不存在时，易得，当直线的斜率存在时，设直线，联立双曲线方程，根据，可得，进而根据弦长公式可得. 【详解】（1）解：由题意得，双曲线焦点到渐近线的距离为， 又因为，解得， 所以双曲线方程为：； （2） 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，所以，即：. ①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设，， 由可得， 又点在双曲线上，代入可得，解得，， 所以. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立消去整理得 ①， 因为直线与双曲线交于两点，所以， 且判别式. 设， 则，， 由得到：，所以， 即， 所以， 化简得. 所以. 当时上式取等号，且方程①有解. 综上可得的最小值是. 【点睛】关键点点睛：把位置关系坐标原点在以为直径的圆上转化为数量关系，即，设直线后联立双曲线，用韦达定理代入可得到直线中参数关系，再根据弦长公式求最值即可. 【例4-2】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程. （2）设出的坐标，根据直线斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线. （3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值. 【详解】（1）因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）略 （3）由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 【变式4-1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，是双曲线上一点，且的面积为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，从而将方程化为，再由三角形面积及点在曲线上求出，即可得解； （2）依题意可得，当直线的斜率不存在时直接求出，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，再由弦长公式及计算可得. 【详解】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，所以直线的斜率大于1． 由两条渐近线的夹角为，可得，因为，所以， 即双曲线方程为， 因为的面积为，所以，所以． 因为点在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得， 解得或．因为条件，所以，即双曲线的方程为． （2）因为以为直径的圆过坐标原点，所以，所以，即， ①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设， 由可得， 又点、在双曲线上，代入可得，解得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立消去整理得（*）， 因为直线与双曲线交于两点，所以， 即． 设，， 则， 由得到，所以， 即， 即， 所以， 化简得． 所以 ． 当时上式取等号，且方程（*）有解． 综上可得的最小值是． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式4-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式4-3】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且． （1）求与满足的关系； （2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【分析】(1)设点A,B联立直线方程和双曲线方程消元化简: ,然后利用韦达定理结合向量垂直即,可求得和满足的关系; (2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式,然后利用换元配方求解最小值. 【详解】（1）设点A,B,联立消得, ∴, 由得 代入化简可得和满足的关系为:; （2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得 代入可解得为定值; 由直线与双曲线交点弦弦长公式可得: ,令(t≤3) 化简可得, 由t≤3可得当,t=3时. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型. 【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5-1】（26-27高二上·吉林·期中）已知椭圆：的焦距为2，短半轴长为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据椭圆的焦距、短半轴长结合参数关系求出椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式列方程求解倾斜角. 【详解】（1） 由题意可知，椭圆焦距，故，短半轴长，所以， 因此椭圆的标准方程为. （2）椭圆左焦点的坐标为，直线的倾斜角， ① 当时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，此时，不符合题意，舍去； ② 当时，设直线的斜率为，则直线方程为， 设，， 联立直线与椭圆方程： ，消去并整理得， ，恒有两个不同实根， 由韦达定理得：，， ， 令，解得，即，结合，解得或； 综上，的值为或. 【例5-2】（2026·海南·模拟预测）直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； (3) 【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦，列式求解即可； （2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合两点式斜率公式即可证明； （3）利用焦半径公式及（2）的韦达定理求出点的坐标，利用焦半径求出，利用导数法求得在点处的切线方程，利用点到直线的距离求出的高，即可求解面积. 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）略 （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 【变式5-1】（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 【变式5-2】（25-26高三上·河北唐山·期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【答案】(1); (2); (3)或或. 【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程； （2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值； （3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可. 【详解】（1）由双曲线（，）的渐近线方程为，可得， 又由焦距长为4，可得即则有， 联立上面两式解得：， 所以双曲线方程为：； （2）由点P的坐标为，O为原点，则， 此时直线的斜率为， 利用平行于的直线与双曲线相切，即联立方程组得： ，整理得：， 由，解得， 此时切点为，可以得到这个的面积最小， 再由平行线间的距离公式可得：， 则最小面积为； （3）设过C的右焦点F的直线为，与双曲线联立方程组得： ， 设交点，则有 所以 设交点的中点为， 则有，则， 所以中点为到直线的距离为， 再由，结合勾股定理可得： ，解得：或； 所以直线DE的方程或或. 【变式5-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案； （2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程. 【详解】（1）由题意得， 设，则， 所以，，， 所以， 由P在抛物线C上可得，即， 则曲线E的方程为． （2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求， 设直线l的方程为，设，， 代入，消去x得， 则，，， 所以 ， 所以或． 所以直线l的方程为或． 【考点题型六】抛物线非焦点弦问题 核心方法： 【例6-1】（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【答案】(1) 设，， 由在抛物线上，则 又为等边三角形，则，从而 因此， 又，所以，从而， 故，关于轴对称. (2). 【分析】（1）设，，则由证明即可； （2）根据可求出等边的边长，根据求抛物线的方程，求出边上中线所在直线方程，与抛物线方程联立可求直线与抛物线的另一个交点坐标，再由两点间的距离公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）设等边的边长为， 由，解得， 由（1）可知关于轴对称，故，故，， 因为点在抛物线上， 所以， 故抛物线的方程为. 因为，等边三角形的中线与高线重合， 所以边上中线所在直线方程为，即． 由，消去整理得，解得，或， 因此直线与抛物线的另一个交点坐标为， 故弦长为． 【例6-2】（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. 【详解】（1）设直线的方程为． 由消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． （2）设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由，解得，所以，即． 所以． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）①利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； ②根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【详解】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 【变式6-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 【考点题型七】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例7-1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 【例7-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】(1) ，准线的方程为； (2) 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 【变式7-1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    【变式7-2】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意有，求出参数值，即可得方程； （2）由题意可得，联立抛物线，应用韦达定理和焦点弦长公式求. 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； （2）    由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然， 所以，，(的横坐标分别为)， 则. 【变式7-3】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例8-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的顶点和焦距的概念，写出参数，进而求出，直接写出标准方程即可； （2）根据直线所过的定点，设出方程，联立椭圆标准方程，根据韦达定理以及椭圆弦长公式，求出直线斜率，进而根据点到直线距离公式求出三角形的高，直接求出面积. 【详解】（1）由题可知，可得，则， 所以椭圆标准方程为. （2）设点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组得，消去得， 当时，即时，即或时， 直线与椭圆存在两个交点，此时， 可知， 可得，化简得，解得，即， 由对称性可知，或时，的面积相同， 当时，直线方程为，即， 此时原点到直线的距离为， 则的面积为. 【例8-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【详解】（1）将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. （2）由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 【变式8-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·期末）某港口规划建设货物转运区，其平面布局可以建立直角坐标系分析：码头A、B分别位于x轴上，的中点O为坐标原点，且千米，货物集散中心C在O的正北2千米处，转运点P为港区内一动点，点P到A点的距离，比其与B点的距离多出4千米． (1)求转运点P的轨迹方程； (2)过点C的一条直线交P的轨迹于不同两点M、N，O为坐标原点，若，求直线斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设：，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合弦长公式即可求解. 【详解】（1）不妨假设点在轴负半轴，在轴的正半轴， 因为， 所以P的轨迹是以A、B为焦点实轴长等于4的双曲线的右支 则转运点P的轨迹方程． （2）设：，，，，， 联立，得， ，解得，    ，， ，，，，， 因为，综上，． 【变式8-3】（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值； (3)若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【答案】(1)焦点，准线 (2) (3)或 【分析】（1）由结合抛物线的定义求解即可. （2）设，则，得，这是关于的二次函数，对称轴，分与讨论最小值， （3）由在上，斜率为，故，设，与抛物线联立求弦长；由与距离，令求，再计算面积. 【详解】（1）已知抛物线，则，所以， 焦点坐标为准线方程为 （2）设在抛物线上，则，且，点， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，函数在上单调递增， 最小值在处取得，即； 当时，对称轴，最小值在处取得， 此时所以 综上，； （3）已知正方形中，在抛物线上，在直线上， 由得：，斜率为，所以的斜率为， 正方形中，因此的斜率也为， 设直线的方程为 与抛物线联立：， 设交点，，则, 所以， 又与平行，在直线上，两平行线之间的距离为， 正方形中与是对边，所以边长等于这个距离，即， 于是，两边乘以，得 平方得 所以， 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 所以正方形的面积为或. 【考点题型九】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例9-1】（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以. 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 【例9-2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 【变式9-1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 (3) 【分析】1.使用离心率求出，，的关系，再将点代入求出双曲线方程； 2.利用双曲线上点的坐标特性，证明该点到双曲线两条渐近线的距离乘积恒为定值； 3.设过动点的直线，与渐近线方程联立得到三角形面积表达式，结合已知条件使用不等式求解。 【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； （2）略，定值为； （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 【变式9-2】（2026·上海普陀·模拟预测）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的面积的取值范围为 【分析】（1）由直线过点，可求，判断点的位置，结合双曲线定义求结论； （2）联立方程组，设，利用设而不求法求，由条件证明四边形为平行四边形，列方程求，由此确定的坐标； （3）由条件列不等式求的范围，表示的面积，利用换元法求其最值. 【详解】（1）双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. （2）由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. （3）因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 【变式9-3】（2026·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设点，结合两点间距离公式，代入计算，化简即可得到结果； （2）根据题意，分别设直线和直线的方程为和，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，分别得到点的坐标，再结合点到直线的距离公式与面积公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以，整理得， 所以的标准方程为. （2）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则，，， 故， 因为是AB中点，所以即， 同理可得， 所以到两渐近线的距离分别为，. 到两渐近线的距离分别为，， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接OP， 则四边形面积为， 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【考点题型十】圆锥曲线中的向量问题 【例10-1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，长半轴长为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于，两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】(1) (2)① ， ② 因为，所以， 因为，所以点的坐标为， 而， 因此点在直线上. 【分析】（1）根据题意求出，可得椭圆方程； （2）①联立方程，根据确定的范围，再用韦达定理用表示线段长度和原点到直线的距离，进而表示出的面积，利用基本不等式求得最大值；②求出点的坐标，进而求出定直线. 【详解】（1）由题意得，，，解得，， 因此椭圆的方程为. （2）① 直线与椭圆交于，， 联立方程得，，化简得，， 则，即， 且，，点距离直线的距离， 则的面积， 因为，所以， 则，当且仅当时，即时等号成立. ② 略 【例10-2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆：的通径长为3，其离心率． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用通径长公式和离心率公式求出和，从而得到椭圆的方程． （2）设，，，将直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理得到，由得到，由为椭圆上一点，将代入椭圆，通过计算得到． 【详解】（1）椭圆：的通径长为3， 则①， 因为，所以②，， 联立①②，解得，， 则椭圆的方程为． （2）直线与椭圆交于，两点， 设，，， 则，得，则， 因为，所以， 因为为椭圆上一点，所以代入椭圆得： ， 解得， 即， 将代入， 整理得到，解得或． 【变式10-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 【变式10-2】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【详解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 【变式10-3】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在使得为定值. 【分析】（1）根据离心率以及点，联立方程即可求解， （2）根据勾股定理以及椭圆的定义，结合等面积法即可求解， （3）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据向量的坐标运算即可化简求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得, 故椭圆方程为 （2）设,且， 由于，又，故, ，即可， 由于,故， 将代入椭圆方程可得,故. （3），设直线,， 将代入椭圆方程中化简可得， 设, 故,从而， ， 要使为定值，则需满足，故， 故存在使得为定值. 【考点题型十一】圆锥曲线中的定点、定值问题 【例11-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点. （i）求点的轨迹方程； （ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）因为，.由得， 所以，为定值. 【分析】（1）由条件可得，进而可得，即得； （2）（i）用中点坐标表示，再代入椭圆方程即可求得; （ii）表示出和，结合椭圆方程即可求出定值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设，，因为为弦的中点， 所以，即，则. 代入椭圆得：，即. 因为异于点，则轨迹去掉点， 所以点的轨迹方程为. （ii）略. 【例11-2】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线方程为，左右顶点为，，直线经过与双曲线右支交于，两点． (1)设直线的斜率为，求的取值范围． (2)设直线，的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)由于在直线上，则， ， 而， 结合韦达定理代入，，， ， 于是， 即为定值 【分析】（1）设出直线方程和双曲线联立，利用两交点横坐标大于零，判别式大于零列不等式组求解； （2）将斜率之和表达成关于的表达式，利用韦达定理化简求解. 【详解】（1）设直线的方程为：，即， 联立，整理可得， 设， 若直线和双曲线右支交于两点，则， 由， 注意到， 则， 则，结合可得， 于是上述不等式组等价于，解得 （2）略 【变式11-1】（2026·广东·模拟预测）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)若，求的方程； (2)若，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)解法一：证明：由（1）得，，设，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与联立，得，恒成立， 因为，是该方程的两个根，所以， 所以，，即， 同理可得直线的方程为，， 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则该定点必在轴上，设其坐标为， 则， 整理得，所以， 即直线过定点． 解法二：由（1）得，，设，， 则直线的斜率，直线的斜率， 故． 因为点在椭圆上，所以，即， 所以． 又，，代入， 得， 所以． 由题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，得，， 所以，， 所以 ， 解得， 所以直线过定点． 解法三：同解法二，得，     将椭圆向左平移2个单位长度， 则椭圆方程为，即． 设平移后直线对应的直线的方程为， 所以， 展开整理得， 当时，两边同除以得， 设平移之后，，，则，， 所以， 解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 所以直线过定点． 【分析】（1）利用离心率得到关系式，再将已知点代入椭圆方程联立求解，写出椭圆方程； （2）将点坐标代入椭圆得到等式，结合转化为关于离心率e的表达式，根据e范围求出a的取值范围； （3）解法一：求出直线方程，分别联立椭圆求出坐标，利用定点在x轴上，由三点共线斜率相等求出定点； 解法二：利用椭圆上的点与左右顶点斜率乘积的结论，推导出为定值，设直线与椭圆联立，结合韦达定理代入斜率乘积等式求出n，得到定点； 解法三：同样得到为定值，平移椭圆后用齐次化处理，由斜率乘积条件求出直线参数，平移还原得到定点． 【详解】（1）由，得， 所以， 由点在上，可得，即， 解得，所以， 故的方程为． （2）由（1）得，即， 设，则， 两边同时除以，整理得， 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是． （3）略 【变式11-2】（26-27高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线，为原点． (1)求的渐近线方程； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)由题意两直线斜率均存在且不为零，且斜率之积为， 设直线的斜率为（且），则直线的斜率为， 则直线，， 由， 由韦达定理得：， 因为，所以，， 同理得，， ， ， 所以直线恒过定点，定点为． 【分析】（1）由双曲线标准方程确定，直接代入焦点在x轴的渐近线公式求解； （2）先计算长度，分三类等腰情况结合双曲线方程列方程求解，舍去不符合第一象限的解； （3）设出一条直线斜率，由垂直得另一条斜率，分别联立双曲线用韦达定理求坐标，推导直线方程并整理为点斜式，判定恒过定点． 【详解】（1）由，，得，， 所以的渐近线方程为． （2）设（，）， 由得： ①若，则在线段的垂直平分线上， 代入得，无解，舍去； ②若，则，代入，整理得：， 解得，由得，此时，符合题意； ③若，则，代入，整理得：， 解得或，由得，此时，符合题意； 综上，点的横坐标为或． （3）略，定点． 【变式11-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出，即可求得抛物线的方程. （2）可设，代入 得 ，设，，则 ，，由得即，从而求得，再证明直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）略，定点为 . 【考点题型十二】圆锥曲线中的定直线问题 【例12-1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以 ，则，， 显然点在直线，即上，得证. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）略 【例12-2】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②略 【变式12-1】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得的值，进而可求得双曲线方程. （2）设的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得，进而计算可求得的最小值. （3）直线的方程为，直线的方程为，联立方程线可求得交点的纵坐标为定值，可得结论. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以; （3）略 【变式12-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上.    【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可； （2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线. 【详解】（1）连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆.      （2）由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得，   ， 由韦达定理得，， 则 . （3）略 【变式12-3】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. AI 【分析】（1）利用椭圆的离心率及所过的点列式求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出；（ii）法一：利用椭圆对称性，结合（i）的结论求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可；法二：由椭圆对称性，结合（i）的信息求出的坐标，再利用斜率坐标公式求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）略 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知，，动点异于，两点，若直线与直线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由直线与直线的斜率之积为，即可求解； （2）设直线的斜率为，直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，再由韦达定理以及，即可求解. 【详解】（1）假设点，； 化简得 （2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知， 该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为： ，设， 所以有， 因为， 所以 或（舍去），即. 2．（26-27高二上·全国·期中）双曲线，若动直线过点，且与 交于、两点（在第一象限，在第四象限），过点 作直线的垂线，垂足为 (1)证明：直线恒过点； (2)设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)证明：设直线:，、，，在第一象限，故，在第四象限，故. 联立，得. 由韦达定理得，. 因为直线与双曲线 在第一象限和第四象限各有一个交点，所以，解得. 直线的点斜式方程为，整理得. 令，代入化简得， 将代入分子得， 代入韦达结果，得. 分母，因此当时，. 故直线恒过定点 (2). 【分析】（1）设直线的参数方程为，联立双曲线得到韦达关系，由所在象限确定参数范围；写出垂足与直线的方程，将待证定点横坐标代入，转化为验证分子恒等于0；利用变形，代入韦达定理完成定点证明； （2）利用（1）中所过定点简化三角形面积公式，结合直线与双曲线联立的韦达定理写出弦纵坐标差；根据点的位置约束参数范围，换元构造函数，借助单调性求面积最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知直线恒过点，则. 由在第一象限，在第四象限，得，所以 . 令，则.由，得，结合，得. 所以. 令，则在上单调递减，且，故在上单调递增. 所以，当，即时，取得最小值，且最小值为15. 3．（26-27高三上·天津红桥·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于点，，的周长为，过点的直线交椭圆于不同的两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为线段的中点，在轴上存在一点，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆定义由三角形周长求出a，结合焦点得c，再由关系算出b，写出椭圆方程； （2）设直线并联立椭圆，由判别式得到斜率范围，用韦达定理求出中点坐标，根据垂直条件算出E点横坐标，最后换元求值域得到范围． 【详解】（1）由题意知，，由椭圆定义，的周长为： ，解得，则， 椭圆的标准方程为：． （2）已知直线过点，若直线斜率不存在，则直线：， ，此时直线与椭圆无交点，不符合题意； 故直线斜率一定存在，设为，则直线， 设，， 联立直线与椭圆方程得， 交点为2个，则，解得， 由韦达定理，则， 由，得，，则， 故，故， 令，则，，函数在上单调递增， 当时，； 当时，；故，即的取值范围是． 4．（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围； (2)记直线，的斜率分别为，，求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设，，直线的方程为，联立方程组，化简整理结合已知条件可得满足，先求出的取值范围，再求出k的取值范围即可；（2）先表示出斜率，，再结合韦达定理可得，，化简整理即可求出的值. 【详解】（1）设，，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的右支交于两点，直线的斜率k存在， 可得，解得或， 又由直线的斜率为，可得的取值范围是； （2）由双曲线，可得，， 由（1）可得，，则， 所以 . 5．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆对称中心为，焦点在轴上且两个顶点坐标分别为、且离心率为，设上焦点为，过点的直线交椭圆于、两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：三角形的面积是三角形面积的倍； (3)当面积最大时求直线的方程，并求出的面积． 【答案】(1) (2)由（1）知、，且直线斜率一定存在， 故设直线方程为，即，设点、，如图所示， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 则，， 则， ，所以， 即三角形的面积是三角形面积的倍. (3)的最大值为，此时直线的方程为 【分析】（1）根据题意可直接得出和的值，进而可得椭圆方程； （2）直接根据三角形的面积公式将面积之比转化为和之比即可； （3）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理将三角形面积表示为关于的函数，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，，，所以，， 所以椭圆的方程为. （2）略 （3）由整理可得，，即， 由韦达定理得，， ， 令，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，即， 所以的最大值为，此时直线的方程为. 6．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】第一问结合椭圆的几何性质进行求解. 第二问设，均在椭圆上，满足椭圆的方程，并作差求解直线的斜率. 第三问联立、消元，代入求解. 【详解】（1）由上顶点为，得．     又右顶点为，所以，解得．     所以的方程为． （2）设， 因为为的中点，所以，．①     又，，两式相减，得，     将①式代入，得，     因此直线的方程为，即．    （3）设由的面积为知，直线的斜率存在，设其方程为．     由，消去并整理，得，     则．     由椭圆对称性可知，，所以，     所以，整理得， 解得或，     故直线的方程为，．    7．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求点的坐标及的准线方程； (2)若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 【答案】(1)，的准线方程为 (2)当点在第四象限时，直线的斜率为，； 当点在第三象限时，直线的斜率为， 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到答案； （2）先根据题意不妨设点在第四象限，从而根据斜率与倾斜角的关系得到直线的斜率，进而得到点的坐标，进而根据对称性得到当点在第三象限时直线的斜率及点的坐标． 【详解】（1）由，得， 则焦点在轴上，且，，     所以，的准线方程为． （2）根据题意，不妨设点在第四象限，过点作准线的垂线，垂足为，如下图：     由，设， 则，所以，     所以直线的斜率为．     又，所以，解得，所以．     由对称性知，当点在第三象限时，直线的斜率为，． 8．（26-27高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． (1)求抛物线 的方程； (2)过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线方程，代入点求解即可. （2）根据“点差法”求出斜率，结合直线的点斜式方程求解即可． 【详解】（1）设 （）， 因为抛物线经过 ，代入得 ，， 所以抛物线方程为 ． （2）设 ，，则 ，， 两式相减得 ， 又 是 的中点，所以 ， 于是 ， 所以 ，即 ． 9．（26-27高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）或； （ⅱ）设的中点为，由中点坐标公式，得， ， 因此直线的斜率， 已知直线的斜率，故斜率之积为， 因此直线与直线的斜率之积为定值，得证. 【分析】（1）利用椭圆右顶点坐标得长半轴，结合离心率求出，再由算出，写出椭圆方程； （2）(i) 设出直线方程并代入椭圆方程消掉，再借助韦达定理和弦长公式列方程求出参数，验证即可得到直线方程；（2）(ii) 利用韦达定理求出中点坐标，算出斜率，再和直线的斜率相乘，验证结果是常数. 【详解】（1）已知椭圆，点在椭圆上，因此，即， 由离心率，代入得， 根据椭圆关系，得， 因此椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设直线的方程为，设，， 将代入椭圆方程，整理得， 由直线与椭圆有两个交点，判别式，解得， 由韦达定理得， 由， 化简得， 均满足，因此直线的方程为或； （ⅱ）略 10．（2026·河南·一模）已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值，定值为. 【分析】（1）由椭圆的左顶点为，离心率为，列出方程组，求解方程组即可得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，对代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）依题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为． （2）依题意得，设， （i）直线的方程为，联立， ，得， ，. 则的面积 . （ii）是定值，定值为，过程如下： 由题意可得，设直线的方程为， 联立方程，，得. ，. . 又，， ． 所以是定值，定值为．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【知识点02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【知识点03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【知识点04】三角形面积问题 直线方程： 【知识点05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【知识点06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【知识点07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例1-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离. 【例1-2】（2026高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【变式1-1】已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 【变式1-2】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，求m的值. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【考点题型二】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例2-1】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【例2-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【变式2-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式2-3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【考点题型三】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例3-1】（26-27高二上·广东东莞·期中）已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 【例3-2】（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【变式3-1】（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【变式3-2】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【考点题型四】求弦长（最值或范围） 核心方法： 【例4-1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【例4-2】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【变式4-1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，是双曲线上一点，且的面积为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【变式4-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【变式4-3】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且． （1）求与满足的关系； （2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值． 【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5-1】（26-27高二上·吉林·期中）已知椭圆：的焦距为2，短半轴长为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，若，求的值． 【例5-2】（2026·海南·模拟预测）直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【变式5-1】（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【变式5-2】（25-26高三上·河北唐山·期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【变式5-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【考点题型六】抛物线非焦点弦问题 核心方法： 【例6-1】（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【例6-2】（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【变式6-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【考点题型七】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例7-1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【例7-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【变式7-1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【变式7-2】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【变式7-3】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例8-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 【例8-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【变式8-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·期末）某港口规划建设货物转运区，其平面布局可以建立直角坐标系分析：码头A、B分别位于x轴上，的中点O为坐标原点，且千米，货物集散中心C在O的正北2千米处，转运点P为港区内一动点，点P到A点的距离，比其与B点的距离多出4千米． (1)求转运点P的轨迹方程； (2)过点C的一条直线交P的轨迹于不同两点M、N，O为坐标原点，若，求直线斜率． 【变式8-3】（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值； (3)若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【考点题型九】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例9-1】（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【例9-2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【变式9-1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【变式9-2】（2026·上海普陀·模拟预测）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【变式9-3】（2026·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 【考点题型十】圆锥曲线中的向量问题 【例10-1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，长半轴长为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于，两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【例10-2】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆：的通径长为3，其离心率． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 【变式10-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【变式10-2】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【变式10-3】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十一】圆锥曲线中的定点、定值问题 【例11-1】（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点. （i）求点的轨迹方程； （ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【例11-2】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线方程为，左右顶点为，，直线经过与双曲线右支交于，两点． (1)设直线的斜率为，求的取值范围． (2)设直线，的斜率为，，求证：为定值． 【变式11-1】（2026·广东·模拟预测）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)若，求的方程； (2)若，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 【变式11-2】（26-27高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线，为原点． (1)求的渐近线方程； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式11-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【考点题型十二】圆锥曲线中的定直线问题 【例12-1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【例12-2】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【变式12-1】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【变式12-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【变式12-3】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知，，动点异于，两点，若直线与直线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率. 2．（26-27高二上·全国·期中）双曲线，若动直线过点，且与 交于、两点（在第一象限，在第四象限），过点 作直线的垂线，垂足为 (1)证明：直线恒过点； (2)设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 3．（26-27高三上·天津红桥·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于点，，的周长为，过点的直线交椭圆于不同的两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为线段的中点，在轴上存在一点，使成立，求的取值范围． 4．（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围； (2)记直线，的斜率分别为，，求的值 5．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆对称中心为，焦点在轴上且两个顶点坐标分别为、且离心率为，设上焦点为，过点的直线交椭圆于、两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：三角形的面积是三角形面积的倍； (3)当面积最大时求直线的方程，并求出的面积． 6．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 7．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求点的坐标及的准线方程； (2)若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 8．（26-27高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． (1)求抛物线 的方程； (2)过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 9．（26-27高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 10．（2026·河南·一模）已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $